當均值-CVaR模型遇上現實約束

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引言

模型介紹

1.均值-CVaR模型

均值-CVaR模型是由Artzner(1997)提出的，它是基於一致性風險度量的組合投資決策模型，彌補了VaR風險度量的缺點。CVaR是指在一定的置信水平β=100（1-α）%下，損失超過VaR的條件期望，即：

式中f(ω,l)是與組合投資權重ω相關的損失函數。由此可知CVaR的值大於VaR的值，它是一個更為保守的風險測度。若考慮收益的分布，則需要計算其左尾的條件期望，定義CVaR:

因此，均值-CVaR模型可表示為如下形式：

該模型的求解可採用帶有約束條件的優化方法（註：下文實證部分會給出關於權重的各種約束，而不僅是非負約束）

2.模型的求解方法

由於CVaR的定義中包含了VaR，因此均值-CVaR求解過程比較困難。為此，我們可以構建輔助函數：

式中，[z]+=max表示z的正部。可以證明，（1）輔助函數是關於的凸函數；（2）VaR為輔助函數的最小值點；（3）CVaR為輔助函數的最小值，這一結果表明，在最優化均值-CVaR模型中，不僅能夠得到最優的CVaR結果，而且可以得到一個「副品」VaR。

一般地，很難得到聯合密度函數p（r）。可以通過實際樣本觀測：r1，r2，…rs，使用經驗分布函數對Fα（w，r）近似，即：

式中S為樣本量。

實證模型分析

1.數據簡要說明

下面就上述配置模型進行分析。我們選取各種策略下的月度指數進行簡要的實證分析，數據區間是：2014年1月到2017年8月，配置資產總數是14。以下資產配置權重均是不允許賣空的情況下計算的結果。

2.實證結果

2.1Mean-CVaR模型資產配置權重及有效前沿（不允許賣空）

（1）均值-CVaR框架下的等權重資產組合

從圖1、圖2的結果可以看出：在等權重資產組合下，股票多頭、股票多空、事件驅動策略下的資產所承擔的協方差風險較大，分別達到：18.86%，11.26%，16.35%；中證基金、南華商品、債券策略所承擔的協方差風險較小，最多的也只佔1.15%。

（2）給定收益下最低條件風險價值的資產組合（本文給定收益為等權重資產組合收益均值）

圖3結果看以看出：在給定收益的均值-CVaR模型下，最小化風險資產組合配置的主要是中證全債和債券策略資產，二者權重之和約佔88%，而南華商品、管理期貨、滬深300策略資產的權重就很小，這充分體現了模型追求最小條件風險價值的目標。另外，結合圖3和圖4，結果表明：中證全債權重雖然較高，但承擔的協方差風險卻很小，只貢獻了8.74%，債券策略、管理期貨及滬深300的風險佔比相對於權重佔比更高。

（3）計算最大收益風險比率資產組合

從圖5、圖6的結果可以看出：配置的主要是中證全債和債券策略下的資產，兩者權重之和佔到了約83%，滬深300和管理期貨的資產權重佔比相對較小，約為17% 。由於目標是最大化收益與條件風險價值比率，所以是在收益和風險之間的權衡，通過改變資產配比，儘可能使得收益增加的比例大於風險增加的比例。從協方差風險預算佔比可以看出，中證全債的權重佔比與承擔的協方差風險顯然不成比例，雖然其權重佔到35.87%，但其承擔的風險只有0.94%，這充分反映出中證全債的資產風險極低的特徵，管理期貨恰好和中證全債相反，其權重佔比小，但承擔的風險貢獻卻佔到了38.90%，而債券策略和滬深300資產權重佔比和風險貢獻大致相當。

2.2各種約束下Mean-CVaR模型資產組合的配置權重及有效前沿

（1）施加賣空限制下的資產組合權重及有效前沿

從圖7結果可看出：當目標收益率比較高時，配置的主要是管理期貨和滬深300的資產，而當目標收益率比較低時，配置的主要是南華商品和中證全債;圖8的有效前沿可以看出中證全債、債券策略、管理期貨策略下的資產是相對有效的資產組合，而股票多頭、事件驅動策略下的資產組合距離有效前沿較遠，配置這類策略的資產不夠理性。

（2）施加盒型約束的資產組合權重及有效前沿（本文設各資產最小權重為0.05,但不能超過0.5）

圖9的結果表明：（1）當目標收益率變化時，多數策略資產配置的權重變化較小，權重隨目標收益率變化較大的主要是滬深300和管理期貨；當對每個資產的權重施加相同盒型約束時，資產的配置權重相對較均勻。（2）由圖10可知，盒型約束下有效前沿和切線組合幾乎重合，中證全債、債券策略及相對價值的策略資產組合更加接近有效前沿，它們相對於其他策略資產組合更加有效，股票多頭、事件驅動策略資產組合仍然相對於其他組合不夠有效。

（3）施加組約束的資產組合權重及有效前沿（本文設債券策略、中證全債的資產最小權重之和為0.3,股票多頭、股票多空的資產最大權重之和不超過0.5）

圖11的結果看以看出：當目標收益率較低時，配置的主要是中證全債資產，而當目標收益率較高時配置的則主要是管理期貨和債券策略下的資產。另外，我們可以看到，無論目標收益率較高還是較低，債券策略和中證全債的權重之和都不是很小，這是所施加的約束條件的結果，而股票多頭、股票多空策略資產配比都很小。圖12的結果可以看出中證全債、債券策略、相對價值的資產組合相對更加有效，股票多頭、事件驅動策略資產仍然遠離有效資產組合。

結語

考慮到馬科維茨資產配置模型目標函數中方差度量的缺陷，文章基於均值-CVaR框架，對資產權重施加各種約束條件來進行組合配置。結果表明：無論施加何種約束，債券策略和中證全債策略資產相對於其他策略資產都更加接近有效前沿，而股票多頭、事件驅動策略資產組合相對不夠有效，這充分體現了模型的目標或特徵，即追求最小化條件風險價值。另外，可以看到不同約束下，資產組合的有效前沿存在差異，盒約束的有效前沿斜率較小，其單位條件風險價值帶來的收益較低。

以上是均值-CVaR框架下的資產配置相關問題的探討，後續私募雲通將繼續展開Black-Litterman及風險平價模型的相關問題的探討，敬請期待！

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