三次數學悖論，引發三次數學危機
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什麼是悖論
日本波岩書店《數學百科辭典》關於悖論辭條是這樣說的：能夠導出與一般判斷相反的結論，而要推翻它又很難給出正當的根據時，這種論證稱為悖論。特別是，如果一個命題及其否定均可用邏輯上等效的推理加以證明，而其推導又無法明確指出錯誤時，這種矛盾，便稱為悖論。即是說，所謂悖論，是指這樣一個命題A，由A出發，可以推出一個命題B，但從這個命題B，卻會出現如下自相矛盾的現象：若B為真，則推出B為假；若B為假，又會推出B為真。
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悖論的三種主要形式
（1）一個論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；
（2）一個論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；
（3）一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導出了邏輯上的自相矛盾。
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悖論存在的意義
悖論是一個涉及數學、哲學、邏輯學、語義學等非常廣泛的論題，是一種現時的科學理論體系所解釋不了的矛盾。正因為如此，悖論在「荒誕」中蘊涵著哲理，可以給人以啟迪，給人以奇異的美感，沿著它所指引的推理思路，可以使您走上一條繁花似錦的羊腸小道，而又使用您在不知不覺中陷入自相矛盾的泥潭。但經過破譯，將會使您感到回味無窮，並且能從中啟發思維，提高能力。邏輯學家赫茲貝格說：「悖論之所以具有重大意，是由於它能使我們看到對於某些根本概念的理解存在多大的局限，……事實證明，它是產生邏輯和語言中新概念的重要源泉。」
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悖論舉例
1. 上帝全能悖論
甲說：「上帝是全能的。」乙說：「全能就是世界上任何事都能辦到。請問：上帝能創造出一個對手來擊敗他自己嗎？」如果說能，則上帝可以被對手擊敗，並非全能的；如果說不能，則說明上帝並非是全能的。
2. 唐·吉訶德悖論
著名小說《唐·吉訶德》里描寫了一個殘酷的國王，在他所能統治的國家裡有一條法律：每個旅遊者都要回答一個問題：「您來這裡幹什麼？」如果回答對了，一切事情都好辦；如果回答錯了，立刻被絞死。
某天，有個旅遊者來到這個國家，回答上述問題時他答道：「我是來被絞死的。」如果旅遊者回答是對的，按照法律，他就不應該被絞死；如果旅遊者回答是錯的，按照法律應被絞死，而他的「我是來被絞死的。」這句話顯然又是回答對了，也不應該被絞死。最後，國王無可奈何，只得對旅遊者放行。
3. 撒謊者悖論
這是古老、最重要的語義學悖論之一。這個悖論依歐幾里得的敘述形式可以通俗表示為：「我現在所說的這句話是假話。」此話到底是真是假？如果此話為真，則「我現在所說的這句話是假話」為假了；如果此話為假，則「我現在所說的這句話是假話」為真了。
4. 理髮師悖論
這是羅素集合悖論的一種通俗說法：薩維爾村裡的一名理髮師，給自己立了一條店規：「只給自己不給自己刮臉的人刮臉。」那麼這位理髮師的臉該不該由自己刮呢？
如果理髮師的臉由他自己刮，則他屬於「自己給自己刮臉的人」，因此，理髮師不應該給自己刮臉；如果理髮師的臉不由自己刮，則他屬於「自己不給自己刮臉的人」，因此，他的臉可由自己刮，顯然又與上述「自己不給自己刮臉的人」相矛盾。
5.價值悖論
價值悖論（鑽石與水悖論）首次由約翰·勞提出，其認為鑽石對生命來說是不重要的，所以人們應該認為它的價值比水低。後來亞當·斯密試圖說明價值決定因素時借用了這個例子，只不過亞當·斯密沒有致謝。此一理論在台灣教科書中常被稱作，鑽石與水的矛盾。
眾所周知，鑽石對於人類維持生存沒有任何價值，然而其市場價值非常高。相反，水是人類生存的必需品，其市場價值卻非常低。這種強烈的反差就構成了這個悖論。為什麼會有這樣的現象呢?若不考慮市場上的其他因素，沙漠地區的水比鑽石貴，或者是需求面的因素。就供給面來說，水的數量非常大，且幾乎隨處可見(如果不考慮荒漠乾旱地區，地球上幾乎處處都有水，包含大氣層中的水汽)；而鑽石呢，是蘊藏在地表底下，且必須經過時間與適當的條件產生(如果不考慮人工鑽石而單純考慮自然鑽石)，供給非常的少，因此水供給大，而鑽石供給少，故會產生這樣的現象。
6.祖父悖論
祖父悖論又稱為「外祖母悖論」是一種時間旅行的悖論，科幻故事中常見的主題。最先由法國科幻小說作家赫內·巴赫札維勒(René Barjavel)在他1943年的小說《不小心的旅遊者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：
假設你回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死；因為你祖父母死了，就不會有你的父親；沒有了你的父親，你就不會出生；你沒出生，就沒有人會把你祖父母殺死；若是沒有人把你的祖父母殺死，你就會存在並回到過去且把你的祖父母殺死，於是矛盾出現了。
7.特修斯之船悖論
特修斯之船(又譯為忒修斯之船)亦稱為忒修斯悖論，是一種同一性的悖論。
假定某物體的構成要素被置換後，但它依舊是原來的物體嗎?
公元1世紀的時候普魯塔克提出一個問題：如果忒修斯的船上的木頭被逐漸替換，直到所有的木頭都不是原來的木頭，那這艘船還是原來的那艘船嗎?因此這類問題現在被稱作"忒修斯之船"的問題。有些哲學家認為是同一物體，有些哲學家認為不是。在普魯塔克之前，赫拉克利特、蘇格拉底、柏拉圖都曾經討論過相似的問題。近代霍布斯和洛克也討論過該問題。這個問題的有許多變種，如"祖父的斧頭"。
8.電梯悖論
在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說:"每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪!"李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說:"不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了!"
這究竟是怎麼回事?電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩?
9.黃油貓悖論
黃油貓悖論（英文：Buttered cat paradox），是把兩種民間常識組合而成的惡搞悖論，該常識為：
(1) 貓在半空中跳下，永遠用腳著陸。
(2) 把黃油吐司拋到半空中，吐司永遠在塗上?黃油的一面落地。
這個悖論出在，你把黃油吐司沒有塗上黃油的一面黏著貓的背部之時。依照以上兩條定律，貓無法用腳著陸，因為黃油吐司永遠在塗上黃油的一面落地；但同樣的，黃油吐司塗上黃油的一面無法落地，因為貓永遠用腳著陸。
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認識的挑戰
數學史上的三次數學危機，是由三次數學悖論的出現所引起的。1979年美國傑羅姆·馬立茲認為幾十年來，「悖論至今沒有得到圓滿的答案」。哥德爾甚至指出「悖論不解決，會使形式邏輯破產」。其實悖論的出現，並非使人類思維的錯誤或無能，而是某種必然的反映，使科學理性進步的階梯。
普里斯特說：「悖論式命題充滿著使人驚奇的內容。」在科學的發展過程中各個領域都出現了一些在思維上，推理上不清楚的問題。有的」似是而非」有的」似非而是」，基至有些是」猜謎」性質的也被稱為悖論。如有些數學書刊上出現的一種」數學詭辯題」，問題幽默風趣，往往妙不可言，不僅引人入勝，而且發人深思。每一道數學詭辯題的破譯，都可以正反兩個方面加深對數學基本概念和基本方法的理解。
悖論不是閑談的趣聞，它預示著更新的創造和未來。在某種意義上來說，悖論推進了科學的進程，激發了科學家的熱情。正如哲學家維特根斯坦早在1930年所指出的：「即使在目前階段我也要預言，總會有一天出現包含有矛盾的數學演算研究，人們將會感到真正的自豪，因為他們把自己從協調性的束縛中解放出來。」人們對數學美學標準的認識，將會有所突破和創新，到那時，人們對悖論的看法也會是見 「怪」 不 「怪」 了。
via：《數學美拾趣》
摘自：好玩的數學
擴充內容來自網路
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