摩天大樓上掉下的硬幣會砸死人嗎？

長久以來，許多人都認為從摩天大樓上掉下來的硬幣如果砸到人身上會要了他的命。他們的理由就是自由落體定律：由於重力的作用，下落的物體一直在加速，只要下落距離足夠長，硬幣總會達到使人致死的速度。然而實際情況真的如此嗎？

空氣阻力可以救命

其實答案是……賣個關子在這裡先不說。實際上，在這個問題中，我們需要考慮平時做題目從不考慮的空氣阻力，空氣阻力在這裡起到了至關重要的作用。在通常的低速情況下，空氣阻力自然是可以如計算高中物理題一般忽略不計；然而在高速運動的情況下，例如研究摩天大樓上掉下來的高速下落的硬幣、或者是從特別高的地方跳下來企圖獲得極高的速度穿越時（沒錯，我在說《黑衣人3》），空氣阻力則不可忽略，他們甚至會大到成為決定最終運動狀態的關鍵因素。

在高速情況下的空氣阻力的公式如下：

其中 ρ 為空氣的密度； C d 為阻力係數，它非常依賴於物體的形狀； A 為物體的橫截面積， v 是物體相對於空氣的速度。

從空氣阻力的表達式中我們可以看出，速度越大，空氣阻力也就越大。然而空氣阻力也不會無限制地增大，當空氣阻力大到與重力 G = mg 相等時，物體的受力就平衡了。於是此時物體不再有加速度，將穩定地以這個速度勻速下落，這時的速度被稱為收尾速度 v 0 ，它的大小可以通過 F d = G 求得：

這種由空氣阻力與重力平衡的勻速下落實際上非常常見：通常的雨滴，下落到地面上的時候，都是勻速的。而雨點越小雨滴飄落得越慢這一生活經驗，也正可以由上式中 v 0 與 m 的 1/2 次方成正比得到解釋。

回到我們最初的問題上來，硬幣最後的收尾速度是否會對人體造成足以致命的傷害？讓我們代入硬幣的具體數據來計算一下。以 1 元硬幣為例：它的質量約為 6.3g，直徑 d 約為 25 毫米，厚度 h 約為 2 毫米。通常溫度壓強下的空氣密度 ρ 為 1.2 kg/ m 3 ，我們設它是恆定的。阻力係數Cd在硬幣的圓面水平下落時為 1.15（見參考文獻[3]），而在硬幣的圓面豎直下落時沒有確切的數據可以查詢，但是也約為 1。代入這些具體數值就可以分別計算硬幣的圓面水平和豎直下落時的收尾速度，作為其最小值和最大值，得到結果：

也就是說不論硬幣從多高的地方掉下來，最終的速度也不會超過 45.4 m/s。真實情況下，硬幣下落時會在空中翻滾，因此可以認為真實情況下硬幣的收尾速度是介於以上面兩種情況之間的。

極限速度不是致命速度

讓我們來考慮最極限的情況，最大的收尾速度會不會對人體造成傷害甚至致命？為此我們需要估算一下這麼大的速度的硬幣砸到人身上時，人所受的力及壓強。用動量定理可以做一個很好的估計：

一般而言，硬幣與人體皮膚作用的時間為 10ms 量級（詳見參考文獻 [1] ），因此 F ≈2 9N。如果假設硬幣與人體皮膚作用的面積為硬幣厚度 h 的平方那麼大，即 4 mm 2 ，則人體受到的壓強為 P ≈ 7.2MPa。

這麼大的壓強會不會死人呢？按照參考文獻 [1] 中的說法，人體皮膚所能承受的壓強為 P = 20.89±4.11MPa，高空墜落的硬幣產生的壓強比這一極限壓強還是小很多的。由此看來，高處落下的硬幣基本是不會致命的啦！

事實上，美國的一位物理教授 Louis Bloomfield 還曾經做過實驗來證明高空落下的硬幣並不那麼可怕。他在一個氦氣球中安裝了一個硬幣發射器，然後將這個氣球升到數百英尺的高處（ 100 英尺約等於 30 米），按下遙控裝置讓發射器每次放下一枚硬幣，然後 Bloomfield 教授試著伸手去接，由於他自己運動神經比較菜（教授自己的說法），他一枚硬幣也沒接住，反而被砸到了下巴，「就像被一個小蟲咬了一口的感覺」。

最後他總結到，雖然摩天大樓高達幾百米，但硬幣的收尾速度終究有限，高處掉下來的硬幣，沒有想像中那麼危險，當然高處掉落的硬幣也有可能砸到敏感部位從而造成不同程度的受傷。他同時指出，如果高空落下一支流線型的小物體，比如頭朝下的圓珠筆，那被擊中的人可就慘了，應該跟「膝蓋中了一箭」差不多。不過想讓圓珠筆頭衝下豎直落下並不容易，通常圓珠筆都是會翻滾的（不過還是很危險）。所以，行走在都市中摩天大樓中間，我們不必擔心偶然落下的一枚硬幣擊穿頭顱「帶走」了自己。

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