天體自轉也會混沌？
愛德華·洛倫茨（Edward lorenz），在氣象研究中發現混沌現象
撰文 | 張天蓉（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 寒凌旭
審校 | 張雙南（中國科學院高能物理研究所研究員）
鄭永春（中國科學院國家天文台副研究員）
上一篇介紹了月亮和地球的「潮汐鎖定」。引力對於「非質點」物體的「潮汐」效應使得月球永遠只將它的一面示於地球，這是月亮自轉公轉周期以1:1鎖定的結果。在太陽系的行星及衛星中，類似的鎖定例子非常多，並且，鎖定的比例也不見得一定是1:1，可能是3:2、4:3……或許是其它整數比。還有可能是好幾個「鎖定」的合成效應，那時需要將多個整數比值相加。
由於宇宙（太陽系）是一個多體系統，只是在一定的情況下，才用二體（或三體）模型來近似，得以方便研究它們而已。牛頓引力的「二體（質點）問題」，有很漂亮的、軌道為解析圓錐曲線的精確解。然而，對三體系統，即使將三天體全當作質點，大多數時候也帶給我們難以解決的數學問題，見下文的「龐加萊三體問題」。如果再將天體看成有形狀有大小、會自轉的剛體，便更為複雜了。但這種複雜性卻為我們展示了非常有趣的運動圖景，其中之一便是此篇將介紹的「混沌自轉」。
什麼是混沌
首先簡要介紹什麼是混沌。
科學界使用「混沌」一詞，描述非線性動力學系統的「不可預測性」。這種不可預測導致某些看起來「亂七八糟」無規律的行為。按照二十世紀之前人們理解的經典牛頓力學，宇宙似乎可以被想像成一個巨大的機器，是有序、規則、可預測的。只要初始條件給定了，所有天體將來的運動都完全可知和可預測。但之後的深入研究表明，在很多情況下，初始條件的些微改變，將造成完全不同的結果，即「差之毫厘，失之千里」。
這個領域的開創人是美國科學家愛德華·洛倫茨（1917年-2008年），他在氣象研究中發現混沌現象，發現氣象預報對初始條件的無比敏感性。如何直觀地解釋這種敏感性？好比是美國紐約的一隻蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大氣中引發一系列的連鎖事件，從而導致之後的某一天，中國上海將出現一場暴風雨！因此，後來人們也將混沌稱為「蝴蝶效應」【1】。
蝴蝶效應打破了人們精確預測未來的幻想，也更為正確地解釋了自然現象。正如美國歷史學家亨利·亞當斯所說：「Chaos was the law ofnature; Order was the dream of man.」，這兒的亞當斯不是美國總統，而是兩位總統所屬「亞當斯家族」的後代成員之一，他所說「混沌」一詞的意義也有所不同。但是，洛倫茨所發現的混沌現象，在科學及人文界的例子屢見不鮮，事實的確如此：「混沌是常態，次序只是人們美好的願望。」
比如說，生態學家羅伯特·梅，在研究昆蟲繁衍的「蟲口」（類似人口）問題時發現混沌理論中的分岔現象；金融家們在分析股票市場數據時也發現混沌現象；研究互聯網及社交網路的大數據，也能找到混沌。此外，我們每個人的心跳節律及腦電波等，都能看到混沌的蹤影。
圖1：圖片來自網路。http://www.physionet.org/tutorials/ndc/
甚為有趣的是，醫學家們原來以為「混沌」的心律也許與心臟病態有關，但後來卻發現，健康成人的心率曲線是凹凸不平的不規則形狀，貌似混沌。而癲癇病人和帕金森病患者的心率曲線反而呈現更多的規則性和周期性行為，表現得更有規律，如圖1所示。
龐加萊三體問題
昂利·龐加萊（Henn Poincare，1854-1912）被公認是19世紀後和20世紀初的領袖數學家，他從三體運動最早研究了與天文有關的混沌現象。
圖2：限制性三體問題
龐加萊企圖定性地研究包括小塵埃和兩個大星球的『限制性三體問題』，也就是說，小塵埃的質量大大小於大星體的質量。在這種情形下，兩個大星球的二體問題可以首先精確求解，大星球1和2相對作橢圓運動。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運動軌跡，但如圖2右圖的曲線所示，一定的情況下，小塵埃的軌道可能是「混沌」的。
單擺和雙擺
單擺是大家所熟悉的，如果擺動幅度很小的話，是簡單、確定、可預測的簡諧運動。
圖3：單擺的混沌
如圖3a所示的單擺，當角度很小時，擺動頻率是單一的，可以看成是僅由擺長決定的簡諧運動，相圖是一個規則的橢圓（圖3b）。但是在有外力的一定條件下，擺動幅度逐漸增大，新的頻率分量將不斷出現，有時還會產生轉動模式，其振動及轉動的次數、位置、方向，看起來越來越貌似隨機和不確定，最後會過渡到圖3c所示的混沌狀態。
將一根單擺連接在另一個單擺的尾部所構成的系統叫做雙擺。雙擺構造簡單卻很容易觀察到複雜的混沌行為，見圖4。
圖4：雙擺的混沌運動軌跡
三生混沌
在對混沌理論作出關鍵貢獻的學者中，有一位華人科學家李天岩。李生於福建沙縣，三歲時隨父母到台灣，大學畢業後到美國攻讀博士學位，後來一直在美國密執安州立大學（Michigan State University）數學系任教。李天岩定居美國後數十年，長時期與可惡的病魔作鬥爭。歷經洗腎、換腎、心血管開刀等大手術十餘次。意志力驚人的李天岩，長年累月在病床上堅持研究工作，在應用數學與計算數學中作出了不少第一流開創性的貢獻【2】。
正是李天岩和他當年的博士論文指導教授約克（James A. Yorke），一起創造了混沌（chaos）這個名字，他們在研究洛倫茨的「氣象混沌」工作時，以數學家的敏銳直覺，猜測混沌現象的產生與周期3有關，為混沌行為建立了數學基礎。
周期3是什麼意思呢？可以用一個直觀但也許不十分恰當的比喻來解釋：幾個周期就是幾個人傳球，周期1時只有1個人，丟來丟去還是丟在1個人手上；周期2就是兩個人傳來傳去；周期3就三個人，周期4就是四個人了。周期1和周期2的結果是簡單而可預測的，到了3以上，傳球的方式增加到很多種，開始有產生混沌的可能性。
李天岩和約克為混沌取名的文章「周期3即混沌」，使人聯想到老子的名言：「一生二，二生三，三生萬物。」龐加萊研究的三體問題也有個「3」，看來，於混沌而言，3的確是一個關鍵的數目！
土衛七的混沌自轉
土星和木星類似，有一個諸多衛星組成的大家庭，這個家庭是太陽系中最多種多樣的。它已經確認的衛星有62顆，其中有7顆質量較大且呈球形，看起來更像「衛星」。而其餘的大多數衛星奇形怪狀，因為它們質量都太小，尚不能靠自身的引力平衡而形成球形，看起來像是許多在土星的天空中遊盪的小石頭。其中有一顆與混沌現象有關的「小石頭」是土衛七（Hyperion），見圖5a。除此之外，看起來美麗的土星環中還有難以計數的「小小石頭」衛星。
圖5：土衛七
圖5b中所畫的是土衛六和土衛七圍繞土星轉動軌道的示意圖，其中的3個天體大小比例遠不是真實情況的比例。就質量而言，土星相當於95倍地球質量，土衛六隻有0.0225倍地球質量，大約只有土星質量的萬分之二，而「小石頭」土衛七的質量，還不到土衛六質量的萬分之一，見圖6。
別看土衛六質量只有土星的萬分之二，它可是土星衛星中的「老大哥」，完全有資格瞧不起其它所有的「弟弟」，因為土衛六的質量佔了所有環繞土星物體總質量的百分之96。即使在整個太陽系中，土衛六的大小也只是僅次於木衛三，屈居老二。
不過，土衛六的旁邊帶了一個頗有特色的「小弟弟」，那就是土衛七。
圖6：太陽系各行星的主要衛星大小比較圖（來自維基百科）
土衛七是土衛六最鄰近的衛星，軌道比土衛六稍大。空中漂浮著的土衛七粗看起來像個土豆，長度大約360公里，直徑270公里，是太陽系中最大的非球體天體之一。不久前美國宇航局的卡西尼探測器飛過土衛七，將它「細」看了一下，發現它有一張恐怖的「麻臉」，原來在土衛七上布滿了大大小小的遭遇小天體撞擊的隕石坑。也有人將土衛七的這種多孔外觀與「海綿」比較，稱其為「海綿衛星」。不過，土衛七最令人感興趣的是它的混沌旋轉。這是什麼意思呢？就是將我們剛才介紹的「混沌」概念用在土衛七的自轉軸和自轉速度（周期）上。也就是說，它的旋轉周期和方向都在不停地、貌似隨機地改變著，無法預測。
眾所周知，地球自轉的周期是24小時左右，自轉軸方向基本固定，與公轉平面保持66度34分左右的斜度。地球自轉的轉軸和周期也會變化，但非常緩慢，好些年才偏離一點點。所以，我們每天早上看見太陽從東邊升起，下午往西邊落下，晝夜規則地交替循環，人體的生物鐘也就跟著運轉。但是，如果有幾個宇航員登陸到土衛七上面去生活一段時間，那他們可就慘了。看見太陽下山之後，不知道它什麼時候會再升起來？也許1小時，也許幾小時，也許幾十小時？都說不準。也不知道太陽會從哪個方向出來？哪個方向落下？也似乎無規可循。
因此，天體的混沌自轉，對天體上的生物而言，就是晝夜交替的混沌。
土衛七的自轉為什麼會呈現混沌狀態呢？細節原因還有待專家們深入研究，但從混沌現象的一般規律來說，應該是與「三體」有關。
這三體就是土星、土衛六、及土衛七。土星的引力束縛使它成為一顆衛星，而老大哥土衛六的軌道與它靠得很近，影響頗大。兩個大天體，一個小天體，有點類似於前面例子中的「龐加萊三體問題」。不同的是，在「龐加萊限制性三體問題」中，小天體的軌道表現混沌，而在土衛七的情況，表現混沌的不是它的軌道，是自轉特性。
也可以將土衛七的混沌轉動與雙擺的例子類比：土星及土衛六對土衛七的強大引力，就像雙擺中的兩根「杆子」。杆子的轉角也是混沌的。
土衛六的存在也影響到土衛七的公轉軌道（雖然沒有混沌）。一是使得它的軌道具有較大的偏心率，見圖5b；二是使兩者的軌道產生共振，如圖7b所示。從卡西尼探測器傳回的數據證實，土衛六與土衛七有4:3的軌道共振。也就是說，土衛六（周期16天）繞土星每轉4圈，土衛七（周期21.3天）剛好繞土星轉了3圈。
圖7：軌道共振
圖7a顯示出一個太陽系中行星軌道共振的例子：地球和金星的繞日軌道共振為8:13。
我們把話題再回到土衛七的自旋混沌。對太陽系中天體的觀測發現，如果一個天體偏離球形比較大，即使自轉已經被中心天體鎖定，它仍然會產生比較大的搖擺，一邊轉一邊擺。就像一個形狀不對稱的陀螺，高速旋轉時也免不了擺動。土衛七離土星的距離比較遠，軌道的偏心率大，自身形狀不規則，又被旁邊的土衛六強烈影響。多個因素產生許多不同的共振頻率並互相疊加，結果造成了它的混沌自轉。
很多不規則的天體都可能有這種混沌運動，不過觀測的資料有限，目前觀測到的自轉混沌，除了土衛七之外，還有冥王星的幾顆小衛星，如圖8所示。
圖8：冥王星和凱倫（或翻譯為卡戎、冥衛一）及小行星（圖片來自NASA）
比如冥衛二與冥衛三，它們體積較小且形態不規則。這兩顆小衛星是在新視野號升空之前由哈勃空間望遠鏡發現的。新視野號第一次辨認出了它們的輪廓和大型地貌。冥衛二長度只有42千米，寬度36千米；冥衛三長55千米、寬40千米。它們受到冥王星和凱倫複雜的雙星引力場的影響，加之自身形狀不規則，新視野號觀測到它們正在混沌地翻滾著，自轉軸方向和自轉周期都不確定【3】。
太陽系中，土星是唯一有混沌轉動衛星的行星。誰對土星最了解呢？是探測土星12年的「卡西尼－惠更斯號」，我們將在下一篇中介紹它。
參考文獻：
【1】《蝴蝶效應之謎-走近分形與混沌》，張天蓉，清華大學出版社，2013年7月。
【2】中國數學家傳(第六卷) 李天岩，作者：丁玖，
http://www.global-sci.org/mc/issues/2/no3/freepdf/15s.pdf
【3】Pluto』smoons tumble in chaotic dance By EarthSky，http://earthsky.org/space/plutos-moons-tumble-in-chaotic-dance
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