不談公式，6位數學家在一起聊什麼？
左起：許晨陽、彭實戈、田剛、張益唐、朱歆文、劉若川
編者按：
10月15日，2016年度求是西湖論壇——「數學與數學人」主題圓桌會在北京大學燕京學堂報告廳落下帷幕。
此次論壇邀請到包括2016年度「求是傑出科學家」得主彭實戈、張益唐，北京大學教授、中科院院士田剛等資深數學家和幾位活躍在數學研究前沿的青年數學家一起，圍繞「如何理解數學家這個職業」「如何評價數學在今天的意義」以及「如何追尋人類心智的榮耀」等議題展開暢所欲言，展現「數學與數學人」的風貌。
受邀與會的《知識分子》整理了數學家們的討論內容，以饗讀者。
整理 | 呂浩然、程莉
責編 | 李曉明
初入數學之路
許晨陽：我想問的第一個問題是在座各位數學家在人生什麼階段選擇走上數學的道路的。
張益唐：我好像沒有專門一個階段去選擇做什麼。我小時候很喜歡數學，但由於當時的歷史條件等因素，並沒有機會讀書。恢復高考以後，因為我一直喜歡數學，我自然就選擇報考了數學系。後來一直這麼做下去了，所以對我來說沒有什麼特別的選擇過程。
田剛：我母親是學數學的，我在中學的時候自己看一些數學的東西。在我的家庭條件下看書也比較容易一點。那個時候覺得自己數學比較好，也還比較感興趣、得心應手，當然題目也很簡單。高考的時候，因為我的數學比物理考得好，所以來了數學系。隨後一步步走過來，到了大學快畢業的時候，覺得確實應該去做數學研究，而且也比較堅定地要做基礎數學。
彭實戈：我是學物理出身。本科期間，我大部分時間是在圖書館，並沒有到物理系，我現在還記得圖書館可以跳窗戶進去。起初也沒有說一定要學數學，但是那個時候一定要從高等數學開始。我記得很清楚，有一次我在圖書館看熱力學，忽然之間想起一個數學問題，我就寫了一篇關於數學的文章。我覺得這個經歷同我後來的研究有很大關係，後來自己想問題、找問題，對數學非常感興趣，也非常自由，研究數學我覺得是非常自由的事情，可以自己決定想什麼、怎麼想，什麼時候出來結果，都是很自由的，這也是我非常喜歡數學的一個原因。
朱歆文：我是小時候對數學比較感興趣，高中參加數學競賽，大學也進入到了北大數學系。那個時候並不清楚將來的方向，剛進大學的時候其實根本搞不清楚現代數學是什麼，那時候的理解和現在完全不一樣。大學期間，劉若川這些學長們經常在茶餘飯後談論數學的事情，田剛老師也總開一些論壇，我都有參與，也自然而然的走上了這條道路。
我直到研究生階段才真正開始做研究，這和本科又完全不一樣：本科主要是學習知識，而研究生則是找題目。剛開始導師會給一些題目，但更多的題目則需要自己找，如果做不出來可能就要走上其他的道路，這都是有可能的。最後自己找了一些題目，導師給的題目做了一些，也找到了一份不錯的工作，慢慢就開始了。
劉若川：我的經歷和許晨陽、朱歆文比較類似。中學的時候參加一些競賽，我對數學感興趣。在大學的時候覺得喜歡一件事情就去做了，又得到了正面反饋，這會加強你做這件事情的動力，一步一步的繼續做下去了。後來讀研究生的時候，可能會覺得找題目、做研究有些困難，偶爾也想過是不是去華爾街，偶爾腦子裡也閃念過，但卻沒有真正考慮過這些問題。
許晨陽：我也是中學參加數學競賽，通過數學競賽進入了北大。進入大學以後，當時同劉若川很熟，他的一句話給我很深的印象，他說：「數學不拋棄我，我一定不拋棄數學」。那個時候就感覺這句話很有意思，而且慢慢上大學開始覺得這與中學時代學習的數學是完全不一樣的概念，就一直做了下去。最後找的工作也還比較驚喜，就走上了這條道路，主要還是數學沒有放棄我。
提問：你怎麼知道數學沒有放棄你？
許晨陽：我講一個具體例子，我在美國做博士後的時候曾考慮如果我做得不順就再做一個博士後，如果兩個博士後都找不到教職我就放棄數學，結果做到第一個博士後我就找到了工作，所以我覺得數學沒有放棄我，能夠給我工作，做自己喜歡做的事情，我覺得它沒有放棄我。
提問：我想請教張益唐教授，你是不是就算「數學放棄我，我也不放棄數學」？
張益唐：我沒有想過這一句話，但的確有過這樣一個經歷，我突然感覺數學並沒有放棄我，為什麼呢？我那時候一直找不到工作，突然在英特爾工作的我北大80級同學來找我，說網路設計上有一個問題解決不了，問我能不能幫他解決。那個問題實際上是離散數學的問題，我花了一個星期幫他做出來了。
也是為這個事情我感覺有點自信心了，看來數學真沒有放棄我，我仍然記得那位同學電話里跟我說了這麼一句話：「你的內功還都留著呢，等著你去華山論劍呢」。所以在我的生涯中遇到這樣一件事情，就覺得數學沒有放棄我，當然如果你自己能堅持的話，我覺得數學不會放棄你。
田剛：劉若川講的「數學不放棄你」跟你的心態有關係，數學肯定不會放棄你，劉若川開始的時候也不像想像中的那麼順利，但是他還是能夠堅持做，而且現在也做得非常好。這是一個心態，數學不會放棄你。
加州大學聖塔芭芭拉分校數學系教授張益唐
孩子是否應該學習奧數？
提問：我的很多同事和家長都在糾結一個問題，我們的孩子到底要不要學奧數。有的家長堅決反對學奧數，有的則堅決支持，所以想請台上的六位數學大師給我們解讀一下。
劉若川：這個問題好像是問「是不是每個人都該練習跑百米」，體育運動大家都應該做一做，但是不是每個人都有必要練習百米衝刺？純粹地說，答案是否定的。尤其是奧數，它只適合很少一部分學生，適合那些對它感興趣、有能力的學生，對於大部分學生來說，如果你強迫他做一件事情，可能會帶來反面的、心理上的影響。但可能現在的社會環境不允許你這樣做，這就是我們的教育問題，教育本來要讓人快樂地成長，但是現實環境做不到，因為你有競爭，所以這就是個人選擇的問題。如果不學奧數對於升學沒有造成影響，且心理上也沒有影響，興趣也不在奧數上，你就可以不學，如果孩子喜歡，他/她就一定會去做這個事情。
許晨陽：我個人覺得奧數有一點比較好：如果你真的對數學或者對類似的東西有興趣，它可以讓你跟同樣有興趣的人碰在一塊。我高中的時候認識了朱歆文，參加奧數的時候認識了劉若川，與跟你有類似思考方式的人在一起，甚至形成了一種良性競爭，這對你個人的成長幫助是很大的。就像劉若川說的，你得適合這個事情。
劉若川：基本數學和基本文化素質大家都要去學習、提高，但奧數還有選拔的意義，為了升學等等。就像鋼琴十級一樣，很多人也不喜歡，就是為了升學，這要看你的選擇。
山東大學數學學院教授、中科院院士彭實戈
數學家的愛好
許晨陽：除了數學，各位嘉賓還有什麼愛好，在研究不順的時候又有哪些愛好？
彭實戈：我很同意張益唐教授的觀點。做數學，首先要感興趣，一般來說我會給自己提很多問題，有的問題是找人去聊聊。
剛才晨陽說問題，有一些志同道合的人進行探討是很重要的。不僅如此，最重要的是有一個好老師能夠吸引一批好學生，這批好學生在一起能夠進行討論，我自己覺得這是非常重要的。
田剛：剛才兩位講得很好，我就補充一些。第一，對於其它愛好的問題，我平時喜歡爬山。很多時候，尤其你爬山爬多了以後就會產生一個感覺：過了一個山頭還有一個山頭，而且是一步步走過來的，這會鍛煉你做研究的耐心，是有好處的。而且到達山頂時那「一覽眾山小」的感覺，至少是非常好的。就像彭老師說的，得到一個好的結果會有喜悅感，這個很重要。
做數學或其它任何研究，我相信很多時候會遇到挫折，尤其你想一個比較大的問題，很多時候是沒有進展的，都會有挫折感。這個時候就需要你有耐心，
在座的大部分年輕人，剛開始一有挫折就比較容易受影響，這時候需要把東西放一放。我自己的感覺，關鍵還是不能放棄，並不是要你每天每時每刻都在思考這個問題，可能一時想不出來就放鬆一下，做一些別的事，但這並不是說要放棄。
朱歆文：跟普通人一樣，數學家的興趣愛好也很多，尤其是爬山。做數學有一個好處就是你不需要什麼實驗設備，爬山的時候，幾個人邊走邊聊，自然而然就爬到了山頂。有的時候這種溝通還是能產生新的想法，跟平時自己在屋子裡拿著紙和筆思考是不一樣的。
劉若川：剛才彭老師提到與別人聊聊天，我覺得這個其實挺重要的。平時我一直在我的課上說：中國學生學習一般都愛讀書，「用眼睛學習」特別厲害，但是「用嘴學習」的能力卻很差，「用嘴學習」就是發問、課下跟別人聊，不要怕你問的問題愚蠢，問題越愚蠢，從回答中得到的信息量越大。但從目前來看，我感覺情況的改觀不是很大，希望以後北大的同學在課上還是多問問題。課下改善了很多，學生經常問我很愚蠢的問題，我非常欣賞這一點。
彭實戈：我非常同意若川說的，問問題不要怕這個問題問得傻。其實真正好的問題和傻問題離得不是太遠。數學問題有時候是你想的是這個，但答案卻是另外一個，這是非常有意思的事情。
田剛：我記得90年代初德國有一個著名的會議中心叫黑森尼，每個周三下午都去走路，下午一點出發，走兩個半小時到那兒，喝一杯咖啡，吃完晚飯後再走回來。一路上大家聊天，聊數學或者聊很多其他的事。幾十個數學家走在一起是個很好的交流機會，這個形式很好。你不要放棄你自己感興趣的問題，跟同行們多聊天、交流，還是能產生很多新的想法，對自己的研究有很大觸動。
北京大學國際數學研究中心主任、中科院院士田剛
數學基礎學習與研究的關係
朱邦芬：物理系學生到高年級可以跟著老師做研究，但是數學系卻很反對，物理很多是通過做研究達到幾個目的，一個目的是知道科學研究是怎麼回事；第二，做研究的時候很多東西逼著你自己要去學習，看文獻、提問題、與人討論，這種學習過程是很重要的；第三，通過研究你可以找到自己感興趣的領域，我們是出於這三個出發點來鼓勵物理系高年級的學生做一點研究。但是數學系很反對，您幾位怎麼看？
田剛：我們北大數學學院還是鼓勵學生在高年級的時候進行一些研究的，所以這不是共性的。朱歆文二年級就參加了討論班，我們也鼓勵歸國的青年教師帶一些研究生、本科生去做一些研究，但我們也希望他們進修一些基本課程。
劉若川：我非常贊成朱院士，數學也做類似的事情，北大現在也有本科生科研製度。因為數學方向比較龐雜，不同方向期望值不一樣，我的方向基礎研究比較多，不指望我們的本科生科研能做出多麼嚴肅的結果來，但是也希望他有一個模模糊糊、似懂非懂的學習過程，通過聊天和發散式的方式學習，這是很重要的體驗，以後到了研究生院學習過程會反過來。數學家雖然講究邏輯，但是到了研究型數學間，學術是反過來的，先學結論再學邏輯。研究生院先用這個技巧，不要執著於這個東西怎麼證明，而是先理解它。
當然這一點並不絕對，有的人也嚴格按照邏輯方式進行。我想強調的是我們也非常重視朱院士說的學習方式，也有這種傳統在。
張益唐：我贊成本科生在高年級開始就做研究，也不是指望你馬上就能做出什麼好的結果，但是最起碼有一樣：如果通過這個過程你能發現以前學的東西哪些還沒學好，也是一個收穫。不要說本科生，以我自己來說，我也不覺得我自己有多高明，我做數論，很多東西我也不知道證明是怎麼來的，但是我知道這個結果，而且知道怎麼把這個結果用起來，之後再回過頭來看。傳統上我們強調基礎，基礎不紮實確實不行，可是僅僅強調基礎就夠了嗎？我們要與時俱進，比如我們要用到很多代數幾何，把某個定理從敘述到證明完全學下來才允許去用它，這並不必要，至少我不是走這條路的。
朱歆文：高年級科研是比較好的一個模式，加州理工還鼓勵這個，每年有一些獎學金，大概八周六千美金，二年級、三年級的學生去自己跟教授聯繫，如果他願意就可以帶你。每年都會有那麼一些本科生的結果還是非常好的，可能比很多研究生的博士論文都還好。但是對大部分人來說，至少了解了一下科研其實和書本上學的確實完全不一樣，思維方式都完全不一樣。而且學東西和你真正做東西時的理解是完全不一樣的，有時候你覺得自己上課都學懂了，考試一百分，其實不是真的學懂了，差很遠。我最近和劉若川教授有一些合作，和我以前做的東西一點關係都沒有，先知道了一些結果，跟他討論，然後就學，慢慢才知道一些具體細節，這就是一個反過來的過程。我們現在做研究也都是這樣的。
彭實戈：剛才幾位教授說得都非常有道理，這是一個本事，你拿到結果，還沒有知道怎麼證明，就知道怎麼去用，這本身是一種本事。我們中國的學生很少有這種本事，很多問題我一看這個結果就知道這個結果特別好，我們很多同學一看見首先就想怎麼證明，而不是想這個結果這麼漂亮，我什麼地方可以用到。我覺得這個更重要，比得到證明更重要。當然了，你開始的時候要有這個訓練。
北京大學國際數學研究中心教授許晨陽
如何指導學生？
許晨陽： 我們現在剛剛開始處於帶學生的階段，我想請幾位老師談一下你們帶學生時候的想法。一般指導學生有兩種，一種是很快地將學生引到您的研究方向，手把手給他一些問題，給他一些指點，讓他快速成為這個方面的專家。還有一個辦法是讓他自己去找，消耗的時間可能更長，往往他博士讀了三四年都還沒有找到合適的研究方向。您是怎麼處理這種情況的？
田剛：在北大，我作為院長，也希望老師多帶學生，能夠培養新一代的年輕數學家。可能跟我的老師、老師的老師的傳承有關係，一般來說我同一個時間段的學生比較多，所以我跟學生說，第一先打一定的基礎，有幾本基礎的書還是要讀的，這幾本書介於研究和平常上課之間。然後開始讀一些文章，獲取更多的研究經驗。當然有的學生更早就開始讀文章了。
總體來說，我培養學生首先要培養他的獨立性，根據他的興趣和能力，很大程度上也根據我自己的興趣，給他一個方向或者一個題目。這個題目比較泛，不是具體要做出來的具體問題，可能是幾個中間的某一塊問題，讓他去看這方面的文章，自己去摸索問題，讓學生獨立自己找問題。問題要做出來需要學生自己努力和一定的運氣。也有一個可能性，這個專題里的問題都很難，但學生五年六年就要畢業，最遲六年，太晚了也不行，所以到一定時候，我會給學生非常具體的問題。
這樣的方式我自我感覺還是比較成功的，確實培養了一批學生。為什麼這樣有好處呢？因為學生不管到什麼程度，即使畢業，老師不可能整天在邊上教你做這個那個，肯定有獨立的時候，有的人早有的人遲一點，至少我是希望越早越好。我跟學生說如果你發現什麼東西做不動了，先想兩個星期再來找我，我不是給你解答問題的。
彭實戈：我覺得對老師和同學來說，兩邊都有很大的不確定性。我們最好讓學生自己討論，不要你提出所有問題，然後他去解決。你要看學生自己是不是能夠自己提出問題，自己發現問題。有時候你碰到一個學生，你要給他一個估計，如果這個學生可以，你就給他一個題目。有的學生有這個能力，你給他一個題目，他很快就能給你回答，甚至還做出其他東西來，這種學生我就推向國外。過一陣碰到我推薦的教授，他說：「你給我推薦的學生太厲害了，我沒法對付，我星期五給他題目，過了一個星期，他打出40頁文章。」但是他說這種學生也有問題，他覺得自己什麼都行，很容易驕傲，一點打擊會消沉很長時間。
還有一些事真是碰巧，比如有一個問題很好，他去做這個問題很快就出了文章，而且文章一下就出名了。但其實他並沒有受到太多鍛煉，只是一篇文章，內功還沒練出來就已經出名了。到現在我也沒有找出一個統一的辦法來帶學生，因為每一個學生都不同。
田剛：有的學生特別好，最好的狀態是你根本不用找他，他自己都可以做，一個好的學生甚至還可以對老師有反饋。
第二，一個年輕人要成長有兩個步驟，選題的時候不知道這個題目做出來有多大意義，這是一個很困惑的地方。作為老師，我可以讓學生做某個專題在某個方面找到一個問題，跟他們交談，告訴他這個問題最後做出來一定有意義，他不用擔心。還沒有到最後他能夠獨立研究的時候，但是學生畢業以前完成最好，畢業以後完成也很好。總之第一步他能獨立地找問題，不用擔心這個專題有多大、是否有意義，我鼓勵我的學生至少能做到這一步。
加州理工學院數學系教授朱歆文
建立理論，還是解決問題？
許晨陽：做數學一般可以分成兩種，一種是建立理論的，一種是解決問題的。一般來說這兩者也不是絕對可分的，解決一個大問題的時候往往也發展了理論；發展理論時，來辨別你發展的理論是不是有價值的時候往往要看它能不能解決問題。這兩者是相互關聯的，我想請台上各位老師談一談自己對這個問題的看法。您覺得你是解決問題為主還是發展理論？
劉若川：目前我關注比較具體的問題，主要的辦法還是在理論框架下做一些新的技術解決問題。
朱歆文：差不多吧，應該還是以解決問題為主。發展理論要有好的動機，有了好的問題指導你往前的話，自然而然會發展一套理論，但一般而言背後還是有一套具體的問題。如果純粹發展一大套理論的話，稍微有點危險。中國數學家少一點，國外很多數學家發展了很多理論但是都被淘汰了，因為為形式的推廣而推廣，意義不大。
張益唐：數論里沒有解決的、有挑戰性的問題太多了，我也是解決問題。另外發展理論確實有一個問題，如果一個問題太流於形式，沒有實質性內容，換一個說法就能解決嗎？在能接觸的專業里，我對形式化的發展理論持懷疑態度，別的地方我不敢亂說。
田剛：這個問題不大好回答，很多數學家尤其中國數學家還是以先解決問題為主。我覺得不光要解決問題，還要看清楚問題後面的本質，從更高一個層次去理解這個問題。因為從歷史上來看的話，很多問題剛開始解決的時候很費勁，證明也很長，但是後來隨著我們對整個數學、對整個問題和背景更深層次了解，以及工具發展、理論大大進步以後，我們發現原來解決的問題是很自然的。
我剛開始也非常傾向於解決問題，我還是對解決問題有一點內功的人。但是我也覺得，這麼長時間以來，僅僅解決問題是不夠的，尤其中國的數學家和學生，還要想後面更深層的原因、更高境界的理解，可以說這是追求理論。如果真正發展一個非常有用的理論，需要很長時間，也需要時間考驗，我們應該朝著這個方向努力。
彭實戈：我們做的問題是概率論方面的問題，我覺得首先如果你沒有解決問題的能力，發展一個理論也是不行的，所以開始的時候要培養解決問題的能力。比如在金融領域有非常多不確定現象，都可以用數學模型如倒向隨機微分方程來分析、解決。倒向隨機微分方程這個理論還是我們發明的，現在很多地方都用，而且很多人都問我們當時是怎麼想到的。所以我覺得不要給自己設限只解決問題，不去發展理論。有時候你碰到的一些問題有可能因為工具不夠而解決不了，就必須發展出一個新的理論來。
北京大學國際數學研究中心教授劉若川
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※不談公式，6位數學家在一起聊什麼？ | 求是西湖論壇
※彭實戈、張益唐獲2016年度「求是」大獎 | 孫家棟、楊振寧點評
※彭實戈、張益唐獲2016年度「求是」大獎
※人工智慧技術與應用思考——王小川
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