趣味數學 韓信點兵之術

民間故事《韓信點兵》：

韓信是漢高祖劉邦手下的大將，他英勇善戰，智謀超群，為漢朝的興建立下了卓絕的功勞。據說韓信的數學水平也非常高超，他在點兵的時候，為了保住軍事機密，不讓敵人知道自己部隊的實力，先令士兵從1至3報數，然後記下最後一個士兵所報之數；再令士兵從1至5報數，也記下最後一個士兵所報之數；最後令士兵從1至7報數，又記下最後一個士兵所報之數；這樣，他很快就算出了自己部隊士兵的總人數，而敵人則始終無法弄清他的部隊究竟有多少名士兵。

比如，已知軍隊人數大概在1000-1100左右，如果1-3報數餘2人，1-5報數餘3人，1-7報數餘2人，則韓信立刻知道總人數1073人。

漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是每次出戰都士氣大振，經常大獲全勝。

把韓信點兵問題再換個更簡單的說法，就是說，有個數除3餘2，除5餘3，除7餘2，問你這個數字最小是幾？也可以給定一個範圍，問你是幾。

這類問題，糾結應該怎麼下手解決呢？對於這樣的問題，要先觀察，是否存在規律，如果符合一定的規律，則可以通過簡單口訣來實現；如果沒有規律，那麼就要通過一些特殊方法處理。

一、有規律問題的解法

重要口訣：和同加和，差同減差，余同取余，最小公倍加

先來說說最後一句，最小公倍加，意思是，不管什麼情況，先把最小公倍數求出來，這個是作為基礎。然後根據不同情況進行辨別，如何繼續處理。

（一）和同加和

意思是，如果不同被除數和餘數的和相同，那麼就把這個和，加到最小公倍數上。

例：一個數除5餘3，除6餘2，除7餘1

解題思路：5、6、7的最小公倍數是210，因為5＋3＝6＋2＝7＋1＝8，所以這個數最小就是8，其餘滿足條件的數字是210的倍數＋8，比如218、428……

（二）差同減差

意思是，如果不同被除數和餘數的差相同，那麼就把這個差，用最小公倍數減掉。

例：一個數除5餘3，除6餘4，除7餘5

解題思路：5、6、7的最小公倍數是210，因為5－3＝6－4＝7－5＝2，所以這個數最小就是：210－2＝208，其餘滿足條件的數字是210的倍數＋208，比如418、628……

（三）余同取余

這個是最簡單的了，意思是，如果餘數都相同，直接把餘數加到最小公倍數上。

例：一個數除5餘3，除6餘3，除7餘3

解題思路：5、6、7的最小公倍數是210，所以這個數最小就是3，其餘滿足條件的數字是210的倍數＋3，比如213、423……

二、無規律問題的解法

一筐蘋果，如果按5個一堆放，最後多出2個；如果按6個一堆放，最後多3個；如果按7個一堆放，還多出1個。這筐蘋果至少有幾個？

（一）逐步約束法

5餘2的最小數字是7，看看7除以6是餘1不是3，所以要看看7上面加多少個5才能除以6餘3。

通常的做法是，7+5=12，餘0，不對；12+5=17，餘5，不對；17+5=22，餘4，不對；22+5=27，餘3，對了！所以是27。

實際上，也可以用這樣的做法，就是：把除以6餘3看成是-3（3－6＝-3），5除以6餘-1。問題就簡化為：要把7除以6的餘數1變成余-3，需要多少個5除以6的-1？很明顯，答案是：（-3-1）÷（-1）＝4，也就是說，要在7上面加4個5，也就是加上20，則結果為27

27這個數字出來了，還沒結束，下面考慮27除以7餘6，不是餘1。要在27上面加多少個30（5和6的最小公倍數）才能餘1？

同樣的思路，要餘1，相當於餘8（1＋7＝8），由於30除以7餘2，問題就轉換為，要從餘6變成餘8，需要多少個2，答案是1個，也就是27上面加1個30即可，最終數字是57。

（二）中國剩餘定律

先找出6和7的公倍數，從中選取一個最小的、能夠除以5餘1的數字，為42×3＝126，用這個數乘以5的餘數。題目中除以5餘2，所以126×3＝252；

再找出5和7的公倍數，從中選取一個最小的、能夠除以6餘1的數字，為35×5＝175，用這個數乘以6的餘數。題目中除以6餘3，所以175×3＝525；

再找出5和6的公倍數，從中選取一個最小的、能夠除以7餘1的數字，為30×4＝120，用這個數乘以7的餘數。題目中除以7餘1，所以120×1＝120；

上述3個數字相加：252＋525＋120＝897

897除以5、6、7三個數的最小公倍數210的餘數，即為最終答案：897－210×4＝57

三、韓信點兵

回到文章開頭韓信點兵的故事，已知軍隊人數大概在1000-1100左右，如果1-3報數餘2人，1-5報數餘3人，1-7報數餘2人

這個題目我們採用混合做法，既然除以3餘2，除以7餘2，那麼利用同餘取余，秒算出來21＋2＝23

然後，看23除以5餘3，正好，不用再加21了，答案就是23，多麼簡單。

考慮到人數在1000-1100之間，23的基礎上加上10個3、5、7的公倍數105，也就是23＋10×105＝1073

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