第325期 方框填數

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 325

方框填數

把數2～9不重複地填入式式的方框內，使式子成立，問有幾種方法。

★ 右下角寫留言開始答題，鼓勵大家把思考的過程寫出來。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 324

是否存在質數？

數列381，3811，38111，381111，……是否存在質數？

分析與解答

答案：不存在質數。

利用分解質因數工具將數列前9個數分解如下：

381=3×127

3811=37×103

38111=23×1657

381111=3×127037

3811111=17×37×73×83

通過觀察分析發現，數列中的數的整除性與1的個數有關，並且呈周期性規律。如果用an表示這個數列，那麼n恰好是an中1的個數。我們作如下猜想：

當n=3k+1(k=0,1,2,…)時，3 | an；

當n=3k+2(k=0,1,2,…)時，37 | an；

當n=3k(k=1,2,3,…)時，233…3 | an，其中有k個3。

下面一一來證明。

當n=3k+1(k=0,1,2,…)時。

an的各位數字之和為 3+8+3k+1=3k+12 是3的倍數，所以 an也是3的倍數。

當n=3k+2(k=0,1,2,…)時。

由於3811=37×103，111=37×3，即 3811和111都能被37整除。所以 an也能被37整除。

當n=3k(k=1,2,3,…)時。

（註：以上省加略號中9和3的個數為k）

綜上可知，數列中不存在質數。

- END -

好玩的數學

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