如果π不是分數，如何計算它呢？

來源：《數學萬花筒（修訂版）》，[英]伊恩·斯圖爾特著，張雲譯，人民郵電出版社。

南北朝時祖沖之算出圓周率π的近似值在3.1415926和3.1415927之間，並提出圓周率的約率為22/7。但是π的近似值22/7並不精確，甚至可以說很不精確，但能用如此簡單的分數來近似表示，這已經很不錯了。由於我們知道π無法確切表示成一個分數，所以如何將它計算到非常高的精度其實並不是那麼顯而易見。數學家使用了很多巧妙的公式來表示π的精確值，他們都是精確的，並且都用到了一些不斷進行、直到永遠的過程，而只要在「永遠」之前的某一步停下，我們便能得到一個π的近似值。

事實上，數學給我們提供的選擇多不勝收，因為π的魅力之一正在於它會出現在大量各式各樣的美麗公式中，他們常常是無窮級數、無窮乘積或無窮分數 (用省略號…表示）——這應該毫不奇怪，畢竟π沒有簡單的有限表達式，除非你使用微積分，下面是幾個精彩的例子。

首先是π最早的一批表達式之一，由弗朗索瓦·韋達在1593年發現。他與2n邊形有關：

接下來一個是約翰·沃利斯在1655年發現的：

在約1675年，詹姆斯·格雷果里和戈特弗里德·萊布尼茲都發現了：

它收斂的太慢，對計算π沒有什麼幫助；也就是說，想藉此得到一個很好的近似值，需要用到太多項。不過，一切與此密切相關的級數在18和19世紀被人們用來計算π的前幾百位小數。在17世紀，布龍克爾勛爵發現了一個無窮「連分數」：

歐拉也發現了如下一堆公式：

(順便一提，似乎沒有公式基於

這很讓人困擾，至今沒有得到解釋。特別是，這個和不是任何簡單有理數乘以π3。我們已經知道這個序列的和是無理數。）

對於其他公式，我們將使用求和符號。這樣我們可以將公式以更簡潔的形式寫出，比如前面有關π2/6的無窮級數可改寫成:

讓我將各部分說明一下。求和符號∑是希臘字母西格瑪的大寫，表示將它右邊的所有數，這裡是1/n2，加在一起。∑下面的「n=1」表示我們從n=1開始加起，而根據慣例，n是依次增加的正整數。∑上方的∞表示「無窮」，告訴我們一直加這些數，直到永遠。所以它與前面看到的無窮級數是一回事，只是換了個說法：對於n=1，2，3，…，將項1/n2相加。

在約1985年，喬納森·博溫和彼得·博溫兄弟發現了以下級數：

他收斂得極快。1997年，戴維·貝利、彼得·博溫和西蒙·布盧夫，發現了一個前所未見的公式：

它有什麼特別之處？它允許我們計算π的具體某一位，而無需先計算前面的那些位，唯一美中不足的是，他給出的不是π的十進位表示，而是16進位表示，（由此進而可得到相應的八進位十進位二進位表示）。1998年，法布里斯·貝拉爾利用改進後的公式計算出π的十六進位表示的第1000億為9，在接下來的兩年里，這一紀錄被提高到了16進位表示的250萬億位（二進位表示的1000萬億位）。

截至本書寫作時，π的十進位表示的記錄是由金田康正及其同事保持的，他們在2002年計算出了π的前12411億位。

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