這個簡單的圖形，為何讓最傑出的數學家和建築師著迷？

世界上最傑出的數學家和建築師，當然是大自然。從蜂巢到蠅眼，再到海綿的多孔骨架，自然利用簡單的六邊形做出了最精妙的設計，永遠無法被超越。

撰文Philip Ballapril

翻譯徐付琪

審校趙維傑

面對蜂巢緊密排列的完美六邊形截面，每個人都會驚嘆於這一精密的工程學奇蹟，並好奇蜜蜂究竟是怎樣把蜂巢搭建得如此完美。蜂蠟牆壁的厚度恰到好處，每個巢房都微微傾斜，剛好阻止了粘稠蜂蜜的流出，而整個蜂巢的方向又與地球磁場方向一致。很難想像，這種建構不需要藍圖，蜜蜂之間的精妙合作就能夠完全避免巢房之間的錯配。

亞歷山大時期的古希臘哲學家帕波斯認為，蜜蜂一定具備「某種幾何學規劃能力」。賦予它們這種能力的，或許只能是上帝？1852年，William Kirby就稱讚蜜蜂為「天賦數學家」。達爾文卻對這種觀點心存疑慮，他設計了一系列實驗，來驗證蜜蜂是否會依照他的進化論，僅憑進化和遺傳而得的本能就構建出完美的蜂巢。

蜂巢：蜜蜂似乎進化出了用自身分泌的柔軟蜂蠟搭建完美六邊形巢房的能力。然而一些研究者認為，柔軟的蜂蠟的表面張力本身就足以把每個巢房撐出特定的形狀，就像泡筏中肥皂泡之間的堆積一樣。（圖片來源：Grafissimo / Getty）

但是，為什麼偏偏是六邊形？這其實是一個很簡單的幾何問題。如果想要用單一形狀和大小的圖形單元鋪滿整個平面，只有三種單元可供選擇：等邊三角形，正方形和正六邊形。而三者之中，鋪滿相同面積時正六邊形的周長之和最小。考慮到蜜蜂會像建築工人希望少用磚頭一樣儘可能節省寶貴的蜂蠟，這種選擇就不難理解了。人們在18世紀就明白了這個道理，達爾文稱讚正六邊形的蜂巢是「最節省勞動和材料的完美選擇。」

達爾文認為，建造六邊形巢房的蜜蜂消耗的能量和時間更少，具有生存優勢，在自然選擇的作用下，這樣的建造方式就成為了蜜蜂的本能。然而，即便蜜蜂似乎確實擁有測量角度和牆壁厚度的能力，並不是所有人都認為，它們確實在建造蜂巢時使用了這種能力。畢竟，六邊形陣列在大自然中隨處可見。

肥皂泡：單層肥皂泡（泡筏）中絕大部分泡泡是六邊形。雖然不是所有泡泡都是正六邊形，也有一些泡泡存在「缺陷」，呈五邊形或七邊形，但所有泡泡之間的連結位置都是三個泡泡接觸在一起，交角約為120°。（圖片來源：Shebeko / Shutterstock）

如果在水面平鋪一層肥皂泡（形成所謂「泡筏」），這些泡泡會自動變成六邊形或近似六邊形。自然界不存在正方形結構的泡筏，當四個泡泡碰到一起時，它們會迅速重新組合成三三相接的結構，泡泡之間的角度約120°，就像賓士車標一樣。

賓士車標（圖片來源：賓士百度廣告）

顯然，肥皂泡的結構並不是蜜蜂或者其它生物刻意搭建的，決定其六邊形形狀的是單純的物理規律。這種規律存在偏好性，使得泡泡之間傾向於形成120°的穩定連接。在更複雜的立體泡堆結構中，同樣存在類似的偏好性，如果用吸管吹動泡筏，你會看到泡泡堆疊在一起，每個連接點有四個泡泡，角度約為109°，與正四面體角度接近。

自然中的泡堆模式：泡泡的堆積模型被大自然應用。圖中的海蝸牛分泌粘液，將氣泡粘在一起，製成的浮力筏懸掛在海面上。浮力筏可以幫助海蝸牛捕食水面上的生物。

是什麼決定了肥皂泡的連接方式和形狀呢？相比蜜蜂，大自然是一位更加斤斤計較的工匠。泡泡和肥皂膜主要由水構成（水表面覆蓋著一層肥皂分子），表面張力會使肥皂泡儘可能地縮成球形。下落中的雨滴同樣接近球形，以獲取相同體積下最小的表面積，蠟質葉片上的水珠也是同樣的道理。

水滴：疏水表面上的水經常會分裂成小水滴。表面張力對水滴形狀起決定性作用，使水滴呈球形。此外，重力（在垂直方向上把水滴壓扁）和水滴-固體表面之間的力也影響水滴形狀。如果後兩種力更強，水滴就成了扁平的透鏡一樣的形狀，如果表面疏水性能不好，液體將攤成平坦而光滑的膜。（圖片作者：左上: Stuchelova, Kuttelvaserova / Shutterstock;右上: Olgysha / Shutterstock; 底部: Pitiya Phinjongsakundit / Shutterstock）

我們可以用表面張力解釋平面泡筏和立體泡堆的結構。泡堆會自發形成表面張力總和最小，即泡泡表面積總和最小的結構。同時，堆積結構的穩定性也需要保證，連接處的力需要在每個泡泡之間均勻分配，才能建起「泡泡大樓」。單層泡筏中三個肥皂泡相接，堆疊的泡堆中四個肥皂泡相接，都是為了取得這一平衡。

有些人認為蜂巢的本質就是由柔軟蜂蠟固化形成的泡筏，但這無法解釋為什麼造紙胡蜂的巢穴也都是六邊形結構。造紙胡蜂是一種特殊的胡峰，它可以咀嚼木纖維或者植物莖部，混合唾液後合成一種特殊的「紙」。這種紙的表面張力小到可以忽略，而不同種類胡蜂巢穴的整體形狀也差異顯著。

造紙胡蜂

生物細胞的排列也常常遵守著同樣的規則。蠅類的複眼是和泡筏一樣的六邊形陣列，每個小眼背後的四個感光細胞也按照同樣的規則排列。在擁有不只四個感光細胞的突變個體中，這些細胞形成的新的堆疊方式依舊遵循泡筏規則。

複眼：昆蟲的複眼也像泡泡一樣，是六邊形的陣列，區別在於昆蟲複眼中的每個小眼都與平面下一個細長的視網膜細胞相接。複眼這類細胞堆積方式和泡筏的原理一致，任何一個交接處都有三個細胞。圖片為蒼蠅複眼的顯微照片，每個小眼由四個感光細胞組成，而感光細胞的排列方式也和四個泡泡的排列方式相同。（圖片來源：Tomatito / Shutterstock）

泡泡之間的連接方式是由力學規律決定的，但每個泡泡的具體形狀並不確定。一堆泡沫里往往有形狀大小各異的泡泡。仔細觀察每個泡泡的邊緣，你會發現它們很少有嚴格的直線，都或多或少帶些弧度。這是因為，泡泡越小內部的壓力就越大，在壓力作用下，與大泡泡相鄰的小泡泡的邊緣會稍稍外凸。此外，還有一些泡泡呈四邊形，五邊形，七邊形……邊緣的輕微彎曲讓這些形狀的泡泡也能夠以四面相接的形式彼此接觸，形成滿足力學穩定性的四面體結構。雖然泡泡的形狀會發生微調，但它們並非亂作一團，依然遵循著一定的規律。

那麼，是否存在一種完美的泡泡形狀，可以讓泡堆中的每個泡泡大小一致呢？什麼樣的形狀可以在取得最小總表面積的同時，滿足結構對接觸角度的要求？人們已經為這個問題爭論了很多年。長期以來，人們一直認為這種理想的形狀是由正方形和六邊形表面圍成的一種十四面體。但是在1993年，人們發現了一種不那麼規則卻更加經濟的的結構。嚴格來講，這種結構不是單個泡泡的形狀，而是一個由八種不同形狀的泡泡拼接而成的組合單元。北京奧運會的水立方正是運用了這種複合結構。

水立方（圖片來源：hwjyw.com）

在表面張力的作用下，肥皂水會在閉合的線框間形成薄膜（想想吹泡泡用的塑料圈）。如果線框彎曲，膜的表面也會隨之彎曲，用最小的膜面積覆蓋整個區間。這給試圖用最少材料建造複雜屋頂的建築學家提供了啟示。除了弗雷·奧托等把經濟因素排在首位的建築師，這種「極小曲面」本身的優美也吸引了眾多科學家。

極小曲面的表面積和總曲率均最小。一般來說，曲面彎曲得越劇烈，曲率就越大。但是曲率可以是負數（內凹）或者正數（外凸），所以將一個複雜曲面各處的曲率相加之後，得到的總曲率也可能為零。

這種平均曲率很小的複雜曲面可以把空間劃分為由各式通道有序連接而成的迷宮式網路，這樣的結構被稱為「周期性極小曲面」（周期性是指這種結構重複出現，規則排列）。這種結構最早發現於19世紀，最初人們只把它當做數學家的遊戲，但現在我們知道，自然界中也存在著這種結構。

在植物、魚類、小鼠等多種生物的細胞中都存在此種結構的顯微膜結構。雖然沒人清楚它們的具體功能，但是這種結構的分布如此廣泛，讓人不禁推測它們一定有著某種特殊的功能。或許它們可以將不同的生化反應隔離在不同的小室中進行，防止彼此干擾；或許這種結構只是為了用更少的材料製造出更多可以供酶附著並催化生化反應的「工作膜面」。不管這種結構的作用如何，毋庸置疑的一點是，促使這種結構形成的並不是一套複雜的基因指令，而只是單純的物理規律。

綠灰蝶和寬絨番鳳蝶的翅膀上也存在這種結構，它們翅膀上堅硬的幾丁質形成了這種規則的迷宮，其形狀與一種被稱為「螺旋二十四面體」的周期性極小曲面一致。這種翅膀表面規律的凸起和其他結構一起以特殊的方式反射光線，不同波長的光線彼此疊加導致一些顏色消失，又產生新的顏色。這種結構是動物體表顏色形成的一種特殊方式。

海膽 （Cidaris rugosa）多孔的網狀外骨骼則遵從著另一種周期性極小表面，這種外骨骼保護著海膽的軟組織。這種布滿突起，外觀奇特的外骨骼的成分和粉筆、大理石一樣，都是碳酸鈣。和飛機使用的泡沫金屬材料一樣，這種開放的網格結構兼顧了輕便與強度。

Cidaris rugosa的骨架化石。（圖片來源：pinterest.com）

一些生物還會把這種結構應用在更為複雜的場景中。這種結構反射光線的模式特殊，交織的結構可以像鏡子一樣引導或者限制光線的傳播。海鼠（一種獨特的海洋蠕蟲）的幾丁質外殼突起中存在蜂巢式的纖維狀中空管狀結構，這些毛狀的突起形成了允許光線通過的天然光纖，讓海鼠可以在來自不同方向的光線照射下，顯現出從紅色到淺藍綠色的不同顏色，這種巧妙的變色方式可能可以震懾它的捕食者。

為了構建出這些由堅硬礦物質形成的規則結構，這些生物需要首先用柔軟可變的軟組織或者膜結構做出模具，再在這個柔性的網路內部完成礦化作用。海洋中充滿著這樣的的例子。一些海綿的外骨骼就是這樣形成的，這些外骨骼的形態就像是泡堆中各個泡泡邊緣形態的集合——在表面張力這位建築大師手下，這樣的結果不足為奇。

礦物質網：海綿的「維納斯花籃」式多孔骨架。這樣的結構是由填充在泡狀軟組織空隙間的礦物質形成的。（圖片來源: Dmitry Grigoriev / Shutterstock）

同樣運用了這種「生物礦化作用」的海洋生物還包括放射蟲和硅藻。它們由五邊形和六邊形組成的礦物質外骨骼排列精妙，就像是「海洋中的蜂巢」。德國藝術家、生物學家 Ernst Haeckel 將這些在顯微鏡下觀察到的外骨骼集結成冊，於1899年出版了圖集Art Forms in Nature，這本圖集不僅影響了二十世紀早期的藝術家，直到現在也令人驚嘆。

Art Forms in Nature 第八版（圖片來源：維基百科）

在 Haeckel 眼中，這些生物向我們證明了大自然的創造性和藝術性，是大自然的基本法則選擇了這些規則的結構。這樣的論點可能並不符合如今的科學觀念，但 Harckel 的基本觀點無疑十分正確：

這些結構體現了大自然的澎湃力量，而我們只能驚嘆於它們的美麗。

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賽先生由百人傳媒投資和創辦，文小剛、劉克峰、顏寧三位國際著名科學家擔任主編，告訴你正在發生的科學。上帝忘了給我們翅膀，於是，科學家帶領我們飛翔。

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