《普林斯頓數學指南》：重讀數學系「教科書」

撰文

齊民友（數學家、前武漢大學校長）

我有幸接觸到《普林斯頓數學指南》這部書並且開始翻譯工作是2010年的事了。這四年的經歷可以說是好比重進了一次數學系，不過與第一次進數學系比較，真正的差別不在於自己的數學準備比當年要高一些，所學的科目內容比當年更深了，而是我必須認真地逐字逐句讀完這本「教科書」。

當我上一次進數學系時，所學的課程內容離當時（20世紀50年代）還很少有少於100年的時間間距，而這一次所學的內容則主要是近一二十年的事情。時間間距一長就有一個好處：後人可以更好地整理、消化這些內容，對於許多問題也就可以了解得更真切。而如果在上次進數學系時，想要學習當時正在發展中的數學，如果沒有比較足夠的準備，不曾讀過一些很艱深的專著和論文，就常會有不知所云如墜雲霧中的感覺。

但是，這一次「再進數學系」的感覺就不太相同了。一方面，對於自己原來覺得已經懂了，甚至後來給學生們講過多次的內容，現在發現並沒有真懂。還是用前面用的「真切」二字比較恰當：當年學到的東西還是表面的、文字上的更多一些，而對於當時人們遇到的究竟是什麼問題，其要害何在，某一位數學家的貢獻何在，甚至為什麼說某位數學家偉大，自己都是糊裡糊塗，所以說是懂得並不「真切」，而這一次有了比較深刻的感覺。

另一方面，我必須要學習一些過去不曾讀過的甚至沒有聽到過的課程，就本書的核心——第Ⅳ部分：數學的各個分支——而言，其中一些篇章我只能說是「認得其中的字」，對其內容不能置一詞。但是對於多數篇章，感覺與讀一本專著——哪怕是這個分支的名著——比較，就有一種鳥瞰的感覺了：它們沒有按我們習慣的從最基本的定義與最基本的命題開始，而是從數學發展在某個時代遇見的某個問題開始（這本書有篇幅很大的關於歷史和數學家傳記的部分，對於理解各個分支的實質很有幫助），講述當時的數學家是怎樣對待這些問題的，他們的思想比前人有何創新，與後世比又有哪些局限。這些文章還講這個分支為什麼以那些工作為核心，與其他的工作有什麼關係。

這些文章一般都以「談話」的形式呈現在讀者面前，使您感到作者是娓娓道來，吸引著聽眾，這可能是使得此書能吸引人而不令人感到枯燥的原因之一。不過，讀者對於一本書有什麼樣的要求，對它的觀感和應該採用的讀法是不同的。如果只是為了擴大眼界，那是一種讀法；如果是為了聽懂同行的講演講的是什麼東西，甚至自己也能提出相關的問題，那就是另一種讀法了。更重要的是，如果讀者認為某一個分支引起了他的興趣，因而有了進一步了解它的願望——這正是原書編者希望達到的目的——那就需要對於書中（或某一篇章中）提到的某個問題有進一步的知識。

原書編者多次提到《普林斯頓數學指南》這本書與一些大型數學網站的不同，但我認為，為了進一步了解這個問題，把《普林斯頓數學指南》與一些大型數學網站的相關條目結合起來讀不失為有效的辦法，特別是維基百科，在翻譯過程中給了我很大的幫助，不僅使我能更準確地了解此書某一篇章，甚至是某一段落的含義，少犯太離譜的錯誤。相信對於讀者也會是這樣，所以譯者有時在腳註中特別介紹了所用到的網站。不過在腳註中提到一些網站只佔實際用到它們的頻度的很小一部分。

《普林斯頓數學指南》還有一個可能讀者沒有想到的用處：近年來，關於數學的新進展，特別是一些新的應用，圈子內外常有一些似是而非的流言，而且常在大學生中傳播，在多數情況下，《普林斯頓數學指南》會提供比較可靠的說明。

最重要的是要強調一下，學數學是要下力氣的，而要想真正學到一點東西，認真地讀一些教科書、專著，特別是名著是不可少的。《普林斯頓數學指南》（或者書的原名「Companion」，直譯就是「伴侶」）只能給您指一條路，陪您走上一段，它不可能讓您毫不費力就懂一門數學，那種不需要費力就能學有所成（當前特別指能金榜題名），不只是似是而非的流言，老實說就是不負責任的謊言。《普林斯頓數學指南》的作用是使我們花的功夫能花在關鍵處，起較大的作用。

這一段話對於讀者和譯者都是適用的。這本書可以看成是譯者「再進數學系」的考卷。如果讀者願意賜教，就是幫助譯者更好地「上這一次數學系」，所以譯者在此預先致以誠摯的謝意。

《普林斯頓數學指南》還有一個篇幅不大的引論部分，由四篇文章組成。其中第二和第三兩篇分別講「數學的語言和語法」和「一些基本的數學定義」。第二篇包含了對於邏輯學的簡單介紹，第三篇則分門別類對數學的各個分支（如代數、幾何、分析等）的基本概念作一些說明。按編者原來的意圖，如果對於這些材料太過生疏，讀這本書就會很困難。

問題在於，即使知道了這些，是否就能比較順利地讀這本書？按譯者的體驗，大概還是不行的，因為這兩篇文章有點類似於名詞解釋，其深度與其他各部分特別是與作為本書主體的第Ⅳ部分「數學的各個分支」反差太大。依譯者之見，不妨認為這一部分是對於讀者的要求的一個大綱。對這一部分（或者例如對於其中的分析部分）有了一個大學本科的水平，再讀本書（有關分析的各個篇目）就方便多了（當然，如上面說的那樣，許多時候還需要再讀一點進一步的書）。這樣，不妨認為原書在這裡提出：為了涉獵現代數學，讀者需要懂得些什麼，或者說，大學數學專業應該教給學生的是什麼？如果大家不反對這個想法，則回過頭來看一下現在國內的大學數學教學，就會承認還需要走相當一段路程。

我們大家都有一個體會：同是一件事，如果多說一句甚至半句話就會清楚多了，寫數學書當然也是一樣。也許對作者來講，話已經講夠了，而對譯者就需要好好揣摩這裡少講的這一句甚至半句話。這些話譯者原來打算就放在一個方括弧內，但是後來這種情況多了，譯者又常把這個方括弧略去，使版面更清楚一些，而只在加的話比較多的時候加以說明。這樣，譯文與原書就有了一些區別。此外原書有一些筆誤或排版的錯誤，譯者就改了算了，但是涉及內容的，譯者都加了說明，以示文責自負。

最後，再說一次，請讀者賜教並指出翻譯的錯誤，謹致誠摯的謝意。