物理學咬文嚼字之五十九：波也否，粒也否
Nature, it seems is the popular name
For milliards and milliards and milliards
Of particles playing their infinite game
Of billiards and billiards and billiards.
——Piet Hein,Atomyriads
You re not a wave, you re a part of the ocean.
——Mitch Albom
波與粒子是兩個用來描述物質世界的形象化概念。不管是哲學上的wave-particle duality還是字面上的wavicle，都無法掩飾我們缺乏描述自然之能力的尷尬。
曹則賢（中國科學院物理所研究員，博士生導師）
01
波乃水之皮
宋朝翰林院大學士蘇軾，號東坡居士。一日，宰相王安石講《字說》，謂一字解作一義，如東坡的坡字，坡乃土之皮也。東坡笑道：「如荊公所言，滑字難道是水之骨嗎？」 王安石一時語塞。此段機鋒千年來當作文壇軼事流傳，我有幸知曉，也跟同事們聊起過。2007年夏某日，一群人在海邊玩水，我的同事竇教授頓悟：「老曹，滑可不就是水之骨嘛！水中有固體，固體上有微生物附著生長，易造成滑膩效果。」嚇，古人造字，誠不我欺。這位竇教授文化底蘊厚實，加之由物理而研修生物，由他悟出滑是水之骨，自是情理之中的事情，所以俺當時一點也不驚訝。這件事給我的啟發是，一個人一定是非常非常沒有底蘊，其學問才會不斷跨越式地跨越。
「坡乃土之皮，滑是水之骨」 的軼事讓我想到了一個重要的物理學概念，波，並且認識到了 「波乃水之皮！」 水給了這個世界生命，說它帶來了物理學也不為過。流（萬物皆流的思想，流體力學，流數等）[1]、漲落、鏡面反映，這些所謂物理學的重大概念，哪一樣不來自於水。水的眾多性質都不同於其它液體，因此人們津津樂道水的anomaly （反常）。水的反常性質之一是它的表面張力（能量密度，或曰水皮的彈性模量），室溫下約為72 mN/m。因為水有這麼大的表面張力，且還是極性的，水面的振動就很容易被激發——你用根頭髮輕觸水面就能看到水波（圖1）。波，水之皮，水之皮的振動，就這樣深入人心，深入物理。
圖1 小小的蜻蜓輕觸水面，即見波瀾壯闊。
波，英文為wave，德文為die Welle。英文的wave可作動詞用，來自德語的waben（b, p, v通假），字典解釋為to move to and fro（來回擺動），所以有wave your hand （招招你的那個手）的說法。Wave還被解釋為fluctuate。不過fluctuate這個詞來自流動（to flow），我們把fluctuation譯為漲落，漲落也是由 「水」 而來。英文中提到波或者波動現象，還會用undulation這個詞。這個字來自拉丁語unda，就是水。德語的das Wasser，英文的water，法語的l』eau，俄語的вода都應該是脫胎於這個字。法文的波是ondulatoir，詞頭為水，如同漢語的波，偏旁為水。對於那些隨處可見的自然現象，不同文化的描述相差不遠。注意，英文文獻中談論波動行為用形容詞undulatory，如undulatory material world （波動的物質世界）。
02
粒粒皆分明
粒，穀粒，米粒，是我們祖先最熟悉的事物。粒乃穀物的量子(quantum)， 「粒」 字給我的感覺是那種分立的存在。一個一個的個體，有明確的隔離，合而成一個廣延的世界以至於你常常看不到或者忘記那些個體的存在。古希臘人認為世界是由atom+void構成的，即由不可再分的單元及其間的縫隙構成的。唯因void的存在，才得見分立的atom；或者既然我們認定有atom，則必須連帶著承認void的存在。這個樸素的世界模型可能來自對沙丘的觀察。玉米穗也能很好地圖解這個哲學命題（圖2）。
圖2 沙丘與玉米穗。顆粒加上粒間的縫隙，構成了一個綿延的世界
粒，對應的英文詞為grain, granule, corn, 也是穀物的種子。這個概念也用來描述其它差不多大小的、能構成廣延世界的分立單元，如砂粒、鹽粒、雪粒等。近年來比較熱的顆粒物質研究，關注的就是砂粒、豆粒這樣的atom所構成的物質體系，它們被稱為granular materials。
基礎物理學中的一個基本概念是粒子。 「粒」 加上 「子」 ，是為了強調其尺度之小。其實，1）「子」 字的原意為嬰兒，可作 「小」 字解； 2） 「粒」 字有個兄弟，即 「籽」 字，用來表示比玉米粒、黃豆粒要小一些的種子，如油菜籽、草籽、蘿蔔籽等。粒子在物理學中是對particle的翻譯。不過，particle是由 par （等分）加上小詞( icle )構成的；類似地，德語的粒子Teilchen 是由分( teilen )加上小詞 ( chen )構成的；它們有自大而小的淵源記錄在裡面。漢語的粒子就沒有這個意思在裡面，玉米粒生來就是玉米粒，沒聽說是從什麼事物分割而來的。
西文里談論微粒說常用到另一個詞corpuscle, 這個詞是由體（身體，corpus）加上小詞構成的。醫學上就把corpuscle翻譯成小體，如splenic corpuscle，漢譯腎小體。Corpuscle 和particle，如同漢語的粒與籽，都是來自日常生活的辭彙。當它們被引申了去描述微觀世界裡的存在時，其指代物的相對大小可能是筆糊塗賬。筆者下意識地以為corpuscle 指代的事物比particle塊頭大，這沒什麼道理，但在理解光的微粒說/粒子說時可能要面對這個問題。
03
有光自天上來
人類作為智慧生物的一個前提是它擁有探測光的能力。所謂的optics，研究的是the nature of light and vision（光與視覺的本性），將之翻譯成光學是有失偏頗的，忽略了其同眼科學（ophthalmology）的淵源。考察一下太陽的光譜（圖3），以及光在材料中引起電效應以及破壞H,C, N, O等原子之間化學鍵的能力，你一定理解為什麼可見光的波長大約在390～780 nm之間，以及為什麼波長～550 nm的綠光那麼賞心悅目（圖3）。人類花了很大的功夫才認識到，看見東西不需要眼睛發射什麼東西，只須被動地接受來自被觀察物體的光即可。太陽每天都爽快地普照大地，給地球送來光與熱。那麼，光是啥？
圖3 可見光光譜
圖4 雨點與陽光。雨線為光線提供了模型？
古希臘的atom+void的思想在17世紀發展成了Gassendi和笛卡爾等人的以物質原子論 ( atomic matter theory ) 為核心的哲學。與原子論可相提並論的是微粒論 ( corpuscularian theories, corpuscularianism )。與atom不同，微粒 ( corpuscle ) 是可分的，微粒是攜帶別種低層次物質的particle ( corpuscles are particles that carry other substance or substances and are of different types )，是可以由某個源發射的。後來，牛頓基於微粒論發展了光的微粒說 ( particle theory /corpuscular theory of light )。牛頓認為光的反射行為只能由光是由corpuscle組成的（設想corpuscule是完全彈性的、無重量的）才能得到解釋。筆者瞎猜，關於光的微粒說可能與雨有關。雨和光都來自天上，且可能是同時的。雨線為光線 ( ray ) 提供了很好的類比的好說論（圖4）。雨線是雨滴的集合體，焉知光線不是某種corpuscule的集合體，只是其可能比雨滴更小而已。
然而，微粒說很難解釋光的其它性質，如折射和干涉。胡克把光同水波相類比，並認為光對應的振動之振動方向和傳播方向垂直。惠更斯認為光是在luminiferous ether (亮以太)這種介質中的波，當光進入高密度介質中時，會變慢。1800年左右，Thomas Yong用波的概念解釋了光的雙縫干涉，他（注意他是位醫生）還認為光的顏色是由光的波長不同造成的。菲涅爾關於小圓盤後面中心線上可能因為光的繞射而最亮的預言被實驗證實後，光的波動說算是確立了。後來，當人們算出從麥克斯韋方程組得出的波動方程的解，其傳播速度約等於測到的光速，加上赫茲還真從振蕩電路中得到了電磁波，誰還有理由質疑光的波動說呢？可是，所謂的波動說對干涉、衍射等現象的解釋，真的是解釋嗎？
物理的世界從不缺乏驚奇，警告所謂的物理學家們不要得意忘形。為了用玻耳茲曼那套原子的統計理論解釋壁爐或者瓷窯中光譜分布對溫度的依賴關係，普朗克在1900年不得不假設Uν/ hv＝N，這個假設意味著一定頻率的光，其能量是有單位的，為hν。普朗克沒把這個假設當真，但是1905年愛因斯坦把這個假設當真了，他用這個假設解釋了光電效應。壞了，particle theory of light的幽靈又回來了。注意，1905年前後人們只是認為光的能量是分立的，有基本單元的，因此人們談論light quantum應該指的是光（束）的能量量子。光子 ( photon )這個詞要到1926年才造出來，那時物質波的概念已經有了，photon應該指的不是能量量子，而是如玉米粒那樣的分立的實在。這一細枝末節，似乎未見有人強調。此外，光子和光束之間的關係，也不是一個簡單的問題。
04
法式喜劇與斯堪的納維亞樸素哲學
德布羅意的物質波概念當時被評價為法式喜劇 ( La comédie fran?aise )，畢竟拿這麼個公式就想當物理學博士也太便宜了。勞厄覺得如果真要談論波的話，總該有個波動方程吧？他把這個問題丟給了薛定諤，薛定諤拿這個問題當真了，很快得出了薛定諤方程並應用於氫原子。有了薛定諤方程才算有了真正的量子力學。量子力學又稱波動力學（wave mechanics）, 這個詞來自對有別於ray optics, geometric optics的波動光學，反映的是力學－光學是一家的歷史事實。此問題，另當別論。
好了，波也是粒子了，粒子也是波了。波和粒子還可以這麼個和諧法，一些物理學家感到很困惑。這時候聰明人出來了，說物質具有wave-particle duality（波粒二象性），物質就是既能是波，也能是粒子；或者說某些情景中是粒子，另外一些情景中是波。伽莫夫還專門造了wavicle ( wave+particle )這個詞來命名新思想照耀下的粒子。Wave-particle duality是典型的na?ve dichotomy （幼稚的兩分法）。波粒二象性的思想，以及互補性原理和不確定性原理，都源於哥本哈根學派，筆者大膽將它們統稱為Scandinavian naive philosophy in quantum mechanics （量子力學中的斯堪的納維亞樸素哲學）。一些不能或不肯從數學的角度去理解量子力學的人對這些原理津津樂道從而歡天喜地地走入歧途。Dirac認為連其始作俑者本人也因為沉迷於這種樸素哲學而不能有所成就。
05
波與粒子的象
Wave-particle duality宣稱所有的物質都既能表現出粒子性質 ( properties )，又能表現出波的性質。漢譯波粒二象性，估計是受了佛經的影響，給人印象是說物質有粒子和波兩重表象，類似觀音大士既有男身版的也有女身版的。Properties也罷，象也罷，都不具體，在數學表述上粒和波到底指的是什麼？
我們用particle指代很小的事物。象質子、中子、電子這些我們常掛在嘴邊的粒子，到底大小如何，還真是一個基本的物理問題。因為當我們談論一個粒子大小的時候，一定要說清楚那個大小是怎樣以及通過什麼手段定義的。比如，我們說電子的半徑必須小於2x10-20m，因為只有這樣才能解釋高速正電子與電子碰撞不會彈回去這一事實。您看，這些很小的尺寸，因為沒有更小的物體以其尺度作為單位，只是一些依靠理論得出的數字而已。更多的時候，粒子是被當作點，數學的點，來處理的。這就是物理學中四處可見material point, point mass （質點）, point charge（點電荷）之類概念的原因。一些所謂的理論災難，就源於把粒子當作尺度為零而同時不負責任地使用距離r以及1/rn這樣的作用勢所導致的。這樣的災難，是物理理論的災難而不是物質世界的災難。用基本粒子說話要麼只能在犧牲部分 「particle」 一字與物體關聯的前提下進行，要麼把這個字限制於一類具體的實驗情景[2]。信哉此言！
波，wave，比particle所含科學內容也多不到哪裡去。先前人們談到波，不外乎sin(kx-ωt)函數或者exp[i(kx-ωt)]函數。至於用sech2(kx-ωt)函數描述的孤立波，知道的人就少了許多。憑sin(kx-ωt)函數能解釋光的雙縫干涉出現明亮相間條紋還有人信，要說能再現光的雙縫干涉斑圖的各種特徵估計有點玄。至於說晶體衍射斑點證明了電子是波，記住晶體和衍射斑點可都是實空間里我們能真切觀察到的存在。理論上，晶體對電子的衍射等同於晶體的傅立葉變換。傅立葉變換若寫成這樣的形式，那沒什麼，出現的函數表面上都是實的。可要是用exp[i(kx-ωt)]函數的形式，就有個問題。exp[i(kx-ωt)]可是個複數，或者說是二元數。除了用exp[i(kx-ωt)]完成晶體衍射的計算以外，人們還用這樣的函數疊加得到實的波包來表示粒子，那麼那不同分波的二元數身份，不該有個物理解釋嗎？如果說二元數表示的不同分波沒有物理真實，它們線性疊加的實函數又有多少物理真實？
物質波到底是什麼波，似乎還沒有統一說法。Bohm 認為物質波是導波 ( pilot wave ) ，引導粒子運動的波。如果是這樣，那物質波應該和水波一樣，是實空間里的存在。而量子力學的波函數，是複數或者說是二元數，其模被解釋成實空間里的粒子出現的幾率密度，則未必有我們熟悉的水波形象。波函數里的波同德布羅意物質波的波，其物理圖像和數學描述是一致的嗎？
包括愛因斯坦在內的許多科學家並不接受波粒二象性的說法。近年有種觀點認為，此前當作是分立個體的particles 只是宇宙這個連續統的關聯表現 ( correlated manifestation ) , 二象性的思想應該被波（連續的場）的monism取代。Monism，一元論，這在道家的思想里早就有了。
06
不二智慧
一元論或許暗合東方的 「大一」 或者 「不二」 哲學觀。《維摩詰經》有不二法門，超越一切分別之相, 排除執著. 道家意識到在二分思維模式下的世界裡，任何事物都被我們的意識感知為有對立面的存在狀態，而我們又使用對立的概念範疇來描述它，這顯然未必能反映事物的本原。因此，道家強調 「大一」 ，或者 「不二」 ，告誡人們要擺離線械的二分法，找到兩極的契合點。老子的《道德經》里有許多表述如大巧若拙、大智若愚等，都是強調物極必反 ( extremities meet )的事實，有助於破除我們頭腦中習慣性的二分思維，使我們能夠明白「道」或者物理的不二性。太極圖或可給我們一些樸素的啟示（圖5）：太極圖不是黑白相間，而是非黑不白。
圖5 太極圖：非黑不白。
07
如何兼美？
《紅樓夢》中謎一般的人物秦可卿，字兼美，謂其風流裊娜如黛玉，鮮艷嫵媚似寶釵。這樣的duality相當有難度。一個微觀物體，可以是波，也可以表現為粒子，於它自身倒沒有什麼為難處。但是，duality的思想是缺乏可操作性的，這在對散射現象的處理上可見一斑。你可以看到關於粒子－粒子散射、波－粒子散射的數學處理，但是沒有wavicle-wavicle散射的數學表述。在粒子散射問題中，計算時可能用波的概念，探測時卻是一概當作單個粒子，但又把探測粒子所得到的條紋當作粒子是波的證據！愚以為，波粒二象性與其說是物質性質的兩個側面，不如說是物質性質的兩個極端。雖然γ光子和無線電波都被看作是無線電波，γ光子還是被當作粒子看待的，它的頻率僅僅是個由v=E/h計算得來的數值；而一段波長几百米的無線電波，好意思說它是粒子嗎？當然了，即便是光子是堅硬的粒子，無線電波是瀰漫的波，而依著不二的觀點，歸於 「大一」 ，也未嘗不可。只是物理的 「大道」 ，我們還遠沒有能達到！
破除波粒二象性的執著，哲學家祭出一個monism或者把黑白分明的太極圖楞說成是非黑不白就沒事了。但是對物理學家來說，倘若手裡的數學工具只是能處理點的運動和正弦函數（波）的傳播，怎麼實現關於物質世界的monism? 雖然，我們明知道零維的點粒子帶來很多困難，但弦和膜理論進展到現在，也未得到比點粒子語境下的物理更有效的物理。
R. A. Wilson認為量子力學的許多悖論都是語義學上人為造成的 ( semantic artifacts ) ，筆者深表贊同。常常是給定實驗語境下物質的行為被說成是物質的本性，比方說屏幕上的明暗條紋（水波的形象）被詮釋為光自身是波（物質波，波函數）。顯然，這裡的 「波」 字存在語義學上的歧義。有趣的是，牛頓認為光是由粒子 ( corpuscles ) 組成的，但是卻是牛頓第一個用牛頓環測定了光的波長[3]。牛頓的光波長是光作為粒子束所表現出的行為。牛頓光波長中的 「波」 ，同wave-particle duality中的波，不可等量齊觀。
Wave-particle duality 這種遁辭的出現，表明我們還沒能找到更有威力的描述自然的語言，離理解光以及其它粒子的本性我們還有很遠很遠的路要走。如果你非要問很遠是多遠，喔，光倒是提供了一個距離單位。
注釋
Piet Hein 是一位怪才，其作品以別出心裁而聞名。這首詩的大意是：自然，不過是那萬億、萬億、萬萬億的粒子所玩的彈球、彈球、彈彈球遊戲的俗稱。詩的名字atomyriads由atom+myriad組合而成，前者為希臘語 「不可分的」 ，即原子，後者為希臘語的萬，大概可理解為 「不可切分之恆河沙數」 的意思。這個組合詞的寓意還是蠻深的。
你不是波，你是海洋的一部分。
造成滑的效果當然不一定需要微生物，但古人一定是在固體—液體界面上深刻體會到了滑的感覺。一些固－固界面或者一些層狀結構固體的內部也足夠地滑。
物理里會有任何反常嗎？
它的數學描述在哪裡呢？
人們常說可見光的顏色分為紅橙黃綠藍靛紫，愚以為不確。可見光的兩端一定終結於不可見光，因此一定是黑色的，請仔細觀察一下可見光譜。當然了，黑色無色。
一個物體被看見也無鬚髮射或反射什麼光。 你看見一個黑色的物體是因為你沒看見它。
最好是寫成，。為什麼？你懂的。
是這個鬧劇性的物質波概念而不是光量子或者原子模型帶來了量子力學的基本方程。每念及此，輒覺得物理世界自有其不可思議處。
參考文獻
[1] 曹則賢，物理學咬文嚼字009: 流動的物質世界與流體科學，《物理》，37（3），203（2008）.
[2] James Evans, Alan S. Thorndike (Eds.),Quantum mechanics at the crossroads, Springer (2007) p.81. 原文照錄如下：Speaking in terms of elementary particles can only be done either at the cost of alleviating the corpuscularian connotation of the word particle, or by restricting the relevance of this word to a certain class of experimental situations.
[3] V. A. Arnol』d,Huygens and Barrow, Newton and Hooke, Birkh?user Verlag (1990).
補綴
1.由記錄板上的明暗條紋（板是參與這個過程的，但過程同樣是量子的，詳情未知），通過sinusoidal函數相加取模再現明暗條紋的部分性質，就認定入射的是波，是典型的non sequitur。
2. 梵語的涅槃，Nirvana, nir-dva-n-dva，即自身寂滅後和宇宙合二為一從而得永生。其中的dva，就是西文二的源頭。二，意味著不確定，英文的 doubt, dubious (拉丁語為dubius)，德語的zweifeln，都是建立在 「二」 基礎上的 「懷疑」 。其實，中文的 「有點二乎」 也是懷疑的意思。
3. 曹植《洛神賦》有句云：「余情悅其淑美兮，心振蕩而不怡。無良媒以接歡兮，托微波而通辭」 ， 可入物理或者信息類教科書。
4. 波和粒子是相反的概念嗎？如果不是，談什麼波粒二象性？
本文為曹則賢著《物理學咬文嚼字》第三卷（中國科技大學出版社，2016）之第五十九篇。該書最新上市，歡迎訂購。
本文原載於《物理》2014年第1期
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