Conway常數是怎麼得來的？
來源：Matrix67的博客
http://www.matrix67.com/blog/archives/3870
在所有尋找數字規律的謎題中，下面這個難題可能是最有意思的題目之一了：
若你是第一次聽到這個問題，你一定會非常喜歡問題的答案：下一個數是對上一個數的描述，比方說 1211 里有 「 1 個 1 ， 1 個 2 ， 2 個 1 」 ，那麼 111221 就是它的下一個數。通常我們把這個數列叫做「外觀數列」。
作為一個讓人拍案叫絕的智力遊戲，外觀數列的故事似乎就已經到此為止了。可是，人們漸漸發現，外觀數列裡面還大有文章可做。例如，數列中的數雖然會越來越長，但數字 4 始終不會出現。這些優雅的性質成功地引來了數學家們的圍觀。在對外觀數列的研究中，最引人注目的成果之一要歸功於英國數學家 John Conway 。 1987 年， John Conway 發現，在這個數列中，相鄰兩數的長度之比越來越接近一個固定的數。最終，數列的長度增長率將穩定在 30% 左右。事實上，如果把數列中第 n 個數的長度記作 Ln，則當 n 趨於無窮大的時候， Ln+1/ Ln將趨於一個極限。 John Conway 把這個極限用希臘字母 λ 表示，並證明了這個數是 71 次方程：
x71– x69– 2x68– x67+ 2x66+ 2x65+ x64– x63– x62– x61– x60– x59+ 2x58+ 5x57+ 3x56– 2x55– 10x54– 3x53– 2x52+ 6x51+ 6x50+ x49+ 9x48– 3x47– 7x46– 8x45– 8x44+ 10x43+ 6x42+ 8x41– 5x40– 12x39+ 7x38– 7x37+ 7x36+ x35– 3x34+ 10x33+ x32– 6x31– 2x30– 10x29– 3x28+ 2x27+ 9x26– 3x25+ 14x24– 8x23– 7x21+ 9x20+ 3x19– 4x18– 10x17– 7x16+ 12x15+ 7x14+ 2x13– 12x12– 4x11– 2x10+ 5x9+ x7– 7x6+ 7x5– 4x4+ 12x3– 6x2+ 3x – 6 = 0
的唯一實數解，它約為 1.303577 。這就是傳說中的Conway 常數。
我一直很好奇：這個 71 次方程是怎麼來的啊？今天，我看到了Conway 常數的一個推導[1]，終於解開了困擾我 N 久的謎題，在這裡和大家分享一下。
有了上面這張表格，我們就能算出數列中的每一項的長度了。考慮一個 92 × 92 的矩陣 T ，其中第 i 列表示的就是基本串 ＃i 的演變情況。舉例來說，基本串 #2 將會演化出 #64 和 #62，那麼我們就令矩陣 T 的第 2 列第 64 行等於基本串 #64 與 #2 的長度比，而第 62 行則為基本串 #62 和 #2 的長度比。外觀數列的第 8 項包含了基本串 #24 和 #39 ，它們倆的長度都是 5 。我們就用一個含 92 個元素的向量 A = (0, 0, …, 0, 5, 0, …, 0, 5, 0, 0, …, 0) 來表示外觀數列第 8 項中各基本串所佔的長度。於是， T * A 就反映了數列第 9 項的長度信息， T^2 * A 則對應數列的第 10 項??於是我們便得到了一個數列長度的遞推關係。
好在這個矩陣很稀疏，不難得到它的特徵方程：
x18(x + 1)(x – 1)2(x71– x69– 2x68– x67+ 2x66+ 2x65+ x64– x63– x62– x61– x60– x59+ 2x58+ 5x57+ 3x56– 2x55– 10x54– 3x53– 2x52+ 6x51+ 6x50+ x49+ 9x48– 3x47– 7x46– 8x45– 8x44+ 10x43+ 6x42+ 8x41– 5x40– 12x39+ 7x38– 7x37+ 7x36+ x35– 3x34+ 10x33+ x32– 6x31– 2x30– 10x29– 3x28+ 2x27+ 9x26– 3x25+ 14x24– 8x23– 7x21+ 9x20+ 3x19– 4x18– 10x17– 7x16+ 12x15+ 7x14+ 2x13– 12x12– 4x11– 2x10+ 5x9+ x7– 7x6+ 7x5– 4x4+ 12x3– 6x2+ 3x – 6) = 0
捨去 0 、 1 、 -1 三個根，就只剩下這個 71 次方程了。這個 71次方程恰有一個實根，它就是我們要找的數列增長速率。
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