你完全可以理解量子信息（7）

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導讀

沒有人知道量子糾纏的機制？這是個常見的誤解。其實量子糾纏是一個被理論預言然後確實觀察到了的現象，而不是意外的實驗發現，所以，科學家怎麼可能不知道它的機制呢？量子糾纏的機制就是：疊加原理，測量時的突變，以及直積態和糾纏態的區別。

（前四篇見：你完全可以理解量子信息（1） | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息（6） | 袁嵐峰）

七、第三大奧義：糾纏

前面說的都只是一個量子比特的體系，已經有這麼多不可思議之處。多個量子比特的體系，可想而知會更加奇怪。這就引出了「量子糾纏」現象，——你聽說過這個詞，對不對？

量子糾纏在許多文章中被傳得神乎其神，幾乎成了心靈感應、神秘主義的代名詞。但其實量子糾纏是一個有明確定義的概念，是一種被量子力學預言必然出現也早就觀測到了的現象。它的物理原理很清楚，絕大部分神秘感都是被故弄玄虛的媒體強加上去的。看了下面的解釋，你就明白它實際上是什麼了。

我們先來看一個數學問題。拿出一個二元函數F(x, y)，你來試著把它寫成一個關於x的函數f(x)與一個關於y的函數g(y)的乘積，也就是說，尋找f(x)和g(y)，使得F(x, y)= f(x) g(y)。如果可以，我們就說F(x, y)是可以「分離變數」的。如果不行，我們就說它不能分離變數。同樣的定義可以推廣到二元以上的函數，例如F(x, y, z) 是否可以寫成f(x) g(y) u(z)，就是這個三元函數能不能分離變數。

顯然，有些二元函數是可以分離變數的。例如F(x, y) = xy，你取f(x) = x和g(y) = y就可以了。（這是道送分題！）又如F(x, y) = xy + x + y+ 1，仔細看看你就會發現它等於(x + 1) (y + 1)，所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。

然而，如果F(x, y) = xy + 1呢？這時你就會發現，無論如何也不能把它表示成f(x)g(y)。

對此可以用反證法證明如下：假設F(x, y) = f(x) g(y)，那麼對y取兩個值y1和y2時，F(x, y1) = f(x) g(y1)，F(x,y2) = f(x) g(y2)。這兩個式子相除，就會把f(x)消掉，得到F(x, y1) / F(x, y2) = g(y1) / g(y2)。等式的右邊g(y1) / g(y2)是一個與x無關的數，因此等式的左邊F(x, y1) / F(x, y2)也必須是個與x無關的數。可是對於F(x, y) = xy + 1，設y1= 0，得到F(x, y1) = 1，設y2= 1，得到F(x, y2) = x+ 1。兩者相除得到F(x, y1) / F(x, y2) = 1/ (x + 1)，跟x有關。因此初始的假設不對，F(x,y) = xy + 1不能分離變數。

有了以上的數學準備，我們就可以解釋量子糾纏是什麼了。

在量子力學中，體系的狀態（沒錯，就是前面說的態矢量）可以用一個函數來表示，稱為「態函數」（是的，你既可以把它理解為一個函數，也可以把它理解為一個矢量，兩者不矛盾，怎麼方便怎麼來）。單粒子體系的態函數是一元函數，多粒子體系的態函數是多元函數。如果這個多元函數可以分離變數，也就是可以寫成多個一元函數直接的乘積，我們就把它稱為「直積態」。如果它不能分離變數，我們就把它稱為「糾纏態」。

直積態和糾纏態的區分為什麼重要？我們舉些例子來說明。

在量子力學中，我們常常用類似|00>的狄拉克符號來表示兩粒子體系的狀態，其中第一個符號表示粒子1所處的狀態，第二個符號表示粒子2所處的狀態，|00>就表示兩個粒子都處於自己的|0>態。同理，|01>表示粒子1處於自己的|0>態、粒子2處於自己的|1>態，|11>表示兩個粒子都處於自己的|1>態，如此等等。

這些狀態都是直積態，體系整體的二元態函數就是兩個粒子各自的一元態函數的乘積。對於直積態，你在測量粒子1的時候，不會影響粒子2的狀態，所以你可以說「粒子1處於某某狀態，粒子2處於某某狀態」。這就是分離變數的結果。

下面我們來考慮這樣一個狀態：|β00>= (|00> + |11>)/√2，它是|00>和|11>的一個疊加態（是的，疊加原理對多粒子體系也成立）。這個態是不是直積態呢？也就是說，(|00> + |11>)/√2能不能寫成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)（前一個括弧中是粒子1的狀態，後一個括弧中是粒子2的狀態）？

你立刻就會發現，不能。假如可以的話，因為這個狀態中不包含|01>，所以ad = 0，於是a和d中至少有一個等於0。但是如果a = 0，|00>就不會出現；而如果d = 0，|11>又不會出現。無論如何都自相矛盾，所以假設錯誤，|β00>不是直積態，而是糾纏態，不能分離變數。這就意味著，不能用「粒子1處於某某狀態，粒子2處於某某狀態」這樣的語言來描述|β00>，你只能說這個體系整體處於|β00>狀態。

真正驚人的事情，發生在對|β00>做測量的時候。你對它測量粒子1的狀態，會以一半的概率使整個體系變成|00>，此時兩個粒子都處於自己的|0>；以一半的概率使整個體系變成|11>，此時兩個粒子都處於自己的|1>。你無法預測單次測量的結果，但你可以確定，粒子1變成什麼，粒子2也就同時變成了什麼。兩者總是同步變化的。好比成龍的電影《雙龍會》中有心靈感應的雙胞胎，一個做了某個動作，另一個無論相距多遠都會做同樣的動作。

成龍《雙龍會》

在許多科普文章中，也經常用另一個態(|01> + |10>)/√2作例子，我們可以把它記為|β01>。這個態的特點是，你對它測量粒子1的狀態，會以一半的概率發現粒子1處於|0>，粒子2處於|1>，另一半概率發現粒子1處於|1>，粒子2處於|0>。你無法預測單次測量的結果，但你可以確定，粒子1變成什麼，粒子2就同時變成了相反的狀態。下面的漫畫表現的就是這個態。

量子力學中的「糾纏」

有趣的是，糾纏這個重要的量子力學現象，是由幾位反對量子力學的科學家提出的，而且其中的「帶頭大哥」就是愛因斯坦！

《天龍八部》帶頭大哥

如前所述，愛因斯坦是量子力學早期的奠基人之一。實際上，他得諾貝爾獎不是因為提出相對論，而是因為提出光量子（即光子）理論（這是諾貝爾獎委員會做過的最搞笑的事情之一）。但隨著量子力學的發展，愛因斯坦對量子力學的許多特性產生了深深的懷疑。

他認為每個粒子在測量之前都應該處於某個確定的狀態，而不是等到測量之後，否則就不能叫做「物理實在」。愛因斯坦的一個經典問題是：「你是否相信，月亮只有在我們看它的時候才存在？」

1935年，愛因斯坦（Albert Einstein）、波多爾斯基（Boris Podolsky）和羅森（Nathan Rosen）提出了一個思想實驗，後人用他們姓的首字母把他們三人合稱為EPR。先讓兩個粒子處於|β00>態，這樣一對粒子稱為「EPR對」。把這兩個粒子在空間上分開很遠，可以任意的遠。然後測量粒子1。如果你測得粒子1在|0>，那麼你立刻就知道了粒子2現在也在|0>。

EPR問：既然兩個粒子已經離得非常遠了，粒子2是怎麼知道粒子1發生了變化，然後發生相應的變化的？EPR認為兩個粒子之間出現了「鬼魅般的超距作用」，信息傳遞的速度超過光速，違反了狹義相對論。所以，量子力學肯定有毛病。

這是個深邃的問題，量子力學的另一位奠基人玻爾為此跟愛因斯坦進行過激烈的辯論。玻爾的回答是：處於糾纏態的兩個粒子是一個整體，絕不能把它們看作彼此獨立無關的，無論它們相距有多遠。當你對粒子1進行測量的時候，兩者是同時發生變化的，並不是粒子1變了之後傳一個信息給粒子2，粒子2再變化。所以這裡沒有發生信息的傳遞，並不違反相對論。

玻爾與愛因斯坦

仔細想一想，你就會明白EPR實驗沒有傳輸信息。如果A希望把一比特的信息「0」或「1」傳給遠處的B，那麼雙方需要事先約定好如何表示這個信息，比如說A想傳「0」時就讓B測得粒子2處於|0>，A想傳「1」時就讓B測得粒子2處於|1>。假如A能控制測量的結果，比如說這次A一定會讓粒子1處於|0>，那麼A同時就讓粒子2處於了|0>，A確實就給B傳了一個「0」。

但是，量子力學的精髓恰恰在於測量的結果是隨機的，你不能控制，所以EPR實驗不能這麼用。A測量粒子1得到的是一個隨機數，B測量粒子2得到的也是一個隨機數，只不過這兩個隨機數必然相等而已。你想傳一個比特，可是EPR對完全不聽你指揮，所以你傳不了任何信息。既然沒傳輸信息，當然就不違反狹義相對論了。

在愛因斯坦和玻爾的時代，人們只能對EPR問題進行哲學辯論（這是好聽的說法，說得通俗一點就是「打口水仗」），無法通過實驗做出判斷。1964年，貝爾（John S. Bell）指出，可以設計一種現實可行的實驗，把雙方的矛盾明確表現出來。對兩粒子體系測量某些物理量之間的關聯程度，如果按照EPR的觀點，這些物理量在測量之前就有確定的值，那麼這個關聯必然小於等於2；而按照量子力學，這個關聯等於2√2，大於2。這個「關聯小於等於2」的不等式叫做貝爾不等式，而量子力學不滿足貝爾不等式。

漫畫：貝爾不等式

從1980年代開始，阿斯佩克特（Alain Aspect）等一系列的研究組在越來越高的精度下做了實驗，結果都是在很高的置信度下違反貝爾不等式，量子力學贏了。EPR的思想實驗最初是用來批駁量子力學的，結果卻證實了量子力學的正確！

類似的故事在科學史上也常有。十九世紀的時候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主張光是粒子，菲涅耳（Augustin-JeanFresnel）主張光是波動，兩個陣營打得不可開交。1818年，菲涅耳計算了圓孔、圓板等形狀的障礙物產生的衍射花紋。泊松指出，按照菲涅耳的理論，在不透明圓板的正後方中央會出現一個亮點。從常識來看，不應該是暗的嗎？於是泊松宣稱波動說推出了荒謬的結果，已經被駁倒了。

但是菲涅耳和阿拉果（Dominique F. J. Arago）立即做實驗，結果顯示那裡真的有一個亮斑（學過光學的同學能夠理解，這是因為所有到達那裡的衍射光都經過同樣的路程，發生同相的疊加，互相加強）。於是波動說大獲全勝，粒子說被打入冷宮（1905年被愛因斯坦復活了，這就是他得諾貝爾獎的原因）。後人很有幽默意味地把這個亮點稱為泊松亮斑。這正應了尼採的話：「殺不死我的，使我更強大！」

泊松亮斑

EPR現象既然是一個真實的效應，而不是愛因斯坦等人以為的悖論，人們就想到利用它。現在，EPR對是量子信息中一個非常有力的工具。對此我們只能說，偉人連錯誤都是很有啟發性的！就像《大話西遊》中的名言：跑都跑得那麼帥~

《大話西遊》紫霞仙子：跑都跑得那麼帥，我真幸福

現在科學家們認為，糾纏是一種新的基本資源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的資源相比。不過目前還沒有描述糾纏現象的完整的理論，人們對這種資源的理解還遠不夠深入。有人把糾纏比喻為「青銅時代的鐵」，它可能會在下一個歷史時代大放異彩。

對量子糾纏的種種誤解，經常出現在各種半吊子「科普」文章或者裝神弄鬼的文章中。這裡來稍稍解釋一下。

最經常見到的誤解是：量子糾纏是個非常神奇的現象，沒有人知道它的機制是什麼。

實際情況是：量子糾纏的機制就是上面說的這些，疊加原理，測量時的突變，直積態和糾纏態的區別。其實量子糾纏是一個被理論預言然後確實觀察到了的現象，而不是意外的實驗發現，所以，科學家怎麼可能不知道它的機制呢？

如果你覺得這些不像個「機制」，那麼請你想想，2 + 3 = 5的機制又是什麼？我們只能說，2 + 3 = 5是自然數理論的必然推論，自然數理論就是它的機制。量子糾纏現象就是量子力學原理的必然推論，你不可能把量子力學之外的東西搞成它的機制。

經常有人腦洞大開地提議，量子糾纏的機制是，兩個相距遙遠的粒子在高維空間里連在一起，或者說它們的「內部距離」為零，我們平時看到的三維空間是高維空間的投影。這種說法看起來很機智，實際上沒有什麼用處。因為它完全是為了解釋量子糾纏這一個現象而提出來的，而且只是定性解釋，不能給出任何定量預測，也不能用到任何別的現象上。這只是一種語言遊戲而已。

就像有的原始人看到飛機飛行覺得很神奇，造個理論說有一隻大鳥的魂靈在這鐵鳥裡面托著它飛，在其他原始人看來好像很有道理，在內行看來卻是多此一舉。真要想理解飛機的原理，你就必須學空氣動力學。同樣，真要想理解量子糾纏的原理，你就必須學量子力學，舍此別無他途。

還有一種常見的誤解，是以為任何兩個粒子都會橫跨整個宇宙同步變化。實際情況是，只有處於糾纏態的兩個粒子才會這樣。這是一個需要條件的現象，不是無條件的，而且在實驗上精確製備這種條件還很不容易。

量子糾纏是一種多粒子體系的現象，而粒子越多，操縱起來當然就越困難。所以你會不時地看到這樣的新聞：中國科學技術大學潘建偉團隊實現了x個光子的糾纏態，刷新了以前同一研究組創造的y個光子糾纏的世界紀錄。最新的x = 10，y = 8，這是2016年12月的消息。多次打破世界紀錄的撐桿跳高名將布勃卡和牙買加飛人博爾特，就是這個feel！

十光子糾纏

最大而無當的誤解，是以為量子糾纏證明了某種神秘主義的哲學或宗教，大發一通包羅萬象、鬼話連篇的議論。實際情況是，量子糾纏是個原理很清楚的物理現象。你要拿它來討論哲學或宗教，至少也該先搞清楚它是什麼！

（未完待續）

背景簡介：本文作者為袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室副研究員，科技與戰略風雲學會會長，微博@中科大胡不歸，知乎@袁嵐峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。本文應新浪科技之邀，2017年8月31日以《| 4萬字乾貨！你完全可以理解量子信息》為題發表於新浪科技「科學大家」欄目（http://tech.sina.com.cn/d/2017-08-31/doc-ifykpysa2199081.shtml）。

致謝：感謝中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室陳宇翱教授、陳騰雲博士、彭新華教授、陸朝陽教授、張強教授、張文卓博士和清華大學交叉信息研究院尹璋琦博士、物理系王向斌教授在科學內容方面的指教。

責任編輯：孫遠

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