以物理之眼，探索幾何世界

幾何Geometry

撰文：David Tong（劍橋大學）

翻譯：素春（哈佛大學）

眾所周知，幾何與物理之間的關係非常密切，最出名的例子當屬愛因斯坦的廣義相對論：用幾何上的時間和空間來描述物理上的引力。本文將試圖描述大自然是如何匯入幾何的。讓我們用物理學中的概念從一個新的視角去看一下數學的樣貌。

首先，我們需要兩個簡單的概念：一個來自數學，另一個來自物理。數學方面的主要概念就是流形（manifold）。如果你之前沒有聽說過流形，那麼你可以想像一個彎曲且閉合的表面，比如一個球或甜甜圈的表面，而流形就是這種形狀在多維空間的推廣。幾何的目的就是要理解不同流形的屬性，它們之間的關係，以及我們用以描述它們的語言。 而在物理方面，我們唯一需要的就是謙遜的粒子。我們的計劃如下：把粒子放在要研究的流形上讓它漫遊。通過理解粒子的行為，我們可以推測粒子背後的空間（即流形）的各種屬性。

卡拉比-丘流形。|圖片來源： Andrew J Hanson, Indiana University

讓我們從最簡單的情況開始，想像一個滿足經典力學理論的粒子。這種經典粒子平淡無奇，它會像我們預測的一樣：按照空間的軌跡滾動。經典粒子走過的軌道會滿足一些特殊的數學性質，此軌道叫做測地線（geodesic）。但是這種讓經典粒子運動的概念非常受限，無法用來探測流形深處的東西。而且這種經典粒子的視野非常狹隘，它只能看到它自身周圍的一小塊區域，卻對流行的整體性質無從而知。

幾何與量子力學

如果我們轉向量子力學，事情會變得更加有趣。在量子世界裡，粒子不再擁有一個確定的位置，事情會變得更加不確定，我們需要用概率的語言來描述。在量子力學中，粒子是用數學上的波函數ψ(x)來描述的。波函數是一個複數函數，而ｘ是一系列坐標，用以標記流形上的各個點。粒子在ｘ點的概率正比於|ψ(x)|2。量子粒子以概率波的形式散開其實給了它更強大的能力。這讓量子粒子能感受到它在整個流形上的軌跡（相比之下，經典粒子只能看到它自身周圍的一小塊區域）。它由此可以得知空間的整體結構。量子粒子的態是由薛定諤方程來描述的：

這個符號叫做拉普拉斯運算元。粗略的說，它表示你需要把ψ相對於所有的相關自變數做二階微分。一般情況下，大家第一次見到拉普拉斯運算元應該是相對於平直的三維空間（即x ≡ (x,y,z)）做的二階微分，

拉普拉斯由此平直三維空間中的形式向不同維度的擴展顯而易見。但更重要的是，拉普拉斯運算元也可以向彎曲的流形擴展。這種情況下，拉普拉斯運算元取決於流形的度規（metric），也就是說此拉普拉斯運算元符號之內已經包含了流形中不同的點之間的距離的相關信息。

在上文的薛定諤方程中，Ｅ只是一個實數。物理學家們會把它理解為粒子的能量。這裡的核心思想是薛定諤方程並不是對於任意Ｅ值都會有ψ(x)解，而是只對某些特定的不連續的Ｅ值有解。而且，因為拉普拉斯運算元取決於我們在哪個空間討論，有解的Ｅ值也一樣由空間決定。這給我們提供了一個非常不同的方式去看待幾何。你給我一個流形，告訴我它的形狀及曲率（更確切的說，是拓撲和度規）。用這些信息，我來解薛定諤方程並給回你一列Ｅ值。這一系列E值叫做拉普拉斯運算元譜，其內包含流形的絕大部分信息。這種思維方式叫做譜幾何（spectral geometry）。

譜幾何還有一個更接地氣的版本。數學家 Mark Kac 曾在《我們能否聽到鼓的形狀？》一文中提到此版本而讓它聞名於世。鼓震動的頻率也是遵循薛定諤方程的，只不過此時要滿足一個特殊的邊界條件：由鼓的邊緣形狀而定。現在的問題是：如果你已知所有的頻率，你能反推出鼓的形狀嗎？答案是不能，但是你可以由此得到很多鼓的形狀的相關信息。相似的，在幾何學中大家都知道譜的信息未必足以推測出背後的流形的所有信息。然而，譜幾何仍是一個內容豐富的學科，譜中以非常有趣的形式嵌含了流形的各種不同屬性。

為了幫助我們更好的理解譜幾何，我們一起來看一個非常簡單的流形的例子：圓。讓我們用維度ｘ標記沿圓周的位置。假設圓的半徑為Ｒ，我們可知x ≡ x + 2πR在此例中，薛定諤方程非常簡單，即

薛定諤方程的解也非常簡單，即ψ = exp(inx/R)。此時，「我們所研究的空間是一個圓」的信息體現於這一要求：ψ在圓周上的任一點都只有單一的值，所以ψ(x) = ψ(x+2πR)。由此可知我們必須有，而此圓（一個簡單的流形）的譜則是一個數字塔

我們很快還會回頭再看這個圓的例子。

雖然我是從量子物理的角度來介紹譜幾何，但譜幾何學科並非由物理學家發現。不過，值得開心的是譜幾何可以如此自然的融於量子物理的框架中，而且這二者之間還有更多的關聯。比如，一個更加複雜的擁有超對稱性質的量子力學哈密頓量可以很自然的捕捉到流形的德拉姆或者多爾貝上同調。這樣，很多微分幾何的偉大結果就可以用量子物理的語言重述了。這個方向非常有趣，但不在本文討論範圍之內。本文的重點是要告訴你一些用物理的語言思考幾何時會得到的一些新奇東西。

幾何與弦論

弦論是我們目前所知的能統一引力和量子力學的一個最好的假說理論。弦論的基本概念表面上看起來有些愚蠢：它說在最基礎的層面，如果你深深的看入每一個粒子，你將會看到一個小小的振動的弦圈。目前，弦論尚無實驗證據支持。然而，弦論是一個很強大的數學框架。現在我們就拿這個框架來解釋一些幾何上的問題。我們依舊用之前用過的同樣策略，問這樣一個問題：一個在流形上運動的弦的能量譜是什麼樣的？

弦的行為。|圖片來源： Steuard Jensen, Alma College

讓我們回到圓的例子中。現在弦可以做兩件不同的事情。第一，弦可以形成一個小圈然後繞著圓運動。因為，從遠處看來，這個弦圈就是一個粒子，顯然此弦圈的能量譜應該跟粒子的能量譜一樣，即：。但是弦還可以做一些粒子做不到的事情：它可以拉伸自己。你可把弦想像成一條橡皮筋；拉伸需要能量，而如果一條弦繞著圓繞了m圈，它將會擁有的能量。這說明繞圓運動的弦的能量譜包含了兩個數字塔：

這兒有一件非常有意思的事。如果我們把R和1/2πR互相代換（如下面式子所示），這一系列能量譜將會保持不變。

這說明，如果你得到的只是一個能量譜，你根本無法判斷這個流形圓是一個半徑為R的大圓還是一個半徑為1/2πR的小圓。從弦的視角來看，這兩個圓看起來一模一樣！當然，我們此處只是討論了弦的能量譜，但其實弦的所有屬性都是可以遵循上面式子中的交換而保持不變的。弦真的是不能區分大圓和小圓的。這是一個美麗的事實，它的名字卻非常樸實無華：T 對偶（T-duality）。

弦的迷惑不僅存在於圓這個簡單的例子中，也延伸到了其他的流形中。粗略的說，流形總是成對存在的。雖然從粒子的角度來看，這樣一對中的兩個流形是非常不同的，從弦的角度看來，這一對中的倆流形可是一模一樣的。（此結論對於一類特殊的叫做卡拉比-丘的流形是絕對正確的，而對於其他的流形還有一個稍微擴展的版本）。但是這兩個流形之間的關係並不是如大圓小圓那種簡單關係。相反的，這兩個流形第一眼看上去並不相關。大部分時候，它們甚至連拓撲性（即流形上的洞的數量，如甜甜圈有一個洞）都不同。

這種流形之間的成對性叫做鏡面對稱（mirror symmetry）。弦不能區分這兩個流形其實反而是弦的一大優點。首先，我們知道流形之間存在非常奇怪且難以預測的關係。而且，數學家們通常可以對其中一個流形有很多話說，卻對另外一個無話可說。然而，依照弦論，這兩個流形是一樣的；你只是需要用一個正確的方式去看它們。關於第一個流形的任一（可以回答的）問題都可以告訴你關於另一個流形的一些有趣的事。（嚴格來說，所有關於第一個流形的復幾何學領域的問題都可以轉化為關於另一個流形的辛幾何學領域的問題）。由此，鏡面對稱可以變成一個強大的工具讓我們通過研究配偶流形的方法來探索我們以前不理解的一些流形。

鏡面對稱是25年前發現的。那時候，鏡面對稱成為幾何中最火熱的研究領域之一，吸引了大批數學家和物理學家。我們需要承認，數學和物理的研究方式有所不同。物理學家傾向於不死磕嚴密性上，而是更依賴於一些直觀景象來理解大自然該怎樣在一個推測的基礎之上建立另一個推測。當然，數學家們在一個推測得到嚴格證明前是不會滿足的。鏡面對稱是少有的但是數量正在增長的數學家和物理學家手拉手探索同一個問題的領域之一。這種友好合作關係給數學界和物理界都帶來了繁榮。

本文經理論物理學家David Tong教授授權翻譯轉載，

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