鯨魚幾何與螞蟻幾何

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你知道在鯨魚或者螞蟻的世界裡，它們的直線是什麼樣子的嗎？千萬別以為這個問題聽起來挺無厘頭的，但實際上它和我們人類的幾何學密切相關。有一本書叫《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》，作者是普林斯頓大學數學博士、科普作家達納-麥肯齊，在書里他給我們講了在鯨魚和螞蟻眼裡，直線是什麼樣的。

要知道這個問題，首先得了解「歐式幾何」是什麼。兩千多年前啊，有一個古希臘數學家，叫歐幾里得，他寫下了幾條公理。在這幾條公理的基礎上，歐幾里得用純邏輯推理的辦法，由簡單到複雜地證明了一系列命題，發展出一套體系，我們把它叫「歐氏幾何」，它被奉為人類理性推理的典範。

但是，後來有人就發現，歐幾里得寫的那幾條公理裡頭，有一條叫「平行假定」，咱們初中都學過，「通過直線外一點，有且僅有一條平行線」。好多數學家覺得這條不像其他那幾條那樣無懈可擊。

後來在19世紀上半葉，有三位數學家，分別大膽地開了個腦洞，那就是，假如說平行假定不成立的話，是不是也能獨立地發展出一套全新的幾何體系？這套體系和歐式幾何一樣，也是自洽的？

這想法太離經叛道，但顯然數學家們從來不怕這個。這其中以高斯、波爾約和羅巴切夫斯基為代表，試圖否定平行假定這條公理，這個過程中就誕生了「非歐幾何」，也就是「非歐幾里得幾何」的意思。

後來非歐幾何的大部分功績歸給了羅巴切夫斯基，因為他發明了羅巴切夫斯基幾何，現在的西方數學家也叫它「雙曲線幾何」。

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啥叫雙曲線幾何？如果你是頭鯨魚，那在你的世界裡的就是雙曲線幾何。為什麼這麼說？假定你現在就是頭鯨魚，在海洋深處，因為水裡很暗，所以光線沒啥用。你要靠聲音和外界交流。在你的世界裡，兩點之間的最短距離就是聲波走過的路徑。對你來說，這就相當於一條直線。

但聲音在海里的傳播速度並不是處處相等的。在某個深度範圍，聲速跟它和水面的距離成正比，也就是說，深度越深，聲速就越快。如果這個時候你要跟你的朋友說句話——當然啦，他現在和你一樣，也是頭鯨魚，那最省時間的辦法就是，聲波先向下，去水深的地方，因為那兒聲速比較快嘛，然後再向上傳給你朋友。科學家告訴我們，更準確地說，聲波走過的路就是一圈圈圓弧，圓心在海洋表面。這個圓弧對人類來說是「圓」的，但對鯨魚來說，卻是直線。

鯨魚的幾何里還有很多神奇的事兒，比如說三角形內角和小於180度、沒有長方形、五邊形的角都可以是直角。最重要的是，在鯨魚幾何里，曲率是負的。這也就是說，最初平行的兩條直線之間，距離會越來越大。

那螞蟻眼裡的幾何是什麼呢？是一種叫球面幾何的東西，也算是非歐幾何。你可以把自己想像成一隻生活在小行星上的螞蟻，你想去哪都行。但完全沒有空間的概念，也沒有地下的概念，你知道的一切就是這個球的表面。在你的世界，曲率是正的、三角形內角和大於180度、長方形不存在，還能畫出有三個直角的三角形，而最初平行的兩條直線之間，距離會越來越小，而且最終會相交，恰好和鯨魚的幾何相反。

現在我們知道了，世界上不是只有我們平時經常能摸到、看到的歐式幾何，還存在著其他形形色色的幾何體系，曲率是區別它們的標準。就像上面提到的，螞蟻幾何、歐式幾何、再到鯨魚幾何，但故事還沒完，這三種不過是曲率不變的幾何。我們還可以繼續想像那些曲率隨著地點改變的幾何，他們可以是二維、三維甚至更高維的。高斯是第一個理解二維空間里曲率變化的數學家，而他的學生黎曼後來把這個概念推廣到了更高維。

你可能會問了，那個時候就研究出這些抽象的數學理論有啥用呢？如果你穿越時空回去問高斯或者黎曼，他倆的答案肯定也是——不知道。但60年以後，愛因斯坦的廣義相對論發表，這個理論假設，我們的四維時空曲率處處不同。

如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼「離經叛道」、敢於打破完美理論的勇氣，愛因斯坦可能就沒辦法寫下他理論中的方程。

* 本文來自：得到APP，文中圖片由好玩的數學所加。

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