賁友林：知識之外，數學還能加點什麼「元素」？

重新認識學生的數學學習

陶行知指出：「教」的法子要根據「學」的法子。學生是有自己學習數學的方式與特徵的，對學生數學學習的重新認識，不僅能促進教學行為的改善，「學」與「教」品質的提升，還能促進教師教學觀念的重建。

從「有」到「更有」

我們所面對的學生，並非是「一無所有」地走進課堂的，他們在生活中就已經有許多數學知識的體驗，而學校的數學學習則是他們生活中有關數學經驗的總結與升華。學生原有的知識儲備，以及在社會生活中所形成的關於數學的樸素認識，都構成了他們進行數學學習的「特定視界」，影響並制約著他們的數學學習。

數學學習，是學生從「有」走向「更有」的過程。通俗地理解，學習是一種變化，這樣的變化，表現為從「有」到「更有」。當然，什麼發生變化，發生怎樣的變化，這都是有標準的。

以三年級學生「認識長方形和正方形」的教學為例。在一年級，學生就已經直觀認識了長方形、正方形，還有不少學生在幼兒園就已經整體辨識了長方形和正方形。那麼，通過三年級的學習，他們「更有」什麼呢？學生的「認識」與這節課之前的「認識」有什麼發展呢？

在認識了長方形和正方形的特徵之後，我出示了下面的問題：下面的圖形中，哪些是長方形？哪些是正方形？

這樣的問題，在一年級，學生就能完成了。三年級再做這樣練習的不同之處在於要學生說清楚選擇的理由，而這恰恰要應用此時所認識的長方形和正方形的特徵作答。

在解釋的過程中，學生會初步感受到：要說它是長方形或正方形，必須看它是否符合長方形和正方形的所有特徵，而判斷它不是長方形或正方形，只要有一點特徵不符合，就可以做出判斷。由此，學生可看出「有」和「更有」的不同，從而使學生的學習過程與結果更有意義和價值。

從「感覺」到「認識」

台灣作家林清玄曾在文章中寫道：墾地播種，總是「花未發而草先萌，禾未綠而草先青」。為何？原來是草籽早在耕種前就已經存在。在學生學習新知的過程中，我們關注過他們原來頭腦中的「草籽」嗎？原有的「草籽」，能否生長成為「禾苗」呢？

「草籽」，其實也相當於學生學習新知前的「感覺」。學習，是需要感覺的。面對新知，如果學生對此一無所知，很容易在學習過程中產生「防禦性的反應」，而如果我們對所學內容有所接觸、有所感覺、有所知曉，且在我們的「最近發展區」之內，那接下來的學習將會充滿信心和動力。

以「圖形的放大與縮小」的教學為例。

在日常生活中，學生就已經積澱了有關「放大」和「縮小」的認識。基於此，教師要尊重學生的已知、已有，組織學生在敞亮「感覺」的過程中建構圖形「放大」和「縮小」的正確理解。

我在出示圖1之後，分別演示圖1「放大」成圖2、圖3、圖4。

我指出：「如果按照我們平時的想法，與圖1比，圖2、圖3、圖4這3幅圖都放大了。不過，3幅圖中，只有1幅圖符合數學意義上的放大。你認為是哪一幅呢？」

學生憑著自己的感覺，都認為是圖4，並且能解釋自己的感覺——放大時，長和寬放大的倍數應相等。

我接著出示圖1的尺寸（長3厘米，寬2厘米）和圖4的尺寸（長6厘米，寬4厘米）。學生用學過的「倍」的說法表達怎樣放大之後，我提出：「能用『比』表 達嗎？也就是說，圖1按照幾比幾放大成圖4？」

學生憑著自己的「感覺」，有的說「按1：2放大」，有的說「按 1：4 放大」。接下來，我就順其自然地引導學生閱讀、自學教科書了。

教學片段中同時對比呈現圖形的「拉伸」與「放大」，學生潛在的感覺（放大，長和寬都要放大）被明晰、強化。進而，我又以反例，以反襯正、以反激正，促進學生完善認識「放大時，長和寬放大的倍數應相等」。

在完成對「放大」的定性認識之後，我緊接著組織學生探討關於放大的定量刻畫。當談及「放大」和「縮小」時，我們一般認為把原圖邊長擴大2倍，即按1：2放大，或許還會像學生所說的面積擴大到原來的4倍，做出「1：4」的回答。而數學上的規定，恰恰是2：1。我先讓學生把「感覺」敞亮出來，繼而引發他們看書自學的內在需求，並在交流中去偽存真，實現概念替代。

學生的感覺，有的對，有的錯。但無論對與錯，都反映了學生真實的學習起點。數學學習，應在學生原有基礎上展開。

數學學習，是學生對數學的 「發現」

數學學習的過程，是學生對數學有所「發現」的過程。這裡的「發現」，是學生對前人已有定論的數學知識的習得，是對自身未知領域的「發現」。正如弗賴登塔爾所說，學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來。教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。

以「銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形」的教學為例。在沒有學習銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形之前，學生根據上述命名即可大致了解這三種圖形的含義。教學時，我設計了對學生更具有挑戰性的問題：如果將三角形按角進行分類，可以怎樣分類？能用圖表示嗎？

一位學生是這樣想的，如下：

在該學生展示交流之後，學生就等腰直角三角形展開討論並形成認識：等腰直角三角形是等腰三角形中一種特殊的情況，特殊在有一個角是直角；等腰直角三角形是直角三角形中一種特殊的情況，特殊在有兩條邊相等。

接著，我引導學生思考：等腰直角三角形和直角三角形是不是並列的關係？它們之間的關係和我們之前學習的什麼知識類似？在學生回答「垂直與相交」後，我在黑板上畫出下圖（如圖5），並提出問題：垂直與相交，如果用這裡的兩個圈表示它們之間的關係，大圈表示什麼？小圈呢？在學生回答後，我再組織學生思考：還是這兩個圈，如何表示等腰三角形與等腰直角三角形的關係？直角三角形與等腰直角三角形呢？由此來看，等腰直角三角形與銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形之間，是不是並列關係？

大多數學生回答「不是」，其中一位學生脫口而出：「包含關係。」我又問：「如果三角形按角分類，可以怎樣分類，它們之間的關係如何畫圖呢？」我展示一位學生畫的圖，如圖6（我了解了全班學生畫圖情況，發現沒有學生用集合圖的形式表示三角形的按角分類）。

這時，有學生質疑：「在大圈中，三個小圈的外面表示什麼呢？」接著，一位學生到黑板上畫出了圖8。

又有學生質疑：「這樣的圖，讓人感覺直角三角形、鈍角三角形都是特殊的銳角三角形。」最後，一位學生畫出了圖9。

至此，通過充分互動、相互啟發，學生髮現了如何用集合圖來表示三角形的按角分類。在這個過程中，學生也進一步認識與理解了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形以及它們之間的關係。

從上面的教學片段可以看出，學生的「發現」不是無厘頭，也不是空穴來風，而是有所準備的，既包括心理準備，又包括認知準備。準備的過程是學生積蓄想法、醞釀發現的過程。「過程」的價值，不但催生了學生的「發現」，而且學生觀察、比較、歸納、概括等能力都得到了發展。

發現不僅是一種方法，還是一種意識，主動獲取自身尚未知曉的知識的意識，更是一種能力，求己所未知的能力。學生數學學習的過程，就是在教師組織、引導下，學生積極發現，自主建構，實現再創造的過程。

延伸

為教育而歷史——帶學生走入數學史的重要意義

基於學生數學學習的需要，有必要將數學史融入數學教學中，這不僅會使教學變得有「意思」，也讓教學變得有「意義」，學生們將不僅僅停留在「知道」層面，更能感受數學形成的過程，體會人類認識世界、數學化地刻畫世界的過程，即在認識歷史的過程中理解數學。

這是「數學"嗎？」

「年、月、日」的教學目標一般為：通過觀察年曆表認識時間單位年、月、日，知道大月、小月、平年、閏年等方面的知識，記住每個月以及平年、閏年的天數。由上述教學目標可以看出「年、月、日」第一課時要學的內容。無疑，這是「數學」。不過，這是靜態的、結論性的數學知識。

現代的數學觀已經從靜態主義的觀點轉向動態主義的觀點。數學不應被簡單地等同於數學知識的彙集，不應被看作無可懷疑的真理的集合，而應被看作人類的一種創造性勞動。

以往我在教學「年、月、日」這一內容時，大致按照這樣的思路展開：觀察年曆表，理清每個月的天數；根據每個月的天數對月份進行分類，認識並記住大月和小月；關注二月份天數的不同，認識平年和閏年；研究二月份天數的變化規律，探究平年和閏年的判定方法。這與教材的編寫思路是一致的。

研讀教材之後，視線再轉向學生：學生需要從年曆表中歸納學習「年、月、日」的知識嗎？「年、月、日」與學生的生活聯繫緊密，關於「年、月、日」，學生已經知道了什麼？

通過調查，我發現三年級的學生大部分已經知曉了「年、月、日」的一些知識，如果教師仍然按照原先的思路組織學生觀察年曆表，那學生也就只能表現為「知道卻裝作不知道」了。

進一步思考：如果不這樣設計，那麼這節課的數學味是什麼呢？即如何體現這是一節數學課呢？換個說法，數學課上學習的「年、月、日」與科學課上的「年、月、日」有何不同呢？

我的教學嘗試

既然學生已經知道了「年、月、日」的一些知識，我再「助推」一下，組織學生在課前進一步研究學習「年、月、日」。我設計了下面三個問題：

（1）關於「年、月、日」，我知道了什麼？

（2）對「年、月、日」，我有什麼疑問？

（3）我收集了哪些有關「年、月、日」的知識或數學故事？

課堂從交流學生關於「年、月、日」的已知信息入手，學生先同桌間交流，然後全班交流，交流的內容既有本課學習的，也有後續將要學習的，既有正確的，也有不正確的。

關於「年、月、日」，學生的疑問大致有兩類：一類是如「為什麼二月的天數最少？」「為什麼七月、八月都是大月？」這樣知曉結果追問緣由的問題；一類是如「年、月、日是誰發明的？」這樣對歷史由來的追問。

如何解答這些問題？顯然，得從歷史中尋找答案。從這些問題中，我們要看到數學知識，更要看到隱於知識背後的數學思想、精神……

對於「為什麼二月的天數最少？」「為什麼七月、八月都是大月？」這樣的問題，讓學生「百度」一下，古羅馬凱撒與奧古斯都的故事都不難找到。那這樣的故事是否一「聽」就可以了之了呢？我的教學處理是這樣的：

教師邀請學生講解凱撒、奧古斯都的故事。之後，教師和全班學生共同回顧故事內容並提問：「最初，大月、小 月是如何規定的？」師生完成列式解答。在計算的過程中，學生初步經歷了曆法的變化與調整過程，對儒略曆的認識，對大月、小月的規定不再停留於簡單的接受。

對於「年、月、日是誰發明的」這樣的問題，坦率地說，我最初也沒有想過。我所知曉的，就是年、月、日與太陽、月亮、地球有關。究竟是誰發明的年、月、日呢？查閱了一番資料之後，我豁然開朗，是古人源於對自然現象的觀察。

如何與三年級的學生交流這些呢？我用課件先後呈現從黑夜到白天的圖片、月亮圓缺變化的圖片以及一棵樹的樹葉從無到有、從綠到黃、從有到無變化的圖片，並向學生講述：古時候生活在地球上的人通過長期觀察，發現太陽升起落下、日復一日的變化，月亮陰晴圓缺、月復一月的變化，氣候四季交替、年復一年的變化，於是逐漸建立起了年、月、日的概念。

上述教學，試圖讓學生體會時間是關於過程的度量。時間涉及過程，是事物發生與運動的產物，要建立與時間有關的概念，必須要有參照物。對人類來說，最好的參照物就是太陽、月亮和浩瀚的星空。為了準確地表達時間的概念，就必須清晰地描述地球與參照物之間、參照物與參照物之間的變化關係，而且準確、清晰表達的捷徑就是藉助數學語言。這便是用數學的語言描述現實中的故事，這是一個完整的構建模型的過程。

為了讓學生進一步體會人類的文明成果，課尾，我留下問題：如果沒有年、月、日，這世界將會變成什麼樣？讓學生在想像中體會年、月、日這一來源於生活實踐又作用於生活實踐的發明的重要意義。

曆法的形成，是一個漫長的、複雜的演變過程，其中的故事、軼事反倒使本來比較枯燥的「年、月、日」知識變得溫情脈脈，或者說，變得好玩起來。將這些故事、軼事引人教學，從而「年、月、日」的教學多了份歷史的厚重感，學生對各月的天數也多了份「理解」。

* 文章選載自微信公眾號：小學數學名師公開課，原出處：星教師。

好玩的數學

微信號：mathfun

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！

本站內容充實豐富，博大精深，小編精選每日熱門資訊，隨時更新，點擊「搶先收到最新資訊」瀏覽吧！

請您繼續閱讀更多來自 好玩的數學 的精彩文章: