一部混沌發展史，就是人類的好奇之心不斷湧現而又不斷得以滿足的歷史

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本文為《智者的困惑——混沌分形漫談》一書的序言。

在過去的幾十年間，從物理、生物，到工程、技術，混沌與分形的思想和理論不斷給我們帶來解決科學問題的全新視野和創新方法。

一部混沌發展史，就是人類的好奇之心不斷湧現而又不斷得以滿足的歷史。十九世紀末，龐加萊Poincare為了求解天體力學的三體問題而首次領悟到天體運動的混沌現象。他超越時代的革命性思想在現代電子計算機出現前的半個世紀間卻難以生根開花。直到二十世紀四十年代之後，由於von Neumann、Ulam等非線性分析先驅們的工作，人們對於確定性系統所表現出的不確定現象的認識不斷深化，終於在六十年代初期，Lorenz以一篇「確定性非周期流」的氣象學論文引領了現代混沌學研究的大潮。

Lorenz這篇數學家不易見到的文章登載於美國氣象學會的Journal of the Atmospheric Sciences。正是由於它進入了我在美國馬里蘭大學讀研究生時的博士論文指導老師Yorke教授的視野，才引起我們對它的關注，而最終導致了混沌的數學定義。在這—數學分析與科學發現嫁接的過程中，有一個關鍵性的人物不應當被人忘記，他的名字叫Allan Feller。

在馬里蘭大學，Feller教授與Yorke教授同屬Institute for Fluid Dynam-ics and Applied Mathematics(現在改名為Institute of Physical Scienceand Technology)。那個研究所有許多研究小組，如固體物理、凝聚態物理、化工、應用數學等。Feller教授則屬於氣象小組。

1972年，Feller教授將Lorenz關於氣象模型的那四篇已發表差不多十年的論文給Yorke教授看。Feller教授認為：Lorenz的文章過於理論化、數學化，他們不感興趣，也許我們搞數學的會感興趣。若不是Feller教授，我們可能沒有機會接觸到它們。那段時間，我們讀了那幾篇Lorenz寫的文章，覺得很有意思。接下來的故事在丁玖教授的這本書里有生動的描述。

丁玖是當年我的第一批來自祖國大陸的博士研究生之—。他的博士論文屬於計算遍歷理論的範疇，其基本思想是用概率的觀點研究混沌。長期專業研究的知識積累和手不釋卷的讀書習慣，加上在中國中青年數學家中並不多見的寫作才華，使得他這部科普著作既具有精確的歷史性、嚴格的邏輯性，又帶有敘事的風趣性、語言的優美性。在這本《智者的困惑——混沌分形漫談》中，丁玖以散文和哲理的筆調給我們勾勒出百餘年來混沌、分形思想發展進程中的幾大幅宏偉畫面。在這些里程碑式的開創性工作中，Poincare、von Neumann、Ulam、Kolmogorov等數學巨人的名字大放光芒，Smale、Shannon、Yorke、Mandelbrot、May、Feigenbaum等傑出學者的貢獻長留人間。他們的新穎想法、他們的追根求源、他們的驚人發現，以及他們的花絮軼聞，在丁玖的筆下躍然紙上。

混沌和分形思想的本質在於世界並不是像Laplace所斷言的以決定論的方式行事的，而是和不確定性、隨機性等概率範疇的特質糾纏不已。這和量子力學的思想有著異曲同工之妙。從數學的角度看，無窮次迭代一個最簡單的帳篷函數，或等價地，無窮次地加倍單位圓周上一初始點的極角，雖然每一次迭代完全都是確定性的，但迭代過程最終的走向卻是不確定性的，展現出類似於隨機性的行為。這種不可預測性是一切混沌現象的共同特點。一百年前，Poincare在創立三體問題牛頓運動方程解的定性理論時發現了它；六十年前，von Neumann、Ulam、Cartwright、Levinson等人在映射或微分方程的非線性分析中發現了它；五十年前，Lorenz在天氣預報計算機模擬的數據里發現了它，Smale在他的horseshoe映射的動力學中發現了它；四十年前，May在種群生物學的迭代試驗場發現了它，Mandelbrot在自然界的幾何圖案上發現了它，Feigenbaum在重整化理論自相似性的探索中發現了它；三十年前，二十年前，十年前，甚至一年前，在一片迷茫的湍流漩渦內、在捉摸不定的腦電圖像里、在變化莫測的心臟搏動中、在Hamilton力學的不變流形上、在非線性振動的頻譜儀錶前、在瘋牛症激發的藥物設計中、在無線通訊的廣袤天地間，混沌、分形的現象與本質不斷地被發現、被揭示。

混沌動力系統的研究—直方興未艾，被開墾地巨大、未開墾地無窮。混沌、分形理論和方法在各行各業的應用紛至沓來，舉不勝舉。丁玖的這本書是面向大眾的普及讀物，不是一本屬於科學史領域的學術專著。它不可能、也不應該面面俱到地詳細記載混沌、分形思想進化過程中各種學術園地的開墾史，而只能在不長的篇幅里選擇最有代表性、最具傳奇性、最易被普通人理解的那幾個了不起的發現，讓讀者們從這些敘事詩般的描述中親身體驗科學發現最激動人心的時刻。混沌與分形領域中的其他一些傑出工作或著名理論，如Kolmogorov、Arnold及Moser起源於Hamilton力學的KAM理論、流體力學中Ruelle等發展起來的現代湍流理論以及Hutchinson、Barnsley引進研究分形的iterated function systems等，由於它們的內容更加專業化、技術化，在書中未被提及或僅僅—帶而過。

混沌、分形的發展歷史以確定性的方式告訴我們，數學，只有數學，當它和其他自然科學相結合，就會產生不可預測的奇妙效果。我曾在一篇短文的最末一段寫道：「我覺得所謂的『應用數學』，應該是首先設法了解自然界上的一些現象和問題。好比說，想想為什麼蘋果會從樹上掉到牛頓的頭上。然後找出這些現象在數學上的正確描述，以及解決這些問題的方法。然後把這些現象的描述，以及解決這些問題的方法理論化，希望同時能解決一些類似的問題。理論化之後，若是遇到這個理論不能解決的問題，則要更進一步，設法推廣原有的理論。這比躲在象牙塔里做些莫名其妙的抽象工作要有意思多了。」希望這本書留給讀者的是對於數學奇思妙想的讚歎，並希望讀者深受其中新科學哲學的熏陶。

這是一本從求學青年到退休老年、從莘莘學子到教授學者都能從中獲益的科普讀物。1987年，美國記者James Gleick出版子—本暢銷書Chaos：Making a New Science，在美國讀者中風靡一時，讓混沌的通俗代名詞「蝴蝶效應」走進了千家萬戶。我相信，丁玖教授的這本小書將為中國普通大眾和年輕學生提供一份營養豐富、味美汁濃的科學之餐。

李天岩

美國密歇根州立大學

2012年8月6日

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