一道CAE考題引發的思考，你中招了嗎？

1 引言

假設應力在整個橫截面上均勻分布而且整個桿件是均勻的，則有公式σ=F/A，F為該截面上的拉內力，A為材料該截面的橫截面積。而實際上，構件並不是如此理想的，由於某種用途，在構件上經常需要有些孔洞、鍵槽、缺口、軸肩、螺紋或者是其他桿件在幾何外形上的突變。所以在實際工程中，這些看似細小的變形可能導致構件在這些部位產生巨大的應力，其應力峰值遠大於由基本公式算得的應力值，這種現象稱為應力集中，從而可能產生重大的安全隱患。

應力集中削弱了構件的強度，降低了構件的承載能力。應力集中處往往是構件破壞的起始點，是引起構件破壞的主要因素。同時，應力集中的存在降低了整個構件的材料利用率，因為可能為了一部分結構的穩定而採用較高等級的材料，與此同時構件其他部分的強度並不需要如此高的性能。因此為了確保構件的安全使用，提高產品的質量和經濟效益，必須科學地處理構件的應力集中問題。

2 問題提出

筆者曾遇到一道有關L型角板的CAE考題，應力集中問題在L型角板的角點處得到了明顯的體現。如圖1所示一L型角板，一端端部固定，另一端部施載入荷100N，那麼網格的粗細對角點A處的應力有何影響？模型又該如何進行優化？下面將通過有限元分析的方法對這兩個問題作出合理的解釋。

圖1 L型角板

3問題求證

3.1 有限元分析

L型角板的約束與載荷施加情況如圖2所示，為驗證網格對角點A處應力大小的影響，將網格逐倍細化求取角點處的應力。結果發現，隨著網格的細化，角點處的應力一直在變大，處於不收斂狀態，這是因為應力集中的存在，用彈性靜力分析的方法無法準確求解該角點的應力值。

圖2 約束與載荷

圖3 網格與應力

3.2 結構改進分析

通過分析，發現這種直角的存在是相當不合理的，很容易造成結構的應力集中，而且工程實踐中也不可能存在像L型角板這種絕對的直角，故將角點A處改為半徑為2.5mm的圓角，同樣將網格逐倍細化，依次計算角點處的應力。

圖4 結構優化後的網格與應力

計算結果發現，此時角點A處的應力處於收斂狀態，網格細化一倍后角點A處的應力值變化小於5%。通過角點A取如圖5所示路徑，提取該路徑上的剪切薄膜應力和彎曲正應力，其數值分別為3.30MPa和45.17MPa。

圖5 路徑選取示意圖

3.3理論計算

為進一步驗證角點處應力數值的準確性，用理論計算的方法計算上述路徑截面1-2上的切應力和彎曲正應力，並與有限元方法得出的數值進行對比。

對於截面1-2處：

剪力大小為F，則切應力

彎矩大小為FL，則彎曲拉應力

對比發現切應力的誤差為0.9%，而彎曲正應力的誤差為3.4%，可見誤差均很小，這說明結構優化後，通過有限元方法可準確得到角點處的應力值，L型角板的角點應力集中問題基本上得到了消解。

4結束語

通過L型角板的角點應力計算可以發現，用圓角代替尖角，盡量避免形狀突變，能有效的緩和應力集中程度。一般來講，圓角的曲率半徑在可能的範圍內越大越好。工程中常還可以通過以下幾種修改應力集中因素形狀的方式，來降低應力集中程度：

（1）採用流線形或拋物線形的表面過渡。有時圓角並不對應於最小的應力集中，如果採用流線形變化的截面，效果會更好。為了縮短流線形表面的變化長度，可以採用拋物線形表面過渡。

（2）在構件截面突變的地方，除了用加大圓角來緩和應力集中外，另一種有效的措施是增加卸載槽。例如，對於下圖a所示的階梯軸，A處的剛度明顯低於B處，為了緩和剛度的劇變，除了加大圓角半徑外，如下圖b所示在B處開一卸載槽，能有效地降低應力集中。

（3）用橢圓孔代替圓孔。在保證構件正常工作的情況下，如果將圓孔改為橢圓孔，往往能提高構件的強度。如下圖所示，橢圓孔邊A點的應力集中係數為，當a=2b時，由上式可得應力集中係數為2，比圓孔（b=a）時的3降低了1/3。由於橢圓孔難以加工，因此工程上常簡單地用兩個圓弧來代替橢圓孔。

在工程上通常根據實際需要，合理選擇各種有效措施降低應力集中帶來的構件強度降低等問題。

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