解讀2016年諾貝爾物理獎
2016年物理獎的三位獲獎者，圖片來自nobelprize.org
編者按：
拓撲被人俗稱為「橡皮膜上的幾何學」。物質有氣、液、固、等離子態等變化，但相變要複雜得多，物理學家索利斯等人，第一次將數學中的拓撲概念應用於物理學中，研究量子電磁現象。事實上，在凝聚態物理活躍的舞台上，不乏華裔學者的身影。
撰文 | 張天蓉（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 葉水送
2016年,諾貝爾物理獎頒發給了三位美國科學家：戴維·索利斯（David Thouless）、鄧肯·霍爾丹（Duncan Haldane）和邁克爾·科斯特利茲（Michael Kosterlitz），以表彰他們「在拓撲相變以及拓撲材料方面的理論」。
拓撲的直觀意義
拓撲描述幾何空間的整體性質，不感興趣「點與點之間的距離」之類的數值，只感興趣點之間的連接方式，即研究的是「連沒連」、「怎樣連」這樣的問題。
舉三維空間中二維曲面的拓撲性質為例，可以更為直觀地理解拓撲。如果一個二維曲面不能被撕裂和粘貼，但可以如同橡皮膜一樣地被拉伸、彎曲或壓扁，這個曲面是拓撲不變的，或者說拉伸前後保持同樣的拓撲。因此，拓撲也被人俗稱為「橡皮膜上的幾何學」。
更為直觀和有趣的是考慮二維閉合曲面。比如說，一個橡皮膜做成的球面（圖1左），通過拉伸及縮小可以變形成橢球面或其它各種形狀，但卻不可能變成圖1中圖所示的麵包圈面的形狀。類似地，麵包圈面形狀的一個麵糰，可以揉捏成一個茶杯形狀。也就是說，麵包圈面的拓撲，與茶杯表面的拓撲是一樣的。
數學上將這一類「有限、無邊界、有方向」的二維閉合面，用「虧格」來描述和分類。對實閉曲面而言，通俗地說，虧格就是曲面上洞眼的個數，即：球面的虧格為0，麵包圈面的虧格為1，如圖1所示。
圖1：不同的虧格對應的不同拓撲
物質的千姿百「相」
初中的物理書上就告訴我們，物質有三態：氣態、液態、固態。後來的說法再擴大了一些，加上了等離子態、波色-愛因斯坦凝聚態、液晶態等等。除了「態」這個字之外，現代物理學中用得更多的是物質的「相」。物質不同「相」的種類比一般所說的「態」的種類要多得多。也就是說，對應於同一個態，還可以有許多不同的相。比如，水的固態是冰，但冰有很多種不同的結晶方式，它們便對應於不同的相，如圖2（左）所示。此外，昂貴的鑽石和鉛筆中的石墨，同為碳的同素異形體，但因其晶體結構不同，也形成了特性迥異的物質相，見圖2（右）。
圖2：同一物質不同的相。（左）雪花的不同結晶態；（右）碳的同素異形體
人們最開始對「固、液、氣」三態的認識，是基於它們不同的表現形態：固體有一定的體積和形狀；液體有一定體積，但形狀不定；氣體則體積、形狀均不固定。而當物質的這三態互相轉變時，也相應地伴隨著體積的變化和熱量的吸收或釋放。物理學家們將這一類轉換叫做一級相變。這個「一級」，在這兒有一個數學上的意義：在相變發生點，熱力學中的參量（比如化學勢）不變化，而它的一階導數（如體積等）則有變化。
為了解釋實驗中不斷出現的各種相變，這個一級相變的概念也被延伸下去。如此便有了二級、三級……等等用熱力學量的N階導數來區分不同級別的相變。不過，級別高的相變並不多，暫且還沒有必要分得那麼細緻。因此，人們將除了一級相變之外的更高級相變，統稱為連續相變。
那麼，如何來定義物理中的「相」呢？在各種具體情況下可以有不同的定義，就像上面所舉的雪花及碳的不同結晶「相」那樣，與本篇主題有關的主要是「貝里相位」。
貝里相位
物理學中通常用「相位」一詞來描述某種波動性質，比如說交流電的相位、振動弦的相位、量子力學中波函數的相位等等。貝里相位是具體應用到電磁現象中的產物。在經典電磁學中，相位只有相對意義：兩個波的相位差會形成干涉條紋，但一束電磁波的絕對相位值，並不產生任何觀測效應。在電磁的量子理論中，相位具有可觀測物理效應，這便是貝里相位。
圖3：通電線圈引起的相位因子φ是貝里相位
考慮空間有一個通電螺線圈。假設線圈中有如圖3b所示方向的電流，則會在螺線圈的內部產生向上的磁場。想像這個線圈繞得非常緊密，無限細又無限長的話，磁場只能被束縛在Y軸上，而整個空間的其餘部分電場和磁場都為0。從經典觀點看，如果有電子繞線圈一周後，沒有感受到電磁場，對它的狀態不會有任何影響，但實驗結果卻有影響。1984年，英國數學物理學家邁克爾·貝里爵士（Sir Michael Berry，1941-）從量子的觀點引進「貝里相位」解釋了這個現象。貝里認為，一個量子體系回到原來狀態時，有可能會帶來一個額外的，因為空間的幾何性質而產生的相位因子，稱之為幾何（貝里）相位【1】。如果電子路徑不包括線圈時，這個相位為0。但如果電子路徑包括線圈在內，貝里相位便不為0，它具有可觀察的的物理意義。不可將其忽視，貝里風趣地比喻說，就像不能將「小孩」與洗澡水一起倒掉一樣。貝里相位被量子力學和光學實驗的觀察所證實。
圖4：貝里和他研究的「磁懸浮青蛙」
有趣的是，貝里除了因提出幾何相而出名之外，還因為與安德烈·海姆研究「磁懸浮青蛙」獲得2000年的搞笑諾貝爾物理獎（Ig Nobel Prize for Physics）【2】。海姆後來因為對石墨烯的開創性實驗研究而獲得2010年諾貝爾物理獎，貝里也曾得到過沃爾夫物理獎等多種獎項。由此可見，搞笑諾貝爾獎也不僅僅是一種戲謔調侃，可能更多的是體現了一種幽默，得獎者中也不乏創意之人，比如貝里就應該可以算作一個。
拓撲如何進入物理學中？
1982年，早於貝里在研究量子混沌時提出的「貝里相位」，美國華盛頓大學物理學家索利斯等人，為了解釋整數量子霍爾效應，已經將數學中的拓撲概念與電子波函數的「相位」聯繫起來。兩組人馬從不同的課題來研究量子電磁現象，卻得到了類似的結論，大有異曲同工之妙。
索利斯與貝里的共同結論是：量子態與空間的整體拓撲性質有關。
首先從圖3實驗中的貝里相位說起，電磁勢積分一圈後的額外相位因子φ的根源來自於細長的螺線線圈。雖然線圈在外面空間中產生的電場和磁場處處為0，但是在Y軸上的磁通量卻改變了空間的拓撲性質。沒有這個磁場時，空間是平庸的、單連通的普通三維空間。而通電螺線管的存在相當於在電子運動的三維空間中挖了一個洞，使空間變成了非平庸的，具有了不同的拓撲性質。或者可以作如下類比：沒有通電螺線管的空間類似於球面拓撲空間，加了通電螺線管之後，有了一個洞，變成了麵包圈面的拓撲空間。
霍爾效應也有經典與量子之分，量子霍爾效應中又包括整數量子霍爾效應和分數量子霍爾效應。因此，量子霍爾效應中涉及到不同的、離散的量子態，構成不同的「相」，互相轉變則為「相變」。
在表徵量子化霍爾效應的參數中，有一個填充因子n，索利斯由n出發，引入了一個稱為TKNN的拓撲數，並由此而對電子波函數的拓撲性質進行分類【3】，這是第一次將數學上的拓撲概念應用於與「相」有關的凝聚態理論中，它是基於索利斯和2016年另一位物理獎得主科斯特利茲早期的工作【4】。
量子霍爾效應，研究的是二維繫統中電子在均勻磁場中的運動。如果將電子運動和磁場都進行量子化，得到的填充因子n，可以被理解為電子數N與磁通量子數Nφ的比值。
圖5：用電子和磁通量子表示量子霍爾效應
可以通俗地用冰糖葫蘆的圖像【5】來比喻量子霍爾效應中電子與磁通量子數目的分配關係。
如圖5圖（左）所示，將一個電子錶示成一個山楂（圖中的綠色圓餅），穿過電子的磁通量子用一根竹籤表示（圖中的藍色箭頭）。從左圖可見，整數量子霍爾效應中每個磁通量子所穿過的電子數，便等於填充因子n。
當n=1的時候，對應於一個磁通量子穿過一個電子的情形。當n=2時，有兩個子能帶被填滿，因此，一個磁通量子穿過兩個電子。然後，可以以此類推下去。
圖5（中）是分數量子霍爾效應的情況。對應於竹籤太多，山楂不夠，即磁通量子數太多，電子數目不夠分配，因而出現幾個磁通量子共用一個電子的情形。如果兩個磁通量子共同穿過一個電子，n便成為了分數：n=1/2；如果三個磁通量子穿過一個電子，則n=1/3。還有更為複雜一些的情形，比如：如果是五個磁通量子穿過兩個電子，則有：n=2/5。
因此，填充因子n可以用作物態（相）的分類標籤，每一個不同的n都代表一種不同的量子態：n為整數時，對應整數量子霍爾態；n為分數時，對應量子流體分數霍爾態。
不同的n值代表的不同量子態，無論是分數還是整數，都需要由系統波函數內在的拓撲性質來描述。
例如，分數量子霍爾效應之間的不同，可直觀地用這些基態簡併電子集體運動模式的不同來描述。好比是這些電子在跳著各種複雜的集體舞。每一種分數量子霍爾態對應一種集體舞模式，每種模式可以用本文一開始介紹的拓撲中的虧格來表徵，見圖6。
圖6：分數量子霍爾態對應的不同拓撲
幾乎與索利斯解釋整數量子霍爾效應同時，美國普林斯頓大學的物理學家霍爾丹將拓撲的概念用於一維自旋鏈【6】，霍爾丹之後對凝聚態物理作出一系列重大貢獻，包括分數量子霍爾效應等。1988年，霍爾丹第一個預言了沒有磁場的（反常）量子霍爾效應【7】。
纖維叢和陳數
讓我們再將拓撲的概念介紹得更深入一些。
貝里相位提供了一個具有拓撲結構的最簡單物理系統的例子，但事實上物理中經常說到的「空間」，遠不是三維空間。量子理論中一般用希爾伯特空間來描述量子態。如果考慮一個在真實的三維空間中運動的電子，對應於電子軌跡的每個點，都存在一個與波函數相應的無窮維的希爾伯特空間。由此我們可以建立一個數學模型，將電子真實運動的空間作為基空間，希爾伯特空間作為切空間，如此就構成了一個數學家稱之為「纖維叢」的東西。如果來個通俗比喻的話，纖維叢可以直觀地理解為如圖7左圖所示的圖像：一根作為基底的鐵絲上纏繞著許多根纖維（毛線），或者是想像成凸凹不平的泥土地上長滿了長長短短的雜草。這樣一來，量子理論中談到的空間，指的是這個複雜的「纖維叢」空間，包含了基空間、纖維、還有纖維叢（乘積空間）三者的性質：鐵絲彎曲成了什麼形狀？泥土地是平面還是球面？毛線或雜草，是簡單而平庸的形態，還是某種捲曲、打結等古怪的樣子？還有纖維叢本身，也可能是整體非平庸的，像圖7右圖所示的莫比烏斯帶那種。有關纖維叢的更深入介紹，可見參考文獻【8】。
從纖維叢的觀點看，凝聚態物理中不同的量子態對應的不同拓撲，可以用一個非0的、以數學家陳省身命名的不變數—「第一陳數」來表徵。
圖7：纖維叢的直觀圖像
如前所述，拓撲不同於幾何：幾何考察局部形狀，拓撲研究整體性質。然而，數學中有一個十分美妙的高斯-博內定理，將這兩者關聯起來。高斯-博內定理是平面幾何中「三角形三個內角和等於180度」到一般二維曲面的推廣，華裔數學家陳省身又將曲面上的高斯-博內定理推廣到高維流形上，證明了高斯-博內-陳定理。
纖維叢是基空間和切空間（纖維）兩個拓撲空間的乘積，最簡單的纖維叢例子顯然是當基空間和切空間都是1維的情況。比如說，平面可看作X為基底Y為切空間的纖維叢；圓柱面可看成圓圈為基底、一維直線為切空間的纖維叢。平面和圓柱面都是平庸的纖維叢，平庸的意思是說兩個空間相乘的方法在基空間的每一點都是一樣的。如果不一樣的話，就可能是非平庸的纖維叢了，比如莫比烏斯帶就不平庸，見圖8。
圖8：纖維叢
圖8是「第一陳數」應用的最簡單例子。陳數=0，描述拓撲平庸的圓柱面，陳數=1，描述莫比烏斯帶。陳數可直觀理解為基空間的點改變一圈時，纖維繞著基空間「扭」了多少圈。比如說，從圖8可見，相對於平直的圓柱面而言，當基空間參數變化一圈時，莫比烏斯帶上 「纖維」的方向，繞著基空間「扭」了一圈，因此陳數=1。扭得更多圈的莫比烏斯帶，對應更大的「陳數」。
拓撲相變研究中的華裔
今年得諾貝爾物理獎的三位學者，是將拓撲應用於凝聚態物理的鼻祖。之後幾十年，凝聚態物理無論在理論還是實驗方面，都取得了長足的進展，對將來的物理理論及工程應用，有巨大的潛在意義。其中包括對各類拓撲絕緣體的研究、電子學材料、超導的應用、量子計算、量子通信，以及基礎物理理論，都將受益不淺。
可喜的是，在凝聚態物理活躍的舞台上，不乏華裔學者的身影。剛才談及的分數量子霍爾效應，是在1982年被美國新澤西貝爾實驗室的幾位科學家發現的，其中之一是美籍華裔科學家崔琦。
崔琦（Daniel Chee Tsui）於1939年出生於中國河南，後來到香港讀書，再赴美國深造，移居美國。他和貝爾實驗室的同事史特莫（H. L. Stormer），及建立分數量子霍爾效應理論解釋的勞夫林（R. B.Laughlin）三人一起，分享了1998年的諾貝爾物理獎。崔琦被中國媒體譽為「從貧窮鄉村走出來的諾貝爾獎得主」。
另兩位美國華裔物理學家，對凝聚態物理近二十來年的發展也做出了傑出的貢獻，那是大家熟知的斯坦福大學教授張首晟，以及麻省理工學院的文小剛。巧合的是，這兩位學者都是從高能物理開始再轉而研究凝聚態。張首晟不僅理論預言了二維量子自旋霍爾態的存在，並在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱體系中，實現量子自旋霍爾效應的可能性，並很快被德國Molenkamp研究團隊的實驗所證實【9】。文小剛則建立了分數量子霍爾效應的拓撲序理論和邊緣態理論，之後又進一步提出弦網凝聚理論，不僅揭示了拓撲序和量子序的本質，而且又轉而返回到最基礎的物質本源問題，構造出了一個光和電子的統一理論【10】。
此外，清華大學教授、中國科學院院士薛其坤帶領的團隊，在拓撲絕緣體的研究中脫穎而出，2013年在世界上首次發現了量子反常霍爾效應，詳情請見參考文獻中的資料【11】。
（註：此文部分內容，摘自筆者已出版的一本科普讀物【12】）
參考文獻
【1】M. V. Berry. "Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes". [C]. Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802): 45–57. 1984.
【2】搞笑諾貝爾獎，[OL]. http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize
【3】D.J. Thouless, M. Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential，[J]. Phys. Rev. Lett. 49, 405–408. 1982。
【4】J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages 1181-1203 (1973)
【5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect, [M]. Springer, Berlin. 2002.
【6】F.D.M. Haldane. Continuum dynamics of the 1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model. Physics Letters A, 93(9):464–468, 1983.
【7】F.D.M.Haldane，Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realization of the parity anomaly，[J]. Physical Review Letters, Volume 61, Issue 18, pp.2015-2018. October 31, 1988,
【8】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B., 」Analysis, Manifolds, and Physics」, [M]. North Holland Publishing Company, Amsterdam. 1977,
【9】B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang. Quantum spin hall effect. Physical Review Letters,96(10):106802, March 2006.
【10】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of Many Body Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons, [M]. Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.
【11】Chang C Z, Zhang J, Feng X, et al. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a Magnetic Topological Insulator. [J]. Science, 2013.
【12】張天蓉.電子，電子！誰來拯救摩爾定律？[M].北京:清華大學出版社，2015, pp. 140-220.
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