零除以零的秘密:數學老師不會告訴你
不得除以零,我們在學校里都被數學老師這麼教導。而在大多數日常的情況下,這是很好
但究竟為什麼除以零就是個不明智的想法呢?有沒有一種情況,除以零是有意義的呢?如果你在上高中時沒有注意到,那下面就帶你打開眼界去探究數學的諸多奇蹟之一。
除以零沒有意義,因為在算術中,除以零也可以解釋為乘以零。例如,3/0=X與0*X=3是等價的方程式。顯然,沒有一個數字可以成為X使這個方程式成立。
如果用零除以零,則會產生類似的情況。0/0=X可以改寫為0*X=0,而這裡的問題是所有數字能滿足這個方程式。X可以是任何數字,所以這個方程式也不是很有用。
但是在有些情況下,除以零實際上是有效的,並且事實上是解決問題的關鍵。這是牛頓發明微積分時的見解。
例如,有一條未知曲線,你想求出曲線在某個特定點的斜率。這等價於找到僅接觸曲線該點的直線(切線)的斜率。在許多情況下,僅使用代數求出這個斜率是不可能的。
但是有一個訣竅,那就是利用微積分和除以零的「魔法」。比起直接求出這條切線,求出與該曲線有兩個交點的直線(割線)的斜率更容易。如果把這兩個交點移得越來越近,那就會越來越接近所求的切線。
那麼,如何求出割線的斜率呢?其實,很簡單,作個直角三角形,然後高除以寬即可得到斜率。
如果這兩個交點越來越近,直角三角形的寬和高就越來越接近0,而斜率就越來越接近0/0的形式。直到兩個交點重合時,就可以得到曲線在該點的斜率。因此,0/0在這種情況下是有意義的,就是曲線在改點的斜率。
0/0其結果可以是任何數字,但引入一些限制因素就可以縮小可能的答案,這實際上就是高等數學中的0/0型不定式極限。一旦能除以零,一個全新的數學世界就被打開了。
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