魅力無窮的完全數

公元前3世紀時，古希臘數學家對數字情有獨鍾。他們在對數的因數分解中，發現了一些奇妙的性質，如有的數的真因數之和彼此相等，於是誕生了親和數；而有的真因數之和居然等於自身，於是發現了完全數。6是人們最先認識的完全數。

發現完全數

研究數字的先師畢達哥拉斯發現6的真因數1、2、3之和還等於6，他十分感興趣地說：「6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身。」

古希臘哲學家柏拉圖在他的《共和國》一書中提出了完全數的概念。

約公元前300年，幾何大師歐幾里得在他的巨著《幾何原本》第九章最後一個命題首次給出了尋找完全數的方法，被譽為歐幾里得定理：「如果2n－1是一個素數，那麼自然數2n-1(2n-1)一定是一個完全數。」並給出了證明。

公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數學家尼可馬修斯在他的數論專著《算術入門》一書中，正確地給出了6、28、496、8128這四個完全數，並且通俗地複述了歐幾里得尋找完全數的定理及其證明。他還將自然數劃分為三類：富裕數、不足數和完全數，其意義分別是小於、大於和等於所有真因數之和。

千年跨一步

完全數在古希臘誕生後，吸引著眾多數學家和數學愛好者像淘金般去尋找。可是，一代又一代人付出了無數的心血，第五個完全數沒人找到。

後來，由於歐洲不斷進行戰爭，希臘、羅馬科學逐漸衰退，一些優秀的科學家帶著他們的成果和智慧紛紛逃往阿拉伯、印度、義大利等國，從此，希臘、羅馬文明一蹶不振。

直到1202年才出現一線曙光。義大利的斐波那契，青年時隨父遊歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等地區，學到了不少數學知識。他才華橫溢，回國後潛心研究所搜集的數學，寫出了名著《算盤書》，成為13世紀在歐洲傳播東方文化和系統將東方數學介紹到西方的第一個人，並且成為西方文藝復興前夜的數學啟明星。斐波那契沒有放過完全數的研究，他經過推算宣布找到了一個尋找完全數的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過眼煙雲。

發現非一帆風順

在無名氏成果鼓勵下，15至19世紀是研究完全數不平凡的日子，其中17世紀出現了小高潮。

16世紀義大利數學家塔塔利亞小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，後來靠自學成為一位著名數學家。他研究發現：當 n＝2和 n=3至39的奇數時，2n-1(2n-1)是完全數。

17世紀「神數術」大師龐格斯在一本洋洋700頁的巨著《數的玄學》中，一口氣列出了28個所謂「完全數」，他是在塔塔利亞給出的20個的基礎上補充了8個。可惜兩人都沒有給出證明和運算過程，後人發現其中有許多是錯誤的。

1603年，數學家克特迪歷盡艱辛，終於證明了無名氏手稿中第五個完全數是正確的，同時他還正確地發現了第六個和第七個完全數216(217-1)和218(219-1)，但他又錯誤地認為222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完全數。這三個數後來被大數學家費爾馬和歐拉否定了。

1644年，法國神甫兼大數學家梅森指出，龐格斯給出的28個「完全數」中，只有8個是正確的，即當n＝2，3，5，7，13， 17， 19， 31時，2n-1(2n-1)是完全數，同時又增加了 n＝67，127和257。

在未證明的情況下他武斷地說：當 n ≤ 257時，只有這 11個完全數。這就是著名的「梅森猜測」。

「梅森猜測」吸引了許多人的研究，哥德巴赫認為是對的；微積分發現者之一的德國萊布尼茲也認為是對的。他們低估了完全數的難度。1730年，被稱為世界四大數學家雄獅之一的歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：「每一個偶完全數都是形如2n-1(2n-1)的自然數，其中n是素數，2n-1也是素數」，並給出了他一直沒有發表的證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得與歐拉兩個互逆定理，公式2n-1(2n-1)成為判斷一個偶數是不是完全數的充要條件了。

歐拉研究「梅森猜測」後指出：「我冒險斷言：每一個小於50的素數，甚至小於100的素數使2n-1(2n-1)是完全數的僅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我從一個優美的定理出發得到了這些結果，我自信它們具有真實性。」

1772年，歐拉因過度拚命研究雙目已經失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士數學家丹尼爾的一封信中說：「我已經心算證明n＝31時，230(231-1)是第8個完全數。」同時，他發現他過去認為n=41和n＝47時是完全數是錯誤的。

歐拉定理和他發現的第8個完全數的方法，使完全數的研究發生了深刻變化，可是，人們仍不能徹底解決「梅森猜測」。

1876年，法國數學家魯卡斯創立了一種檢驗素數的新方法，證明n＝127時確實是一個完全數，這使「梅森猜測」之一變成事實，魯卡斯的新方法給研究完全數者帶來生機，同時也動搖了「梅森猜測」。因數學家藉助他的方法發現猜測中n＝67， n＝ 257時不是完全數。

在以後1883——1931年的48年間，數學家發現「梅森猜測」中 n≤257範圍內漏掉了 n＝ 61， 89， 107時的三個完全數。

至此，人們前仆後繼，不斷另闢新路徑，創造新方法，用筆算紙錄，耗時二千多年，共找到 12個完全數，即 n＝ 2， 3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127時，2n-1(2n-1)是完全數。

笛卡爾曾公開預言：「能找出完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完全人亦非易事。」 歷史證實了他的預言。

從1952年開始，人們藉助高性能計算機發現完全數，至1985年才找到18個，多麼可憐！

等待揭穿之謎

迄今為止，發現的30個完全數，統統都是偶數，於是，數學家提出猜測：存不存在奇數完全數。

1633年11月，法國數學家笛卡爾給梅森一封信中，首次開創奇數完全數的研究，他認為每一奇完全數必具有P2Q的形式，其中P是素數，並聲稱不久他會找到，可不僅直到他死時未能找到，而且至今，沒有任何一個數學家發現一個奇完全數。它成為世界數論又一大難題。

雖然，誰也不知道它們是否存在，但經過一代又一代數學家研究計算，有一點是明確的。那就是如果存在一個奇完全數的話，那麼它一定是非常大的。有多大呢？遠的不說，當代大數學家奧爾檢查過1018以下自然數，沒有一個奇完全數；1967年，塔克曼宣布，如果奇完全數存在，它必須大於1036，這是一個37位數；1972年，有人證明它必大於1050；1982年，有人證明，它必須大於10120；……這種難於捉摸的奇完全數也許可能有，但它實在太大，以至超出了人們能夠用計算機計算的範圍了。

對奇完全數是否存在，產生如此多的估計，也是數學界的一大奇聞！

關於完全數還有許多待揭之謎，比如：完全數之間有什麼關係？完全數是有限還是無窮多個？存在不存在奇完全數？

人們還發現完全數的一個奇妙現象，把一個完全數的各位數字加起來得到一個數，再把這個數的各位數字加起來，又得到一個數，一直這樣做下去，結果一定是 1。例如，對於 28，2＋8＝10， 1＋0＝1；對於496有， 4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1等等。這一現象，對除6外的所有完全數是否成立？

以上這些難題，與其它數學難題一樣，有待人們去攻克。儘管我們現在還看不到完全數的實際用處，但它反映了自然數的某些基本規律。探索自然規律，揭開科學上的未知之謎，正是科學追求的目標。

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