談談如何運用放縮法證明不等式
（許興華數學/選編）
放縮法是指在證明不等式時，根據需要證明不等式的值適當的放大或縮小，使它化繁為簡，化難為易，從而達到證明的重要方法。
它是利用不等式的傳遞性，對照所證目標進行合情合理的放大或縮小的過程。
放縮法的合理運用，往往能收到事半功倍的效果，有時能令人拍案叫絕；但其缺點也是顯而易見，如果使用放縮法證題時沒有注意放和縮的「度」，容易造成不能同向傳遞了，即放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及，所以要熟練地駕馭它是件不容易的事。
筆者通過多年的教學實踐證明，若能堅持以下「四個有利於的原則」進行合理的放縮，則容易直達解題目標。
1
堅持放縮後有利於求出其和的原則
當所證明不等式的其中一邊是某一數列的前n項和，但其和不易求出時，則可以對其通項作合理的分析，通過適當的放大或縮小得到一個易於求出其和的新數列，再注意放大或縮小後的數列的前n項和與不等式的另一邊相銜接，從而使問題得到解決。
問題反思
這兩題是關於自然數的不等式，較常規的解法是選擇數學歸納法證明；若用數學歸納法證明本題，其過程會是個「馬拉松」式的工程。
而上述證法的基本思路是通過放縮後能有利於用「拆項消去法」、「同分母相加」來求出其和。就把無限和複雜的問題轉化為有限和簡單的問題了，自然比常規常規方法便捷了許多。比如說例1，本來運算複雜的問題,通過把每一項作恰當的放大，把一項拆成了兩項之差，再求解。
2
堅持放縮後有利於求出其積的原則
如證明不等式的其中一邊是某一數列的前n項乘積，但其積不易求出，則可對各項作適當的放大或縮小，使其積易於求出，並注意和不等式的另一邊的對話，往往能使問題得到解決。
問題反思
在上述證明中，通過引進Ａ的「對偶式」Ｂ,使其過程更加簡捷，把複雜的問題簡單化。當然本題也可用數學歸納法加以證明，若用歸納法證明，其複雜的程度可想而知。
3
堅持放縮後有利於減少變數的原則
若不等式的一邊為常數，另一邊是含有多個字母的代數式，則可把這個代數式看成是關於這些字母的多元函數，通過對多元函數的合理放縮，逐步減少變數，最終得到那個常數即可。
問題反思
事實上，上述解法的基本思路是先把α看成常數，求出關於β的函數的最小值，「解決」 β後，再求關於α的函數的最小值即可。
4
堅持放縮後有利於取到等號的原則
用放縮法證明不等式時，最不易把握的是放和縮的度，放得過大，縮得過小都會導致解題失敗，當不等式能取到等號時，則每一步的放和縮都不能和等號成立條件相矛盾，即等號成立條件可以看成是進行放縮的「導航儀」。
問題反思
在平時的數學活動中，特別是在證明不等式的時候，如果始終堅持科學辯證嚴謹的數學思想，始終把握好放與縮的「度」，它終會給我們帶來「柳暗花明又一村」的。
【來源】高中數學解題研究會。
TAG:許興華數學 |