第323期 取整算式

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 323

取整算式

當自然數 n 依次取 1，2，3，…，2017時，算式

有多少個不同的值？

（註：[x] 為取整函數，表示不超過 x 的最大自然數，即 x 的整數部分）

★ 右下角寫留言開始答題，鼓勵大家把思考的過程寫出來。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 322

求a,b,c

已知正整數 a，b，c 滿足 1

分析與解答

答案：符合要求的只有a=27，b=36，c=48一組解。

題友解答精選

題友@易小龍的解答：

a,b,c構成等比數列，由於a,b,c都是整數，公比只能是有理數，設公比是p/q（p>q>0，p，q為整數且互質）。b=ap/q，c=ap2/q2，顯然 a 可以被 q2 整除，所以設 a=xq2。於是x(p2+pq+q2)=111=3×37。

若x=1，p2+pq+q2=111，看成p的一元二次方程，Δ=q2-4q2+444=444-3q2=3(148-q2)，Δ是完全平方數，q=1,10,11，對應的p=10或-11,1或-11,-1或-10，只有q=1,p=10滿足p>q>0，此時x=1，a=1，矛盾捨去。

若x=3，p2+pq+q2=37，同理可得只有p=4，q=3滿足p>q>0，此時a=27，b=36，c=48。

若x=37,則p2+pq+q2=3，只能p=q=1，捨去。

若x=111，則p2+pq+q2=1，無解。

所以只有a=27,b=36,c=48一組解。

題友@Zhiqiang Zhang的解答：

根據條件，a+c=111-b(記為d), ac=b2，所以a和c是二次方程x2-dx+b2=0的兩個正整數根。 由已給條件知2

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