宇宙學常數、超對稱、膜宇宙論

作者：盧昌海

簡介：中國物理、天文等科普作家

於1991 - 1994就讀於復旦物理系。1994被哥倫比亞大學物理系錄取，在《Physical Review Letters》《Physical Review D》等專業雜誌發表四篇論文，於2000年獲博士學位。之後改行從事計算機工作，並從事網站建設和科普文章撰寫。在《現代物理知識》發表八篇高級科普文章，另在《中國青年報》等多家報紙或雜誌發表過科普作品，在清華大學出版社出版科普專著《尋找太陽系的疆界》，對物理和天文方面的中文科普形成較大影響。

六. 膜宇宙論

圖來自百度圖片

在 上篇 和 中篇 中我們介紹了宇宙學常數問題的由來以及運用傳統量子場論解決這一問題所面臨的困難。 這一困難隨著天文學家們對宇宙學常數的初步測定 - 從而使後者的地位得以初步確立 - 而變得尖銳起來。 我們甚至看到連二十世紀七十年代出現的超對稱也在初試鋒芒之後黯然敗下陣來。 不過嚴格地講， 說超對稱敗下陣來是不確切的， 因為超對稱的觀念已經滲透到了現代物理的許多領域中， 讓一些原本平庸的理論脫胎換骨。 這種滲透之有效， 簡直已到了點石成金、 化腐朽為神奇的程度。 超對稱本身的神通也因為這種滲透而得到了延伸。 我們在上文中談到的超對稱計算只不過是對標準模型進行超對稱化的結果， 這樣的結果只是超對稱廣闊天地中的一個小小的部分。 在所有因超對稱而脫胎換骨的理論中最值得一提的並不是超對稱化的標準模型， 而是一個更為宏大的理論 - 超弦理論。 超弦理論不僅值得一提， 而且還非提不可， 因為在許多物理學家眼裡， 超弦理論正是二十一世紀物理學的主流所在、 未來所系， 它在宇宙學常數問題上自然也是不可缺席的。

超弦理論是一個試圖統一自然界所有相互作用的理論， 有時候乾脆被稱為 Theory of Everything (TOE)， 它的廣度、 深度及雄心由此可見。 超弦理論對宇宙學的影響是多方面的， 其中很重要的一個影響來源於它對時空維數的要求。 在超弦理論中， 時空的維數變成了十維而不再是四維的。 在這樣的一幅時空圖景中， 我們直接觀測所及的看似廣袤無邊的宇宙不過是十維時空中的一個四維超曲面， 就象薄薄的一層膜， 可憐的我們就世世代代生活在這樣一層膜上， 我們的宇宙論也就變成了膜宇宙論。

高維時空的觀點並不是超弦理論所特有的， 早在 1919 年， T. Kaluza 就把廣義相對論推廣到了五維時空， 試圖由此建立一個描述引力與電磁相互作用的統一框架； 1926 年， O. Klein 發展了 Kaluza 的理論， 引進了緊緻化 (Compactification) 的概念， 由此建立了所謂的 Kaluza-Klein 理論。 Kaluza-Klein 理論與膜宇宙論的主要差別在於： Kaluza-Klein 理論中的物質分布在所有的維度上， 而膜宇宙論中只有引力場、 引力微子 (Gravitino) 場 (引力微子為引力子的超對稱夥伴)、 Dilaton 場等少數與時空本身有密切關係的場分布在所有的維度上， 由標準模型描述的普通物質只分布在膜上。

不僅高維時空的觀點不是超弦理論所特有的， 就連這種認為由標準模型描述的物質只分布在膜上而不是象 Kaluza-Klein 理論假定的那樣分布在整個高維時空中的觀點也早在二十世紀八十年代初就有人從唯象理論的角度提出過了， 與超弦理論無關。 但是象這樣的一種觀念， 只憑一些唯象的考慮是不足以成為現代宇宙論的基礎的， 它本身必須有明確的理論依據。 這種理論依據隨著超弦理論的發展漸漸地成為了可能。 二十世紀九十年代中期， 在超弦理論中出現了著名的 「第二次超弦革命」， 存在於各種超弦理論之間的許多對偶性被發現， 在這些研究中物理學家們注意到了， 不僅各種超弦理論之間存在著密切的關聯， 超弦理論與 11 維超 引力理論之間也存在一定的關聯

超弦理論與膜宇宙論的出現讓物理學家們的思路越出了四維時空的羈絆， 為宇宙學常數問題的研究提供了一個全新的視角。 那麼從這個全新的視角中我們能看到什麼新的東西呢？ 讓我們來回顧一下前面試圖運用超對稱解決宇宙學常數問題的主要推理步驟：

超對稱在 TeV 量級上破缺 → 宇宙學常數比觀測值大 60 個數量級 → 宇宙半徑在毫米量級

上述推理中， 對超對稱破缺能標的估計來自於現有高能物理實驗與理論的綜合分析， 顯著調低該能標將與未能觀測到超對稱粒子這一基本實驗事實相矛盾， 而調高該能標只會使宇宙學常數的計算值更大， 從而更偏離觀測值； 從超對稱破缺能標到宇宙學常數的計算依據的是量子場論； 而從宇宙學常數到宇宙半徑的計算依據的是廣義相對論。 這些理論在上述計算所涉及的條件下都是適用的， 因此整個推理看上去並沒有什麼明顯的漏洞。 但是從膜宇宙論的角度看， 上述推理卻隱含著一個很大的額外假定！ 正所謂 「不識廬山真面目， 只緣身在此山中」。

這個額外假定出現在最後一步推理中。 宇宙學常數與曲率之間的關聯的確是廣義相對論的要求， 但問題是： 我們談論的究竟是哪一部分空間的曲率呢？ 想到了這一點， 我們不難發現上述推理所隱含的額外假定就是： 由宇宙學常數所導致的曲率出現在我們的觀測宇宙中。 這原本不是問題， 因為長期以來， 在宇宙學中空間不言而喻就是指的我們觀測到的三維空間， 任何曲率當然指的也就是這個三維空間的曲率。 但是在膜宇宙論中空間共有九維之多， 情況就大不相同了， 假如由宇宙學常數所導致的曲率只出現在觀測宇宙以外的維度中， 豈不就沒有問題了嗎？ 要知道一個均勻的背景能量動量分布 - 即宇宙學常數 - 本身並不是問題， 由此而導致的可觀測的曲率效應才是問題的真正所在

[注二]， 因此倘若由宇宙學常數所導致的曲率果真只出現在觀測宇宙以外的維度中， 宇宙學常數問題中最尖銳的部分 - 與觀測之間的矛盾 - 也就冰消玉釋了。

那麼在膜宇宙論中由宇宙學常數所導致的曲率果真有可能只出現在觀測宇宙以外的維度中嗎？

七. 宇宙七巧板

對這一問題的研究遠在膜宇宙論在超弦理論中出現之前就已經有了一些結果。 早在 1983 年， V. A. Rubakov 和 M. E. Shaposhnikov 就發現在高維時空的廣義相對論中存在某種機制， 使得這種可能性得以實現。 1999 年， E. Verlinde 與 H. Verlinde 在膜宇宙論中同樣發現了這樣的機制。 這些研究表明， 由宇宙學常數所導致的曲率只出現在觀測宇宙以外的維度中在理論上是可能的。 由此我們看到， 在膜宇宙論中宇宙學常數與可觀測宇宙的半徑間已無直接的對應關係， 宇宙學常數可以很大 - 如我們在上文中計算過的那麼大， 而宇宙曲率仍然可以很小 (即宇宙半徑很大) - 如我們觀測到的那麼小。 正是這一全新的可能性為解決量子場論所預言的巨大的宇宙學常數與觀測所發現的巨大的宇宙半徑之間的矛盾開啟了一扇新的門戶。 在膜宇宙論中， 我們把對膜 (即可觀測宇宙) 本身曲率有貢獻的那部分宇宙學常數稱為 「膜上的四維有效宇宙學常數」， 簡稱為 「有效宇宙學常數」。 運用這一術語， 由宇宙學常數所導致的曲率只出現在觀測宇宙以外的情形可以表述為： 有效宇宙學常數為零； 而膜宇宙論解決宇宙學常數問題的基本思路可以表述為： 雖然宇宙學常數很大， 但有效宇宙學常數很小。

但是上面提到的那些導致有效宇宙學常數為零或很小的機制有一個不盡如人意的地方， 那就是它有賴於參數間極其精密的相互匹配， 即所謂的 fine-tunning。 這種 fine-tuning 只要稍有破壞， 可觀測宇宙的曲率就將大大高於觀測值。 從這個意義上講上述機制雖然原則上可能， 但是面臨著自然性問題 (Naturalness problem)， 即為什麼在參數之間會存在如此精密的相互匹配。

2000 年到 2001 年間， 歐洲核子中心 (CERN) 的 物理學家 C. Schmidhuber 提出了一組非常精彩的觀點， 既為解決上述機制中的自然性問題提供了一種思路， 也為解釋有效宇宙學常數雖然很小、 卻不為零這一觀測結果提供了一種可能的解釋 [注三]。 這組觀點便是本節所要介紹的內容。在上文中我們提到過， 在 可觀測宇宙中 (即膜上) 超對稱 (如果存在的話) 應當在 TeV 能標上破缺， 這一點在膜宇宙論中是一個需要滿足的邊界條件。 Schmidhuber 提出了一個猜測， 他猜測在超弦理論 (確切地講是高維超引力理論) 中存在這樣一種膜宇宙論解： 膜上的超對稱在 TeV 能標上破缺， 而膜外 (在一個過渡距離外) 與膜平行的四維超曲面上的超對稱 (即高維超引力理論中的超對稱) 是嚴格的。 假如這樣的解存在的話， 那麼在那些與膜平行的四維超曲面上由於存在超對稱， 有效宇宙學常數為零， 從而在那些四維超曲面上的時空是平坦的 (確切地講是 Ricci 平坦： R (4) μ ν=0)。 將這種在膜以外的、 由超對稱所要求的平坦時空與膜上的時空相銜接就可以自然地選出膜上的平坦時空解 (即膜上的有效宇宙學常數為零的解)。 這樣就避免了原先的 fine-tunning 問題。 但是這裡還有一個問題需要解決。 前面提到， 在膜宇宙論中由標準模型描述的普通物質只分布在膜上， 但是引力場不在此列， 引力場存在於整個高維時空中， 由超引力理論所描述。 這一超引力理論中的零點能對整個時空的曲率都有貢獻。 因此在膜宇宙論中， 膜上的有效宇宙學常數取決於超引力理論中的零點能。 如果超引力理論中的超對稱如上面的猜測所說， 是嚴格的， 那麼這種零點能為零， 有效宇宙學常數也就為零， 這與觀測並不一致。 為了解決這一問題， Schmidhuber 對他的猜測作了一點修正， 把超引力理論中的超對稱由嚴格的修正為在一個很低的能標 T 上破缺， 這樣既不妨礙在定性上用超對稱取代 fine-tuning， 又可以得到與觀測相吻合的宇宙學常數。

其實已經計算過了。 在第四節中我們曾提到， 要想讓普通量子場論中的零點能與觀測到的有效宇宙學常數相一致， 量子場論所適用的能量上限必須在 milli-eV (10 -3 eV) 的量級， 即 M ~ 10 -3 eV； 而在第五節中計算超對稱標準模型下的宇宙學常數時我們又提到， 如果一個 超對稱理論的超對稱在能標 T 上破缺， 那麼計算由該理論的零點能所給出的宇宙學常數時只需將 量子場論所適用的能量上限 M 改成超對稱破缺的能標 T 即可 (因為在 T 以上的零點能被超對稱消去了)。 因此為了與觀測到的有效宇宙學常數相一致， 超引力理論中的超對稱破缺的能標為 T ~ 10 -3 eV， 即超引力理論中的超對稱在 milli-eV (10 -3 eV) 的量級上破缺。 到此為止 Schmidhuber 的理論既解決了有效宇宙學常數為零的舊機制中的 fine-tuning 問題， 又提供了與觀測大體一致的有效宇宙學常數， 憑這兩點， 它已經算得上是一種頗有新意的理論。 但僅僅這些還不足以讓我讚歎。 因為這樣的一個理論就象是一副散亂放置的七巧板， 雖然每一塊都不錯、 都有用處 - 比如膜上的超對稱在 TeV 能標上破缺是為了與高能實驗相適應； 膜以外 (即超引力理論中) 的近似超對稱是為了解決 fine-tuning 問題； 該近似超對稱在 milli-eV 能標上破缺是為了與有效宇宙學常數的觀測結果相一致 - 但這些形形色色的板塊之間還缺乏足夠的關聯， 這樣的理論顯得過於鬆散， 過於特設。 比方說我們要問為什麼超引力理論中的超對稱會破缺？ 為什麼膜上的超對稱在 TeV 能標上破缺而超引力理論中的超對稱卻在 milli-eV 能標上破缺？ 物理學在本質上是一種追求對自然現象邏輯上最簡單描述的努力， 正如 Einstein 所說的： 「一個偵探故事， 如果它把奇案都描寫成為是偶然的， 那麼它決不是一個好故事」。 一個宇宙學常數理論也一樣， 如果為需要解釋的每一個觀測事實都引進一個特定的獨立假設， 那麼它就算不上是一個好的理論。

一副七巧板的魅力在於能夠拼合， 那麼我們手頭的這副宇宙的七巧板能夠拼合在一起， 拼合出一幅美麗的畫面來嗎？

這些問題在現階段當然還沒有完全的答案。 但是 Schmidhuber 的理論中卻有一條非常精彩的紐帶， 把幾條為了不同目的而引進的線索擰在了一起， 給出了部分的答案。 雖談不上將宇宙七巧板拼成了圖案， 卻也令人刮目相看。 這條紐帶就是膜上的超對稱破缺與超引力理論中的超對稱破缺之間的關聯。 這種關聯之所以存在是因為超引力理論中的波函數與膜之間存在著重疊。 因為這種重疊， 膜上的超對稱破缺能夠對超引力理論產生影響， 使後者的超對稱也出現破缺， 這兩種超對稱破缺的能標之間存在一個明確的關係：

M SG = M SUSY 2 / M p其中 M SG 為超引力理論中的超對稱破缺的能標， M SUSY 為膜上 (即標準模型中) 的超對稱破缺的能標 [注四]。 不難驗證， M SG ~ milli-eV 與 M SUSY ~ TeV 恰好滿足這一關係式！ 這就是說， 超引力理論中的超對稱在 milli-eV 能標上破缺並不是僅僅為了解釋有效宇宙學常數的觀測值而引進的獨立假設， 它是標準模型 (即膜上) 的超對稱在 TeV 能標上破缺所導致的自然推論。 這兩種超對稱破缺的關聯也可以反過來看， 從這個相反的方向看， 為了解釋有效宇宙學常數的觀測值而引進的超引力理論中的超對稱破缺可以在膜上誘導出標準模型中的超對稱破缺， 從而預言超對稱粒子的質量！ Schmidhuber 的理論正是因為有了這樣的一條紐帶而具有了獨特的魅力。 八. 結語

以上便是對 Schmidhuber 在膜宇宙論框架中提出的宇宙學常數新理論的一個簡單介紹。 現在讓我們回過頭來， 看看我們在本文 上篇 末尾所提的關於宇宙學常數的那些問題。 在 Schmidhuber 的理論中， 我們可以這樣來回答那些問題：

宇宙學常數的物理起源何在？ 答： 宇宙學常數起源量子場的零點能， 有效宇宙學常數起源於其中的超引力理論中的零點能。它為什麼取今天這樣的數值？

答： 因為標準模型中的超對稱在 TeV 能標上破缺， 由此導致超引力理論中的超對稱在 milli-eV 能標上破缺， 這決定了我們所觀測到的宇宙學常數 (即有效宇宙學常數) 的數值。占目前宇宙密度 70% 的暗能量究竟又是由什麼組成的？

答： 暗能量是由引力子、 引力微子及其它與時空本身密切相關的場的零點能組成。

應該說， 這些回答不能算是很令人滿意的， 比方說對第二個問題的回答以標準模型中的超對稱在 TeV 能標上破缺為前提， 這一點本身就未必成立。 但是在現階段能夠有這樣的回答已屬難能。

在我們即將結束本文的時候， 需要再次提醒讀者的是本文所介紹的 Schmidhuber 的理論只是一個 Minority Report， 也就是說它並非是物理學界的一個主流理論。 事實上， 在宇宙學常數問題上目前還不存在任何稱得上是主流的理論。 這並不奇怪， 因為對於宇宙學常數的數值， 只有在最近這些年我們才有了比較具體的結果。 目前在這一領域中的所有理論無一例外都是高度猜測性的， 都是很初級的， 並且都是有明顯缺陷的。 以 Schmidhuber 的理論為例， 它最直接的缺陷就在於還沒有找到如 Schmidhuber 所猜測的膜上超對稱在 TeV 能標上破缺、 膜外超對稱在 milli-eV 能標上破缺的解， 或關於這種解的存在性證明。 目前已經知道的是， 這樣的解在五維時空中是不存在的， 因此 Schmidhuber 理論中的時空起碼要有六維 [注五] 另一方面， Schmidhuber 理論 (以及其它類似的膜宇宙理論) 把由標準模型描述的普通物質的零點能所引起的曲率歸結到膜以外的高維時空中， 雖然解了燃眉之急， 卻並不能一勞永逸地消除這些零點能的影響。 在上文中我們提到， 如果標準模型的超對稱在 TeV 能標上破缺， 那麼由標準模型的零點能所導致的宇宙半徑在毫米量級。 這一半徑在 Schmidhuber 理論中變成了膜以外的若干個維度的緊緻半徑。 但是由於引力相互作用與所有的維度都相關， 這種毫米量級的額外維度的存在會對我們所在的四維時空中 (即膜上) 的引力定律產生影響， 導致 Newton 引力常數與距離有關。 這一點， 使得在不久的將來我們就可以對 Schmidhuber 的理論 (以及其它類似的膜宇宙理論) 進行實驗檢驗。 倘若 Newton 引力常數在小到 10 微米的尺度上仍沒有顯示出距離相關性， 那麼 Schmidhuber 的理論 (以及其它類似的膜宇宙理論) 就會被實驗所否決。

除了上面這幾點外， Schmidhuber 理論的成立還有賴於象超對稱、 超弦、 膜宇宙論這樣一些目前還沒有得到實驗驗證的物理理論， 這本身也是一個不定因素。 另外一個不容忽視的問題是， 我們在本文中所做的全部數值計算都是十分粗略的， 忽略了所有數量級較小的常數因子， 這些因子的累計效果完全有可能使我們的計算偏離幾十倍甚至更多， 因此我們看到的那些數值擬合的精彩結果完全有可能只是粗略計算下的海市蜃樓。

但是儘管如此， 我個人還是很欣賞 Schmidhuber 的理論。 這一理論當然完全有可能是錯誤的 - 事實上， 不僅有可能， 而且可能性還很大。 因為在前沿物理理論的框架內對宇宙學常數的深入研究還處在襁褓階段， 在這樣一個階段最可能出現的情形就是許多理論爭奇鬥豔， 但其中卻沒有一個是足夠接近正確的 - 就象三國時期， 群雄並起逐鹿天下， 到頭來卻都在狼煙中消逝， 趕早場的人誰也沒能奪得天下。 不過我覺得 Schmidhuber 的理論有著恢宏的背景、 精巧的構思， 頗能給人以啟迪。 物理學上真正偉大的理論終究是少數， 一個理論只要能給人以啟迪， 也就不枉了它被學術界所認識。 當我第一次讀到 Schmidhuber 的文章時， 就萌生了將這一理論介紹給國內讀者的想法， 現在這一想法終於付諸現實了。 但願這篇文章能讓部分讀者對宇宙學常數問題產生興趣。

注釋

比方說 IIA 及 E8×E8 heterotic 型超弦理論在強耦合極限下均具有 11 維超引力理論的特徵。

一個均勻的背景能量動量分布在引力以外的領域中並不構成困難， 因為這樣一種能量動量分布的物理效應基本上都互相抵消了。 殘餘的效應 - 比如 Casimir 效應、 Dirac 真空中的電子對產生等 - 則已被實驗觀測到。

寫到這裡順便提一下， 在文獻中對宇宙學常數問題有所謂的第一與第二之分， 第一宇宙學常數問題 (The First Cosmological Constant Problem) 為： 為什麼宇宙學常數為零？ 這是早期的宇宙學常數問題； 第二宇宙學常數問題 (The Second Cosmological Constant Problem) 為： 為什麼宇宙學常數很小、 但不為零？ 這是目前我們所面臨的宇宙學常數問題。

這一關係式與超對稱破缺的兩種主要機制之一 - Gravity-Mediated Supersymmetry Breaking - 中的關係式是一樣的 (超對稱破缺的另一種主要機制是 Gauge-Mediated Supersymmetry Breaking)。

由於超弦理論的時空有十維之多， 因此 Schmidhuber 理論對時空維數的要求還不至於造成困難， 但是在五維時空中不存在這樣的解表明解的存在性遠不是可以想當然地予以假定的。

參考文獻

P. Brax and C. van de Bruck, Cosmology and Brane Worlds: A Review Class. Quant. Grav.20, R201-R232, 2003.

C. Schmidhuber, Micrometer Gravitinos and the Cosmological Constant, Nucl. Phys.B585, 385, 2000.

C. Schmidhuber, Brane Supersymmetry Breaking and the Cosmological Constant: Open Problems, Nucl. Phys. B619, 603, 2001.

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