薛定諤方程是怎麼推導出來的？

撰文 曹則賢（中科院物理所研究員）

薛定諤（Erwin Schr?dinger, 1887-1961）, 奧地利物理學家，量子力學奠基人之一。薛定諤不僅是個傑出的物理學家，而且還是個了不起的哲學家和文化學者，他的《什麼是生命》、《自然與希臘人及科學與人文》等著作對物理學以外的其它領域也有深遠的影響。維也納大學擺放的薛定諤大理石胸像上刻有薛定諤方程：

一般來說，墓碑或塑像上刻有自出機杼的公式者，可以算是科學家。

量子力學是二十世紀物理學的兩大支柱之一。如果論起對人類社會的影響，量子力學比另一支柱—相對論—要大得多。有了量子力學，我們理解了原子的光譜，它的影響之一是讓我們能將整個可觀測宇宙納入我們的研究範圍；我們理解了固體的導電性，它的影響之一是讓我們有了半導體的概念從而使得人類進入了信息時代。對於今天的物理系學生來說，掌握量子力學知識是起碼的要求。量子力學的基本方程是薛定諤方程：

或者寫成下式：

這是一個讓眾多量子力學愛好者頭疼不已的方程. 人們或許會問，這個所謂的基本方程又是怎麼倒騰出來的呢？

事情是這樣的。1925年底，法國青年德布羅意(Louis de Broglie)的博士論文傳到了瑞士蘇黎世聯邦工學院的德拜(Peter Debye)教授手裡。該論文中提出了物質波的概念，即電子這樣的粒子也可看作是波，其波長、頻率與其動量、能量的關係為：

這裡h是普朗克常數。德拜拿到這樣的博士論文和如此簡單的公式不知是什麼表情，他的說得出口的評論是如果認定電子等粒子是波的話，怎麼著也該給湊出個波動方程吧？那時候，機械波和電磁波的方程可已經是被人們研究透了的，機械波的波動方程標準形式為：

德拜把論文交給了當時一起討論的蘇黎世大學的薛定諤手裡，希望他仔細看看，下次討論會上能給大家講講。結果薛定諤1925年底就給出了方程：

把這個方程應用到氫原子，不僅可以得出電子在不同「軌道」的能量：

而且還指出那能量實際上依賴於三個量子數（n,l,m），更而且指出引入這三個量子數只是因為要求方程里的函數Ψ有界，而無需像玻爾量子化那樣先入為主地假設角動量是量子化的。1926年，薛定諤分四部分發表了「作為本徵值問題的量子力學」一文，為量子力學奠定了基礎，也奠立了他在物理學史上的地位。基於此套說法的量子力學叫波動力學，這個函數叫波函數。顯然，人們有理由知道這個方程是怎麼來的！

薛定諤是如何得到他的量子力學方程的，從文獻中的資料不易再現當初完整的過程。薛定諤一開始是從相對論出發的，畢竟那時關於電子的相對論理論是已經有了的，且電子的行為必定是相對論性的，但是這條路薛定諤沒走通。他轉而回到經典力學。他要的解的形式是知道的，波的表達形式在物理學家眼裡就是函數

或者乾脆寫成：

把德布羅意的關係帶入波函數的表達式，波函數就變成了下式：

將上式帶入一般的經典力學裡弦的振動方程：

就得到了後來被稱為薛定諤方程的波動方程：

這裡的H是哈密頓量，為系統的動能與勢能之和。熟悉經典力學的薛定諤對哈密頓量H可親切了。至於這裡的函數在描述電子的行為時是什麼東西，那……那以後再說。

然而薛定諤到底是怎樣構造他的量子力學方程的？上述的說法並不能讓筆者信服。筆者從一些支離破碎的信息中拼湊的一個過程也許更合理一些，至少從科學思想演化的角度來說它是連貫的。薛定諤在從狹義相對論出發的初步嘗試失敗以後，轉向了玻爾茲曼的熵公式：

作為維也納人和維也納大學畢業的學生，他對這個公式太熟悉了——薛定諤的導師是 Franz S. Exner, 而Franz S. Exner的導師是玻爾茲曼，也就是說玻爾茲曼是薛定諤的師爺。師爺有那麼好的公式，不充分挖掘那就太可惜了！

對於玻爾茲曼熵公式中：

W在德語中是當作幾率（Wahrscheinlichkeit）的首字母來理解的，但它也是波（Welle）這個詞的首字母。既然是要得到（物質）波的方程，那不就是要得到關於W的方程嘛，這裡現成的就有一個。所以呢，要把公式

寫成W是主角的形式，即：

不過這指數函數中的變數需要加上虛數因子才能表示波動。記得歐拉公式吧：

正弦函數和餘弦函數才是物理學家們表示波的不二法門。此外，要描述量子力學，那就得和量子力學拉上關係，那就把玻爾茲曼常數k換成普朗克常數h吧。於是，描述波W的函數就變成了下式的樣子：

其中：

作為優秀物理學家的薛定諤當然明白，在物理中用到的函數中的變數必須是無量綱數。普朗克常數的量綱是作用量的量綱，則那個S的量綱也應該具有作用量的量綱。S 原來是熵，現在在薛定諤的眼裡是個量綱為作用量的一個量，那S該是什麼樣的物理量？

薛定諤太熟悉經典力學了，他知道經典力學裡作正則變換的時候引入過一個量綱為作用量的函數S，而且還有S該滿足的Hamilton-Jacobi方程：

把W表達式

代入Hamilton-Jacobi方程，於是就得到了的結果：

當然啦，用W表示波似乎還有經典力學的土氣，換個希臘字母Ψ表示量子力學的波會洋氣些，這樣就得到了量子力學的薛定諤方程：

H的意義也改變了。在經典力學裡它是一個量，在量子力學中它是算符（動量對應位置微分算符這些事，已經由玻恩和約當在1925年給準備好了，把H寫成算符一點心理障礙也沒有）, 因此薛定諤方程也被寫成：

理解薛定諤方程的產生過程需要跟得上思想的跳躍，別不習慣，物理學就是這麼構造出來的。薛定諤方程應用的巨大成功使得人們不再去糾纏其構造過程是否合理。一般教科書會教人一步一步嚴格地推導，那是學習；對於想成為科學家的人們來說，這種連蒙帶猜的本領才是真正要學會的——那不僅僅是技巧。

薛定諤方程雖然是量子力學的基本方程，成千上萬的人修習過量子力學，但是卻鮮有人讀懂了薛定諤1926年那篇奠基性論文的題目「作為本徵值問題的量子力學」。1987年終於有一個人讀懂了，那個人把麥克斯韋方程組改造成了薛定諤方程那樣的本徵值問題，於是有了光子晶體的概念。筆者敢斷言，光子晶體的工作如果不能獲得諾貝爾物理獎的肯定，那是諾貝爾物理獎的恥辱。

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