數學中的「美好結局問題」：研究它的兩名數學家都結婚了，它還沒有被解決

「美好結局問題」是一個題目本身簡單易懂，但至今未被解決的數學問題。世界上許多傑出的數學家都曾嘗試解決這個問題，但都以失敗而告終。那麼「美好結局問題」究竟是一個怎樣的問題呢？簡單來說，這個問題就是將平面中的一些點連接成一個圖形的問題。

撰文 Marianne Freiberger

翻譯 房苑

審校 劉卓

首先我們以平面內三個不共線的點為例，顯然，我們總能以這三個點為頂點畫出一個三角形：

平面內任意三個不共線的點構成一個三角形。

那麼如果平面內有四個點（其中任意三點不共線），我們可以畫出一個什麼圖形呢？可以看到，將這些點兩兩連接，可以做出一個以這四個點為頂點的四邊形：

可能得到的四邊形。

但是由於這四個點可能有不同的分布方式，我們有可能得到一些看起來比較奇怪的四邊形（如上圖中位於中間的四邊形）。這些四邊形既有凹入的部分也有突出的部分，它們與我們腦海中浮現的「四邊形」形象，即平整規則的矩形，完全不同。那麼我們再加一個限制條件，看看能否依次連接給出的四個點畫出一個凸四邊形，即四邊形所有的內角都不大於180度（這一條件保證了得到的四邊形沒有「凹陷」）。下圖所示的四邊形不是一個凸四邊形，而上圖中的左右兩個四邊形是凸四邊形。

非凸四邊形的一個例子。

下面這些簡單的例子告訴我們，依次連接給出的四個點並不總能畫出一個凸四邊形：

依次連接給出的四個點可能無法畫出一個凸四邊形。

然而，當我們再加一個點時，情況就不同了。假如平面內有五個點（任意三點不共線），那麼我們總能從這五個點中找出四個點，依次連接畫出一個凸四邊形。也就是說，這個新引入的點給我們帶來了很大的靈活性。下面給出一些例子（事實上，利用給定的五個點你可能還可以畫出一些不同的凸四邊形）：

給定五個點（任意三點不共線），我們總能從中找出四個點，依次連接畫出一個凸四邊形。

上面的這個結果被數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）稱為「美好結局定理」，這源於一個美麗的愛情故事：埃爾德什的兩個朋友George Szekeres和Esther Klein都曾研究上述問題，雖然他們最終並沒有完全解決這個問題，但兩位數學家結婚收穫了美好的愛情。在本文的末尾，我們會粗略介紹一下他們的工作。

多少個點保證一定能得到凸n邊形？

接下來容易提出的一個問題是：給出多少個點可以保證我們總能從中選出五個點構成一個凸五邊形？答案是九個點（同樣，任意三點不共線）。下面是我們給出的兩個例子：

給定九個點（任意三點不共線），我們總能從中找出五個點，依次連接畫出一個凸五邊形。

給定十七個點（任意三點不共線），我們總能從中找出六個點，依次連接畫出一個凸六邊形。

那麼我們需要幾個點才能保證一定能畫出一個凸七邊形呢？答案是——沒有人知道。當然，更沒有人知道幾個點可以保證畫出凸八邊形，凸九邊形，凸十邊形，甚至凸n邊形。埃爾德什和Szekeres認為，對於任意大於等於3的自然數n，能夠確保我們一定能夠從中找出n個點構成凸n邊形的點數為：

可以驗證，當n=3時（即需要畫出一個三角形時），這個公式得到的結果是正確的，因為：

當n=4,n=5,或n=6時，上述公式仍然有效，因為：

且

但是當n>6時，根據上述公式計算得到的結果是否正確沒有人知道。埃爾德什和Szekeres能夠證明：為了確保一定能夠得到一個凸n邊形，我們至少需要平面內的個點，且這個點數是一個有限的數。也就是說，當給出足夠多的共面的點時，我們總能從中找出n個點構成一個凸n邊形。但是，迄今為止沒有人能夠證明給出平面內多少個點可以保證我們一定能夠從中找出一個凸n邊形。

「美好結局問題」為我們展示了這樣一個有趣的現象：當一個系統足夠大（例如有足夠多的點）時，我們總能從中分離出一些有序的組分（例如凸多邊形），即使這個系統整體是無序的。事實上，數學研究中的拉姆賽理論（Ramsey theory）就在研究上述問題。

「美好結局定理」n=4情況下的粗略證明

現在假設平面內有五個點，其中有三個點可以連接成一個三角形，且其他兩個點包含在這個三角形內部，我們稱它們為點A和點B。點A和點B決定的直線將這個三角形分為兩個部分。其中一個部分包含這個三角形的一個頂點，另一個部分包含這個三角形的另外兩個頂點，我們稱這兩個頂點為點C和點D。

圖中三角形被過內部兩點的直線分為兩個部分。

運用基本的幾何知識不難理解，下圖中四邊形ABCD的每一個內角都不超過180度，也就是說，下圖中的四邊形ABCD是一個凸四邊形。

如果五個點中的任意三個點構成的三角形都不能將其他兩個點包含在內部呢？那麼就至少有一個點落在三角形外部（如下圖所示）。這時，我們可以將三角形的三個頂點和三角形外的一個點連接構成一個四邊形。同樣不難理解這個四邊形的所有內角都不大於180度，也就是說這樣構成的四邊形是一個凸四邊形。證畢。

至少一個點在三角形外部。

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