貝葉斯、概率分布與機器學習
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簡單的說貝葉斯定理
貝葉斯定理用數學的方法來解釋生活中大家都知道的常識
形式最簡單的定理往往是最好的定理，比如說中心極限定理，這樣的定理往往會成為某一個領域的理論基礎。機器學習的各種演算法中使用的方法，最常見的就是貝葉斯定理。
貝葉斯定理的發現過程我沒有找到相應的資料，不過我相信託馬斯.貝葉斯(1702-1761)是通過生活中的一些小問題去發現這個對後世影響深遠的定理的，而且我相信貝葉斯發現這個定理的時候，還不知道它居然有這麼大的威力呢。下面我用一個小例子來推出貝葉斯定理：
已知：有N個蘋果，和M個梨子，蘋果為黃色的概率為20%，梨子為黃色的概率為80%，問，假如我在這堆水果中觀察到了一個黃色的水果，問這個水果是梨子的概率是多少。
用數學的語言來表達，就是已知P(apple) = N / (N + M), P(pear) = M / (N + M), P(yellowapple) = 20%, P(yellowpear) = 80%, 求P(pearyellow).
要想得到這個答案，我們需要 1. 要求出全部水果中為黃色的水果數目。 2. 求出黃色的梨子數目
對於1) 我們可以得到 P(yellow) * (N + M), P(yellow) = p(apple) * P(yellowapple) + P(pear) * p(yellowpear)
對於2) 我們可以得到 P(yellowpear) * M
2) / 1) 可得：P(pearyellow) = P(yellowpear) * p(pear) / [P(apple) * P(yellowapple) + P(pear) * P(yellowpear)]
化簡可得：P(pearyellow) = P(yellow,pear) / P(yellow), 用簡單的話來表示就是在已知是黃色的，能推出是梨子的概率P(pearyellow)是黃色的梨子佔全部水果的概率P(yellow,pear)除上水果顏色是黃色的概率P(yellow). 這個公式很簡單吧。
我們將梨子代換為A，黃色代換為B公式可以寫成：P(AB) = P(A,B) / P(B), 可得：P(A,B) = P(AB) * P(B).貝葉斯公式就這樣推出來了。
本文的一個大概的思路：先講一講我概括出的一個基本的貝葉斯學習框架，然後再舉幾個簡單的例子說明這些框架，最後再舉出一個複雜一點的例子，也都是以貝葉斯機器學習框架中的模塊來講解
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貝葉斯機器學習框架
對於貝葉斯學習，我每本書都有每本書的觀點和講解的方式方法，有些講得很生動，有些講得很突兀，對於貝葉斯學習裡面到底由幾個模塊組成的，我一直沒有看到很官方的說法，我覺得要理解貝葉斯學習，下面幾個模塊是必須的：
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貝葉斯公式
機器學習問題中有一大類是分類問題，就是在給定觀測數據D的情況下，求出其屬於類別（也可以稱為是假設h，h ∈ )的概率是多少, 也就是求出:
P(hD), 可得：
P(h,D) = P(hD) * P(D) = P(Dh) * P(h),所以：P(hD) = P(Dh) * P(h) / P(D), 對於一個數據集下面的所有數據，P(D)，恆定不變。所以可以認為P(D)為常數， 得到：P(hD) ∝ P(Dh) * P(h)。我們往往不用知道P(hD)的具體的值，而是知道例如P(h1D)，P(h2D)值的大小關係就是了。這個公式就是機器學習中的貝葉斯公 式，一般來說我們稱P(hD)為模型的後驗概率，就是從數據來得到假設的概率，P(h)稱為先驗概率，就是假設空間裡面的概率，P(Dh)是模型的 likelihood概率。
Likelihood（似然）這個概率比較容易讓人迷惑，可以認為是已知假設的情況下，求出從假設推出數據的概率，在實際的機器學習過程中，往往加入了很多的假設，比如一個英文翻譯法文的問題：
給出一個英文句子，問哪一個法文句子是最靠譜的，P(f=法文句子e=英文句子) = P(ef) * p(f), p(ef)就是likelihood函數，P(ef) 寫成下面的更清晰一點：p(ef∈)可以認為，從輸入的英文句子e，推出了很多種不同的法文句子f，p(ef)就是從這些法文句子中的某一個推出原句子e的概率。
本文之後的內容也將對文章中沒有提到的一些內容，也是貝葉斯學習中容易疑惑、忽略、但是很重要的問題進行一些解釋。
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先驗分布估計，likelihood函數選擇
貝葉斯方法中，等號右邊有兩個部分，先驗概率與likelihood函數。先驗概率是得到，在假設空間中，某一個假設出現的概率是多少，比如說在街上看到一個動物是長有毛的，問1. 這個動物是哈巴狗的概率是多少，2. 這個動物是爪哇虎的概率是多少, 見下圖：
雖然兩個假設的likelihood函數都非常的接近於1（除非這個動物病了），但是由於爪哇虎已經滅絕了，所以爪哇虎的先驗概率為0，所以P(爪哇虎有毛的動物)的概率也為0。
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先驗概率分布估計
在觀測的時候，對於變數是連續的情況下，往往需要一個先驗分布來得到稀疏數據集中沒有出現過的，給出的某一個假設，在假設空間中的概率。比如說有一個很大很大的均勻金屬圓盤，問這個金屬圓盤拋到空中掉下來，正面朝上的概率，這個實驗的成本比較高（金屬圓盤又大又重），所以只能進行有限次數的實驗，可能出現的是，正面向上4次，反面向上1次，但是我們如果完全根據這個數據集去計算先驗概率，可能會出現很大的偏差。不過由於我們已知圓盤是均勻的，我們可以根據這個知識，假設P(X=正面) = 0.5。
我們有的時候，已知了分布的類型，但是不知道分布的參數，還需要根據輸入的數據，對分布的參數進行估計、甚至對分布還需要進行一些修正，以滿足我們演算法的需求：比如說我們已知某一個變數x的分布是在某一個連續區間均勻分布，我們觀察了1000次該變數，從小到大排序結果是：1,1.12,1.5 … 199.6, 200, 那我們是否就可以估計變數的分布是從[1,200]均勻分布的？如果出現一個變數是0.995，那我們就能說P(0.995) = 0？如果出現一個200.15怎麼辦呢？所以我們這個時候可能需要對概率的分布進行一定的調整，可能在x200的範圍內的概率是一個下降的直線，整個概率密度函數可能是一個梯形的，或者對區域外的值可以給一個很小很小的概率。這個我在之後還將會舉出一些例子來說明。
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Likelihood函數選擇
對於同一個模型，likelihood函數可能有不同的選擇，對於這些選擇，可能有些比較精確、但是會搜索非常大的空間，可能有些比較粗糙，但是速度會比較快，我們需要選擇不同的likelihood函數來計算後驗概率。對於這些Likelihood函數，可能還需要加上一些平滑等技巧來使得最大的降低數據中雜訊、或者假設的缺陷對結果的影響。
我所理解的用貝葉斯的方法來估計給定數據的假設的後驗概率，就是通過prior * likelihood，變換到後驗分布。是一個分布變換的過程。
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loss function(損失函數)
x是輸入的數據，y(x)是推測出的結果的模型，t是x對應的真實結果，L(t,y(x))就是loss function，E[L]表示使用模型y進行預測，使用L作為損失函數的情況下，模型的損失時多少。通常來說，衡量一個模型是否能夠準確的得到結果，損失函數是最有效的一個辦法，最常用、最簡單的一種損失函數是：
不過我一直不知道為什麼這裡用的平方，而不是直接用絕對值，有詳細一點的解釋嗎？:-p
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Model Selection(模型選擇)
前文說到了對於likelihood函數可以有不同的選擇，對於先驗的概率也可以有不同的選擇，不過假設我們一個構造完整的測試集和一個恰當的損失函數，最終的結果將會是確定的，量化的，我們很容易得到兩個不同參數、方法的模型的優劣性。不過通常情況下，我們的測試集是不夠完整，我們的損失函數也是不那麼 的精確，所以對於在這個測試集上表現得非常完美的模型，我們常常可能還需要打一個問號，是否是訓練集和測試集過於相像，模型又過於複雜。導致了over-fitting（後文將會詳細介紹over-fitting的產生）？
Model Selection本質上來說是對模型的複雜度與模型的準確性做一個平衡，本文後面將有一些類似的例子。
Example 1：Sequential 概率估計
對於概率密度的估計，有很多的方法，其中一種方法叫做Sequential 概率估計。
這種方法是一個增量的學習過程，在每看到一個樣本的時候都是把之前觀測的數據作為先驗概率，然後在得到新數據的後驗概率後，再把當前的後驗概率作為下一次預測時候的先驗概率。
傳統的二項式分布是：
由於傳統的二項式分布的概率μ是完全根據先驗概率而得到的，而這個先驗分布之前也提到過，可能會由於實驗次數不夠而有很大的偏差，而且，我們無法得知μ的分布，只知道一個μ的期望，這樣對於某些機器學習的方法是不利的。為了減少先驗分布對μ的影響，獲取μ的分布，我們加入了兩個參數，a，b，表示X=0與X=1的出現的次數，這個取值將會改變μ的分布，beta分布的公式如下：
對於不同a，b的取值，將會對μ的概率密度函數產生下面的影響：（圖片來自PRML）
在觀測數據的過程中，我們可以隨時的利用觀測數據的結果，改變當前μ的先驗分布。我們可以將Beta分布加入兩個參數，m，l，表示觀測到的X=0，X=1的次數。（之前的a，b是一個先驗的次數，不是當前觀測到的）
我們令：
a』，b』表示加入了觀測結果的新的a，b 。帶入原式，可以得到
Example 2：拼寫檢查
直接給出拼寫檢查器的貝葉斯公式：
P(cw)表示，單詞w(wrong)正確的拼寫為單詞c(correct)的概率，P(wc)表示likelihood函數，在這裡我們就簡單的認 為，兩個單詞的編輯距離就是它們之間的likelihood，P(c)表示，單詞c在整體文檔集合中的概率，也就是單詞c的先驗概率。
我們在做單詞拼寫檢查的時候肯定會直觀的考慮：如果用戶輸入的單詞如果在字典中沒有出現過，則應該將其修正為一個字典中出現了的，而且與用戶輸入最接近的詞；如果用戶輸入的詞在字典中出現過了，但是詞頻非常的小，則我們可以為用戶推薦一個比較接近這個單詞，但是詞頻比較高的詞。
先驗概率P(c)的統計是一個很重要的內容，一般來說有兩種可行的辦法，一種是利用某些比較權威的詞頻字典，一種是在自己的語料庫（也就是待進行拼寫檢查的語料）中進行統計。我建議是用後面的方法進行統計，這樣詞的先驗概率才會與測試的環境比較匹配。比如說一個遊戲垂直搜索網站需要對用戶輸入的信息進行拼寫糾正，那麼使用通用環境下統計出的先驗概率就不太適用了。
Example 3：奧卡姆剃刀與Model Selection
給出下面的一個圖：（來自Mackey的書）
問：大樹背後有多少個箱子？
其實，答案肯定是有很多的，一個，兩個，乃至N箱子都是有可能的（比如說後面有一連排的箱子，排成一條直線），我們只能看到第一個：
但是，最正確，也是最合理的解釋，就是一個箱子，因為如果大樹背後有兩個乃至多個箱子，為什麼從大樹正面看起來，兩邊的高度一樣，顏色也一樣，這樣是不是太巧合了。如果我們的模型根據這張圖片，告訴我們大樹背後最有可能有兩個箱子，這樣的模型的泛化能力是不是太差了。
所以說，本質上來說，奧卡姆剃刀，或者模型選擇，也是人生活中的一種通常行為的數學表示，是一種化繁為簡的過程。數學之美番外篇：平凡而又神奇的貝葉斯方法這篇文章中說的，奧卡姆剃刀工作在likelihood上，對於模型的先驗分布並沒有什麼影響。我這裡不太同意這個說法：奧卡姆剃刀是剪掉了複雜的模型，複雜的模型也是不常見的、先驗概率比較低的，最終的結果是選擇了先驗概率比較高的模型。
Example 4: 曲線擬合
（該例子來自PRML)
問題：給定一些列的點，x = , t = , 要求用一個模型去擬合這個觀測，能夠使得給定一個新點x , 能夠給出一個t .
已知給定的點是由y=2πx加上正態分布的雜訊而得到的10個點，如上圖。為了簡單起見，我們用一個多項式去擬合這條曲線:
為了驗證我們的公式是否正確，我們加入了一個loss function：
在loss function最小的情況下，我們繪製了不同維度下多項式生成的曲線：
在M值增高的情況下，曲線變得越來越陡峭，當M=9的時候，該曲線除了可以擬合輸入樣本點外，對新進來的樣本點已經無法預測了。我們可以觀測一下多項式的係數：
可以看出，當M（維度）增加的時候，係數也膨脹得很厲害，為了消除這個係數帶來的影響，我們需要簡化模型，我們為loss function加入一個懲罰因子：
我們把w的L2距離乘上一個係數λ加入新的loss function中，這就是一個奧卡姆剃刀，把原本複雜的係數變為簡單的係數（如果要更具體的量化的分析，請見PRML 1.1節）。如果我們要考慮如何選擇最合適的維度，我們也可以把維度作為一個loss function的一部分，這就是Model Selection的一種。
但是這個問題還沒有解決得很好，目前我們得到的模型只能預測出一個準確的值：輸入一個新的x，給出一個t，但是不能描述t有什麼樣的概率密度函數。概率密度函數是很有用的。假如說我們的任務修正為，給出N個集合，每個集合裡面有若干個點，表示一條曲線，給出一個新的點，問這個新的點最可能屬於哪一條曲線。如果我們僅僅用新的點到這些曲線的距離作為一個衡量標準，那很難得到一個比較有說服力的結果。為了能夠獲取t值的一個分布，我們不妨假設t屬於一個均值為y(x),方差為1/β的一個高斯分布：
在之前的E(w)，我們加入了一個w的L2距離，這個看起來有一點突兀的感覺，為什麼要加上一個這樣的距離呢？為什麼不是加入一個其他的東西。我們可以用一個貝葉斯的方法去替代它，得到一個更有說服力的結果。我們令p(w)為一個以0為均值，α為方差的高斯分布，這個分布為w在0點附近密度比較高，作為w的先驗概率，這樣在計算最大化後驗概率的時候，w的絕對值越小，後驗概率將會越大。
我們可以得到新的後驗概率：
這個式子看起來是不是有點眼熟啊？我們令λ=α/β，可以得到類似於之前損失函數的一個結果了。我們不僅還是可以根據這個函數來計算最優的擬合函數，而且可以得到相應的一個概率分布函數。可以為機器學習的很多其他的任務打下基礎。
這裡還想再廢話一句，其實很多機器學習裡面的內容都與本處所說的曲線擬合演算法類似，如果我們不用什麼概率統計的知識，可以得到一個解決的方案，就像我們的第一個曲線擬合方案一樣，而且還可以擬合得很好，不過唯一缺少的就是概率分布，有了概率分布可以做很多的事情。包括分類、回歸等等都需要這些東西。從本質上來說，Beta分布和二項式分布，Dirichlet分布和多項式分布，曲線擬合中直接計算w和通過高斯分布估計w，都是類似的關係：Beta分布和Dirichlet分布提供的是μ的先驗分布。有了這個先驗分布，我們可以去更好的做貝葉斯相關的事情。
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後記
本文就寫到這裡，花了大概4個晚上來寫這篇文章，也感謝我女朋友的支持。我也希望能夠用它去總結一下最近學習的一些心得，看看是否自己能夠把它講出來。我覺得學習的過程是一個爬山的過程，常常有的時候覺得自己快到山峰了，結果路有向下了，自己不停有著挫折和興奮的感覺，不過學習的感覺總體來說快樂的。我也想能夠把自己的這份快樂帶給大家 
參考資料：
數學之美番外篇：平凡而又神奇的貝葉斯方法, Pongba
Pattern Recognition and Machine Learning, Bishop
一些Wikipedia上面的內容
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