歐拉36軍官問題
《數與形》，解密數學的歷史。
歐拉36軍官問題
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36軍官問題是數學家歐拉在1779年提出的，原題大意為：從不同的6個軍團各選6種不同軍銜的6名軍官共36人，排成一個6行6列的方隊，使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍團而且軍銜各不相同，應如何排這個方隊？如果用（1,1）表示來自第一個軍團具有第一種軍銜的軍官，用（1,2）表示來自第一個軍團具有第二種軍銜的軍官……用（6,6）表示來自第六個軍團具有第六種軍銜的軍官，則歐拉的問題就是如何將這36個數對排成方陣，使得每行每列的數無論從第一個數看還是從第二個數看，都恰好是由1,2,3,4,5，6組成的。歷史上稱這個問題為36軍官問題，歐拉本人沒有解決這一問題。事實上，如果團隊和軍銜分別都用數字1,2,3,4,5，6表示，假定有解存在的話，表示團隊和表示軍銜的數字分別構成拉丁方，而這兩個拉丁方正交。因此，36軍官問題的實質就是6階正交拉丁方的存在性問題。後人稱兩個正交的拉丁方形成的方陣為歐拉方陣。
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36軍官問題提出後，很長一段時間沒有得到解決，直到1901年法國人塔里才用窮舉法證明了6階歐拉方陣不存在，得到歐拉36軍官問題的否定解答。很容易將36軍官問題中的軍團數和軍銜數推廣到一般的n的情況，1782年歐拉提出一個猜想：對任何非負整數t,n=4t+2階歐拉方陣不存在。t=1時，就是36軍官問題。20世紀中期，數學家玻色、史里克漢德和帕克成功地構造出了22階（t=5）和10階（t=2）歐拉方陣，從而推翻了歐拉猜想。1960年，數學家們徹底解決了這個問題，證明了n=4t+2(t≥2）階歐拉方陣都是存在的。
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近年來，數學家們又將這一問題擴展到三維情形，1982年阿金等三位數學家構造了一個6階拉丁3維立方體，第一次證明了疊合三個6階拉丁方是可能的，從而在三維里解決了歐拉36軍官問題。拉丁方和歐拉方陣在正交試驗法上有重要應用也是數學遊戲中長久不衰的趣題來源之一。
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