合作與單幹：縮小素數間距

2013年5月13日，一個默默無聞的、才華不被認可以致靠在快餐店打工維持生活的數學家，因為解決了一個關於素數的長期懸而未決的問題，獲得了全世界的關注和數學界的讚譽。所謂素數就是只能被1和自己整除的那些大於1的整數。美國新罕布希爾大學的張益唐講師證明雖然素數越來越稀疏，你仍可不斷找到間隔至多為7千萬的素數對。張益唐的工作是人類歷史上首次證明有無窮多個素數對間隔不超過一個有限的上界。著名的孿生素數猜想斷言有無窮多個素數對的間隔恰好為2（例如：11和13），張益唐的工作是這個世紀難題上的重大突破。

張益唐

在隨後的幾個月里，張益唐發現自己陷入旋風般的學術活動與歡呼慶祝中：他已在許多著名學府講解他的這項工作，收到了來自中國大陸和台灣的頂級機構的工作邀請， 獲得普林斯頓高等研究院的訪問位置，並被通知將晉陞為新罕布希爾大學正教授。

張的工作引發出這樣一個問題：為什麼是7千萬？這個數並沒有什麼特別的神奇之處——它只是張為了簡化證明達到目的而採用的。其他數學家很快就意識到，這個間隔上界可以被降低不少，雖然難以一下子降到2。

到5月底，數學家們通過微調張的論證把素數間隔的界降至60萬。澳大利亞國立大學的莫里森（Scott Morrison）5月30日的博客文章引發了改進熱潮； 數學家爭相改進這個數字，創造了一個又一個新記錄。6月4日，菲爾茲獎(數學界最高榮譽)得主、美國加州大學洛杉磯分校的陶哲軒創建了在線協作的開放項目Polymath 8，吸引了數十名參與者。

曾有數周，該項目不斷取得進展。陶回憶說：「常常每過30分鐘這個界就下降一點。」到了2013年7月27日，該團隊已成功地將素數間隔從7千萬降至4680。

現在，蒙特利爾大學的博士後詹姆斯·梅納德（James Maynard）於11月19日在arXiv上公開了一個預印本。在張宣布他的結果僅僅幾個月後，梅納德給出了一個獨立的新證明並將素數間隔降到600。一個新的Polymath項目正處於規劃階段，目的要將先前Polymath 8項目的群體工作與梅納德的證明結合起來進一步降低素數間隔的上界。

陶說：「這個新的進展讓該領域內的人頗感興奮。」

梅納德的方法不僅適用於一對素數，還可以用於處理三元、四元和更多元的素數組。他證明了，對任意給定的正整數，總可找到無窮多個長度不超過一個依賴於的常數的區間， 使其中含有至少個素數。（陶說，幾乎同時他也獨立得出這個結果。）

張這種孤獨的數學天才(梅納德也可算一個)，在準備好用一個偉大的發現讓世人吃驚之前，一直躲在無人知曉的角落默默奮戰多年。而Polymath 8項目則大不一樣，追求新的世界記錄要求快速、迅猛與群體協作。

張獨自痴迷於研究單一的難題，這給他帶來了巨大的回報。他是否向其他數學家推薦這種做法呢？張回答說：「這很難說。我選擇自己的方式，但它只是我自己的方式。」

陶並不鼓勵年輕數學家沿著這樣的途徑，他認為這是「一種特別危險的職業冒失行為」，如此很少能夠成功，除非你是一個學術前途無憂又有良好記錄的老道數學家。不過，他在接受採訪時說，單幹和協作方式都對數學做出了貢獻。

陶說：「重要的是要有人願意孤軍奮戰來貢獻自己的才智。」 與此相對照，Polymath 8靠的是「完全的群體思維」。並非每個數學問題都能藉助於這種合作方式，但是這個問題可以。

梳理數軸

張在證明中使用被稱為元組的數學工具來挑選素數。所謂元組，你可以把它想像成一個部分齒被折斷的梳子。如果你從數軸上隨意一處開始沿著數軸平放梳子，剩餘的齒就會指向一組數字。

張關注的有殘缺梳子的余齒具有被稱為「容許性」的整除性質。他證明了，如果利用至少有350萬個余齒的容許梳子去挑選素數，那麼數軸上有無窮多個位置使從那兒沿數軸平放梳子後這個梳子的齒會指向至少兩個素數。然後，張通過折斷有7千萬個齒的梳子的部分齒來製造至少有350萬個余齒的容許梳子， 如此改造過的梳子必能不斷地捕獲到間隔不超過7千萬的素數對。

容許梳子

粗略地講，一個梳子被稱為容許的，除非有明顯的理由使得沿數軸移動梳子後它的齒不能無窮多次地全部捕獲到素數。例如，將有5個齒的梳子的第2個與第4個齒折斷，如此得到的梳子不是容許的。這個梳子將對應諸如(2，4，6)，(5，7，9)，(11，13，15)這樣的三元組，無論你把梳子放在哪裡，它所對應的3個數中必有一個被3整除。 除了(3，5，7)這組外，你再也看不到全為素數的這樣的三元組。

但是將有3個齒的梳子的中間齒折斷後就沒有這樣的障礙，因而是容許的。這種梳子對應著諸如(2，4)，(3，5)，(11，13)這樣的有序對，並且沒有整除障礙導致它不能經常性地全取素數。事實上，孿生素數猜想就斷言這種特殊的梳子可以無窮多次捕獲到素數對。

一個更大膽的元素數組猜想——孿生素數猜想的推廣——斷言任何容許梳子都可無窮多次地讓全部齒對應著素數。換句話說，每個關於素數的合理模式將一而再、再而三地不斷湧現。大量的計算證據支持元素數組猜想的正確性，但沒有人知道如何來證明它。

梅納德和陶的最新工作給k元素數組猜想提供了強有力的證據。蒙特利爾大學的格蘭威爾（Andrew Granville）說：「會不會在不久的將來有人能夠證明元素數組猜想？對此我持懷疑態度。但我已經錯過好幾次了。」他接著說道，梅納德和陶的這項發現是「夢幻般的突破」，「這是一個具有歷史意義的成果。」

張的論證由3個獨立的步驟構成，每個步驟都留有潛在的空間去改進他的7千萬上界。首先，張引用了一些非常深刻的數學結論去識別出隱藏的素數對。接下來，他用此結果去考察有多少個余齒的容許梳子可無窮多次地捕獲到素數對。最後，他計算出多大的梳子經折斷後可製造出一個容許梳子。

事實上，對於群體合作改進張的結果，理想的做法把這3個步驟分開進行。陶說：「他的證明是非常模塊化的，所以我們可以並行工作，具有不同技能的人可各顯神通進行改進。」

Polymath 8項目迅速吸引了掌握恰當技巧的人們，如果自上而下地組織好或許會更有效率。陶說：「此項目將一些從未想到會一起合作的人們彙集到了一起。」

尋求素數的區域

張的3個步驟中，首先得到改進的是最後一步，在這一步驟中他給出一個至少有350萬個余齒的容許梳子。張證明了一個有7千萬個齒的梳子可用來製作這樣的容許梳子，但他並沒有特別努力去選擇長度儘可能短的梳子。這裡有足夠的改進餘地，於是善於計算的人競相去尋求小的具有給定個齒的容許梳子。

麻省理工學院的蘇瑟蘭（Andrew Sutherland）很快成為容許梳子的製作高手。蘇瑟蘭是位計算數論學家，在張宣布其結果期間正在旅行，並沒有對此工作特別關注。但是，他在芝加哥的一個旅館登記入住並向服務員說明自己來參加一個數學會議後，店員說道：「哇，7千萬，是嗎？」

蘇瑟蘭說:「他居然知道這件事讓我大吃一驚。」他很快發現，具有他這樣計算技能的人可幫助改進張的上界，而且改進餘地還不小。「這個夏天我原本有很多的計劃，但如今它們都被我撇下不理。」

對於在這一步工作的數學家，他們面臨的背景會不斷地變化。每當在其餘兩個步驟工作的數學家減少梳子所需齒數時，他們的任務也隨之改變。蘇瑟蘭說：「遊戲的規則天天都在發生變化。」「當我正在睡覺時，在歐洲的人們就會貼出新的上界。有時候，我會在凌晨兩點跑下樓去發表一個新的想法。」

Polymath 8項目這個團隊使用了遺傳演算法把容許梳子組合起來產生新的更好的梳子，最終他們創造了這樣的一個記錄：長度為4680且具有632個余齒的容許梳子。

梅納德的發現涉及一個有105個余齒的長為600的容許梳子，這使Polymath 8團隊的巨量計算變得過時。但這個團隊的努力並非徒勞無功，蘇瑟蘭說尋找小的容許梳子與許多數論問題相關。特別地，正如梅納德所說，該團隊的計算工具很可能有助於改進梅納德在三元素數組、四元素數組以及更多元素數組方面的結果。

專註於張的證明第二步的Polymath 8項目研究人員，探索在數軸上哪兒放置梳子才最有利於捕獲到素數對，並努力弄清所需齒數。由於素數變得越來越稀疏，如果你隨意地將梳子放在某處，就可能捕獲不到任何素數，更不用說一對素數了。找出尋求素數的最佳區域是變分法的一個問題。

公眾面前出錯

陶說，Polymath 8項目進程在網上公開, 每個想知道「香腸是如何製造」的人都能看到它。博客中討論的帖子給讀者提供了窺視數學研究的獨特機會，數學研究通常都是關起門來進行的。

特別地，陶說，網上的帖子和評論清楚地展現出數學思想發展過程中的嘗試與錯誤。加工潤色過的研究論文往往讓讀者覺得它們的作者從未失誤過。但事實上，正如陶所說:「偉大的數學家也會犯愚蠢的錯誤，不過這個過程往往被人們隱藏了，因為那是令人尷尬的事。」

Polymath 8項目的一個基本原則是參與者應該迅速向大家拋出他們的想法，而不必糾結於是否夠好。「我們允許在公眾面前犯錯誤，」莫里森（Morrison）說，「這違背了很多人追求完美的天性，但當我們輕鬆無顧忌地說出也許愚蠢的話時，我們的項目就變得更有效率。」

這或許涉及項目中的一些創新以及那些被梅納德的工作取代的部分，但這種發展仍是富有成果的。在2013年6月5號，這個團隊掃除了一些困惑，把界從460萬降到了389922。

張的證明中的第一步涉及到素數分布的處理，聚焦於這一步的研究者工作最艱苦。數學家們了解素數分布的若干規律已經一個多世紀了。比如說，把所有的素數按模3分類，有一半的素數模3餘1，一半的素數模3餘2。這種規律對識別一個容許梳子能否捕獲到一對素數來說是必不可少的，正如蘇薩瑟蘭所說,「素數不會集中在某一塊，而是散在地分布。」但要在證明中恰當地使用這種分布，張以及Polymath 8項目參與者必須去理解一些最深刻的數學知識，這涉及到普林斯頓高等研究院名譽教授德利涅在20世紀70年代的一組定理。這些結果考慮的是有關複雜求和中某些余項的相互抵消。莫里森把德利涅的工作描述為「20世紀數學中一項令人敬畏的大工作」。

加州大學洛杉磯分校的陶哲軒說：「非常幸運的是，我們有幾位精通德利涅艱深工作的參與者。在此項目之前，我自己對這方面的知識知道得並不多。」

這個項目沒有止步於僅通過提煉這部分的證明來改進界，而是進一步發現可完全繞開德利涅定理（但這樣做在界上要付出點代價）。不利用德利涅定理，此項目得到的最好界為14950。

這個對證明的簡化比此項目最終得到的界更讓人興奮，因為數學家不僅關心證明的正確性也關注它帶來多少新的洞察。格蘭威爾說:「我們尋求的是新思想。」

張本人顯然遊離於Polymath 8項目的進程之外，也許這並不奇怪。他沒有密切關注此項目，他說:「我與他們毫無聯繫。我喜歡安靜地單幹, 這使我能集中精力做研究。」

梅納德也沒有參與Polymath 8項目。此項目參與者狂熱地去改進素數對間距的界時，梅納德獨自地發展不同的方法，該工具源於被人遺忘的10年前一篇先寫好後又撤回的論文。

秘密武器

張的工作基於2005年的一篇被稱為GPY的文章，GPY源於3位作者的名字，他們分別是Goldston，Pintz和Y?ldirim。GPY發展了對一個數近乎為素數的可能性進行打分的系統。例如：偶數的分值很低，被3整除的奇數分值略高一點。這種被稱為篩子的計分公式也可用來對一個容許梳子指向的數組進行打分，對於識別出在數軸上何處放置梳子才更有利於捕獲素數來說這是至關重要的工具。如何構造一個有效的篩子是很有講究的，這個公式必須能很好地估計出不同數為素數的可能性，同時還要確保足夠簡單以便於分析。

在GPY論文發表的兩年前，該文的其中兩位作者Goldston和Y?ldirim，散發了一篇描述他們宣稱的有效評分方法的文章。可是幾個月後，數學家們發現了此文中的漏洞。當Goldston， Pintz 和 Y?ldirim修補了這個錯誤後，大多數數學家轉而關注調整後的評分系統（即GPY版本），而不再關注是否有更好的辦法來調整原先那個有問題的公式。

梅納德的博士後導師格蘭威爾說:「我們中看過GPY文章的以為那是基本的出發點，未曾想過再回過來考慮先前的分析。」

大約1年前，梅納德決定回頭再看一下那個較早的(含有錯誤的)文章。研究篩法理論的梅納德剛剛博士畢業，他有了一個新主意去調整那篇文章中的打分系統。GPY把一個容許梳子指向的那些數乘在一起，然後針對這個乘積打分。而梅納德針對每個數分別評分，這樣就能從打分系統中獲取更多的微妙信息。

格蘭威爾說，梅納德的篩法「出奇地簡單」，「這使我這樣的人一拍腦門說，『唉，要是我們沒那麼相信自己做不出，7年前我們就可能做出它了』。」

梅納德通過對打分系統的改進把素數間隔的界降到600，同時他也建立了關於一組素數的相應的間隔有界性結果。

張和梅納德在僅相隔數月內分別給出素數間隔有界性這一事實， 按照梅納德的說法 「完全是個巧合」。「當我聽到張的結果時，我感到非常興奮。」

對於梅納德極大改進了Polymath 8的記錄，陶也有類似的心情。陶說：「人們期待記錄被打破——這就是進展。」

陶和梅納德都認為，梅納德的篩法應該可以與張的艱深技巧以及Polymath 關於素數分布的項目結合起來以得到更小的界。

Polymath 8項目最近致力於把這個團隊的發現寫成一篇論文，這篇受到《代數與數論》雜誌邀請的文章已超過150頁了。但陶預計，這個團隊的參與者會情不自禁地立即投入研究梅納德的預印本。 正如陶所說，「這就像一塊誘人的紅燒肉」。

這次梅納德打算加入到Polymath 8項目中，他說：「我期待著將這個界降得儘可能小。」

張與梅納德的方法究竟還有多大發展空間需要進一步探討。在梅納德的工作之前，GPY方法理論上的極限是將素數間隔縮到16。梅納德的改進把這個理論上的極限降為12。梅納德認為，一個巧妙的篩法主意或許有助於把這個極限值降到6，但他強調，沿用此法不太可能把界降到2，從而解決孿生素數猜想。梅納德說：「要想解決孿生素數猜想，我覺得我們仍然需要有根本性創新的重大突破。」

陶、梅納德以及Polymath 8項目的參與者也許能從張本人新思想中獲得啟發。坐在飛機上思考數學對張來說要稍微適應一下， 但他已經開始探討一個新的問題了。 對這個新的問題，張不願透露太多，只說「那很重要」。張現在並不研究孿生素數問題，但他說自己保留了在文章公開前就已發展出來的可降低界的「秘密武器」。他沒有在文章中使用這個技術，因為它既複雜又艱深。張表示可能考慮明年去發表這個技巧。

他說：「這是我自己原創的想法，那是一個全新的東西。」

譯者：孫智偉(南京大學數學系)，趙立璐(合肥工業大學數學學院)

附註：

（1） 該文譯自 SimonsFoundation.org期刊Quanta Magazine上 Erica Klarreich 的英文報道「Together and Alone,Closing the Prime Gap」(2013年11月19日)，我們的翻譯獲得對方授權，原文網址為 http://www.

simonsfoundation.org/quanta/20131119-together-and-alone-closing-the-prime-gap.

（2） 感謝王元院士建議譯者翻譯此文。截至2014年3月3日，梅納德關於素數間隔的界600已被降到252。

來源：《中國數學會通訊》2014年第1期。

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