數學家的相親模式，你或許可以用到 | 張天蓉專欄

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相親犯難？

編者按：

蘇格拉底和柏拉圖的愛情觀被世人廣為流傳，但其中的哲學意味卻總會讓人有些摸不著頭腦，畢竟，並不是每一位平凡的下里巴人都能欣賞哲學家們的陽春白雪……

此次，我們奉上一則相親實用寶典，借「傻（數學）博士」相親的故事告訴你，如何從概率與統計的角度去相親！

嗯，首先你要找到100位相親對象……

撰文 | 張天蓉

 （美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

責編 | 呂浩然

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  概率論專欄

  
  

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2017-09-20 

 

喝醉的酒鬼會漫無目的地遊盪，花粉也會

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蘇格拉底和他的學生柏拉圖都是古希臘著名的哲學家。

一天，柏拉圖問蘇格拉底：什麼是愛情？蘇格拉底讓他到麥田走一趟，目標是要摘回一棵最大最好的麥穗，但只可以摘一次，並且不許回頭，路徑不能重複。柏拉圖本以為很容易，但最後卻空手而歸，原因是他在途中雖然看到很不錯的麥穗，卻總希望後面有更好的，最終致使他錯失所有的良機。蘇格拉底告訴他：這就是愛情！

之後又有一天，柏拉圖問蘇格拉底：什麼是婚姻？蘇格拉底讓他到樹林走一次，爭取帶回一根最好的樹材，照樣只採一次不許回頭。最後柏拉圖拖了一棵中等材質的樹枝回來——他接受了上次的教訓，走了半途之後看到「差不多」的樹就做決定了！蘇格拉底說：這就是婚姻。

兩位哲學家用麥穗問題來形象地比喻愛情與婚姻之間的不同：前者是錯過了的美好，後者是人生旅途中權衡之後的決擇。人文學者及公眾都為這段頗富哲理的名人小故事津津樂道，而數學家們卻從完全不同的、概率及統計的角度來解讀它。

數學家的「浪漫」

Romance

麥穗問題雖然很通俗，但卻與「隨機過程」有關：每棵麥穗的大小都可以看作是隨機的，因此，當柏拉圖在麥田中走一圈時，碰到一個又一個排成序列的隨機變數，這不就是一個隨機過程嗎？

加以數學抽象之後的麥穗問題，等效於概率及博弈論中著名的秘書問題

[1]

，它還有多種變換版本。下面我們用「傻博士相親」的故事來敘述它，並介紹如何將微積分的基本概念用於分析隨機過程。

且說幾年前留學人員中有一位外號「傻博士」的學者，他精通數學、小有成就，唯有一老大難問題尚未解決：已近40歲還沒有交上女朋友。於是，那年他奉母命回國相親，據說半個月之內來了100名佳麗應召。後來，這位傻博士經過嚴格的數學論證，採用了一種「最佳策略」，終於百里挑一，贏得美人歸！如今的他已是兒女一雙，全家其樂融融，在矽谷傳為佳話。

人們常說，有其父必有其子。對傻博士而言則可稱得上是「有其子必有其母」。在相親的過程中，傻博士母親開出的條件也頗為有趣：要求他在這15天之內，要對這100位佳麗一個一個地相親，每位佳麗只能見一次面，見面之後立即給出「不喜歡」或「喜歡」的答案。如果「不喜歡」，則以後再無機會與該女子相親；如果答案是「喜歡」，則意味著傻博士選中了這位女子，相親過程便到此結束。

看到這兒，你也許已經領會到這個「傻博士相親」與「麥穗問題」本質上是一致的。那麼，對於母親這種「見好就收，一錘定音」的要求，傻博士的「最佳策略」又是怎樣的呢？

既然說到「最佳」，應該用得上數學微積分中的最優化、求極值的技巧。我們首先看看，傻博士是如何建造這個問題的數學模型的。

首先，這看起來是個概率的問題。假設按照傻博士對女孩的標準，將100個女孩作了一個排行榜，從1到100編上號，「#1」是最好的，然後，「#2」、「#3」……當然，傻博士並不知道當時每一次相親的女孩是多少號。這些號碼隨機地分布在傻博士安排的另一個相親序列

（1、2、3、…r…i…n）

中，見圖1。傻博士的目的就是要尋找一種策略，使得這「一錘定音」定在「#1」的幾率最高。

設想一下，傻博士可以有好多種方法做這件事。比如說，他可以想得簡單一點：預先隨意認定一個數字r

（比如將r固定為20）

，當他面試到第r個人的時候，就定下來算了。這時候，因為r是100中挑出來的任意一個，所以，這個人是「#1」的幾率應該是1/100。這種簡單策略的幾率很小，傻博士覺得太吃虧。

再比如說，當他面試到第20個人時，如果看到的是個醜八怪

（或者瘋女子）

也就這麼定下來嗎？顯然這不是一個好辦法。那麼，將上面的方法做點修正吧：仍然選擇一個數字

（比如r=20）

，但這次的策略是：他從第20個人開始認真考察，將後面的面試者與前面面試過的所有人加以比較。這樣，如果傻博士覺得這第20個面試者比前面19個人都好，那便可以「見好就收」，否則，他將繼續面試第21個，將她與前面20人相比較；如果不如前面的，繼續面試第22個，將她與前面21人相比較……如此繼續下去，直到面試到比前面的面試者都要更好的人為止。

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圖1：傻博士相親的最佳策略

根據圖1所示可以總結出傻博士「最佳策略」的基本思想：對開始的

（r-1）

個面試者，答覆都是「不喜歡」，等於是「忽略」掉了這些佳麗；直到第r位佳麗開始，才認真考慮和比較，如果從r開始面試到第i個人的時候，覺得這是一個比前面的人都要更中意的，便答覆說「喜歡」，從而停止這場相親。

圖1中還標出了一個「臨時最佳者」，這和實際上隱藏著的排行榜中的「#1」可能是不同的。「臨時最佳者」指的是傻博士一個一個相親之後到達某個時刻所看到的最好的佳麗，是隨著傻博士已經面試過的人數的增加而變化的。

被「忽略」的選項

Ignore

這個「最佳策略」當中其實還有一個問題：對100位佳麗而言，到底前面應該「忽略」掉多少個人，才是最佳的呢？也就是說，對n個相親對象而言，r應該等於多少，才能使得最終被選定的那位佳麗是「#1」的幾率最大？

r太小了當然不好。如果令r=2，也就是只忽略第一個，如果第二個比第一個好的話，就定下了第二個，當然也可能繼續下去，但很有可能使你的決定下得太快了，似乎還沒有真正開始相親，就草草結束了；r太大顯然也不行。如果令r=99，則忽略的人數將會太多，「#1」 被忽略掉的可能性也非常大。結果是相了這麼多人，傻博士累得半死，選中「#1」的幾率只是大約2/100而已。

也許，應該忽略掉一半，從中點開始考察？也許，r應符合黃金分割原則：0.618？也許與另外某個知名的數學常數

（π或e）

有關？然而，這都是一些缺乏論據的主觀猜測，傻博士是數學家，還是讓數學來說話吧。

我們首先粗糙地考察一下，如果使用這種方法，對某個給定的r，應該如何估算最後選中「#1」的幾率P(r)。

對於給定的r，忽略了前面的r-1位佳麗之後，從第r個到第n個佳麗都有被選中的可能性。因此，在圖1下方的公式中，這個總概率P(r)被表示成所有的P(i)之和。其中，i是在r到n之間逐一變化的，而P(i)則是選中第i位佳麗的可能性

（概率）

乘以這個佳麗是「#1」的可能性。

選中第i位佳麗的可能性是多少？取決於第i位佳麗被選中的條件，即當且僅當第i位佳麗比前面i-1位都要更好，而且前面的人尚未被選中的情形下才會發生。也可以說，第i位佳麗被選中即表示當且僅當第i位佳麗比之前的「臨時最佳者」更好，並且這個臨時最佳者是在最開始被忽略的r-1位佳麗之中。因為如果這個臨時最佳者是在從r到i之間的話，她面試後就應該被選中了，然後就停止了整個相親過程，不會進行到第i位佳麗。

此外，第i位佳麗是「#1」的可能性又是多少？實際上，按照等概率原理，每位佳麗是「#1」的可能性是一樣的，都是1/n。因此根據上面的分析，我們便得到了圖1所示的選中「#1」的概率公式。

從公式可知，傻博士選中「#1」的概率是對「忽略點」r的函數。讀者不妨試試在公式中代入不同的n及不同r的數值，可以得到相應情況下的Pn(r)。比如說，我們前面所舉的當n=100時候的兩種情形：P100(2)大約等於6/100；P100 (99)大約等於2/100。

應該「卡」住多少位佳麗？

How many

下面問題就是要解決：r取什麼數值，才能使得Pn (r)最大？如果我們按照圖1的公式可以計算出當n=100時，不同r所對應的概率數值，比如令r分別為2、8、12、22……等等，將計算結果畫在Pn (r)圖上，如圖2a所示。我們可以將這些離散點連接起來成為一條連續曲線，然後估計出最大值出現在哪一個r點。這是求得P(r)最大值的一種實驗方法。

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圖2：相親問題中n=100時的概率曲線

然而，我們更感興趣從理論上分析更為一般的問題，那就要用到微積分了。在普通微積分里，最基本的理論基礎是「收斂」和「極限」的概念，所有其它的概念都是基於這兩個基本概念的。對於隨機過程的微積分，在數學家們建立了基於實分析和測度論的概率論體系之後，就可以像當初發展普通微積分那樣先建立「收斂」和「極限」這兩個概念。

與普通數學分析不同的是，現在我們打交道的是隨機變數，比之前普通的變數要複雜得多，相應建立起來的「收斂」和「極限」的概念也要複雜得多。

在隨機微積分中的積分變數是隨機過程（比如說無規行走）。無規行走是針對時間的一個函數，但是卻有一個特殊的性質：處處連續但處處不可導。正是這個特殊的性質使得隨機微積分與普通微積分大不相同。

隨機微積分一般都既牽涉到普通變數時間t，又牽涉到隨機變數W(t)。所以，進行隨機微積分時，如果碰到跟t有關的部分就用普通微積分的法則，而碰到跟W(t)有關的部分時就使用隨機微積分的法則。

落實到傻博士相親問題上，首先，我們需要想辦法將Pn (r)變成r的連續函數，因為只有對連續函數，才能應用微積分。為了達到這個目的，我們分別用連續變數x=r/n、t=i/n來替代原來公式中的離散變數r和i。此外，最好使研究的問題與n無關。因此，我們考慮n比較大的情形。n趨近於無窮大時，1/n是無窮小量，可用微分量dt表示，而公式中的求和則用積分代替。如此一來，圖1中P(r)的表達式對應於連續函數P(x)：

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公式（1）

圖2b顯示的是連續函數P(x) = - x ln x的曲線，此處的log和ln都表示自然對數，即以歐拉常數e

（約為0.5772）

為基底的對數函數。圖中可見，函數在位於x等於0.4左右的地方，有一個極大值。

從微積分學的角度看，極大值所在的點，是函數的導數為零的點，函數在這個點具有水平的切線。但是導數為零，不一定對應的都是函數的極大值，而是有三種不同的情況：極大、極小及駐點。用該點二階導數的符號，可以區別這三種情形，見圖3。

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圖3：函數的極值處導數為零

所以，令公式（1）對x的導數為零，便能得到函數的極值點：x =1/e = 0.36。這個點概率函數P(x)的值也等於1/e，大約為0.36。

將上面的數值用於傻博士的相親問題。當n=100的時候，得到r=36。也就是說，在傻博士的相親過程中，他首先應忽略前面的35位佳麗。然後，從第36位佳麗開始，便要開始認真比較啦，只要看見第一個優於前面所有人的面試者，便選定她！利用這樣的策略，傻博士選到「#1」的可能性是36%，大於三分之一。這個幾率比起前面所舉的幾種情況的概率：1/100、6/100等要大的多。

換一種思路

Two choices

相親問題的策略還可以因不同情況有不同的修改。比如說，也許傻博士會換另一種思路考慮這個問題：為什麼一定只考慮「#1」的概率呢？實際上，「#2」也不一定比「#1」差多少啊！於是，他便將他原來的方法進行了一點點修改。

他一開始的策略和原來一樣，首先忽略掉r-1個應試者。然後從第r個應試者開始考察、比較、挑選，等候出現比之前應試者都好的「臨時第一名」。不過，在第r個人之後，如果這個「臨時第一名」久不露面的話，傻博士便設置了另外一個數字s，即從第s個應試者開始，既考慮「#1」，也考慮「#2」。

我們仍然可以使用與選擇第一佳麗的策略時所用的類似的分析方法，首先推導出用此策略選出「#1」或「#2」的離散形式的概率P(r,s) 

[2]

。這時候的概率是兩個變數r和s的函數。然後，再利用之前的方法，將這個概率函數寫成一個兩個變數的連續函數。為此，我們假設從離散變數r、s到連續變數x、y的變換公式為：

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公式（2）

然後，考慮n趨近於無窮大的情形，可以得到相應的連續概率函數為：

?

公式（3，上）與公式（4）

公式（3）是一個兩個變數的函數，其函數隨x和y的變化可用一個3維空間中的2維曲面表示，如圖4所示。這個函數的極值可以令P(x,y)對x和y的偏導數為0，見公式（4）。解出上面的方程便能得到這種新策略下相親問題的解：當x = 0.347，y = 0.667時，概率函數P(x,y)有極大值，等於0.574。

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圖4：2維概率分布函數

將上面的數值應用到傻博士相親的具體情況，即n=100時，可以得到r=35，s=67，以上的r和s是四捨五入的結果，因為它們必須是整數。因此，傻博士如果採取這種「選擇#1或#2」的策略，他成功的幾率大約是57%，比「僅選擇#1」的成功的幾率

（36%）

又高出了許多。

這個結果也充分體現了數學的威力！

參考文獻：

[1] Freeman, P.R. (1983). "The secretary problem and its extensions: A review".[J],  International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique. 51 (2): 189–206.

[2] S. M. Gusein-Zade, 「The problem of choice and the optimal stopping rule for a sequence of random trials」,  [J], Teor. Veroyatnost. i Primenen., 11:3 (1966), 534–537

製版編輯：呂浩然

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