靈機一動 第348期 求和

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 348

求和

求小於 315 且與 315 互質的所有自然數的和。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 347

完全立方數

已知 n 是整數，n2+11 是素數，問 n+4 是否有可能是完全立方數？

分析與解答

答案：不可能。

假設存在整數 n 能同時滿足兩個條件，不妨設n+4=a3，此時 n2+11=a6－8a3+27，這時考察因式分解已經很明顯了，如果可以將這個式子分解成兩個式子之積，則不滿足 n2+11 為素數的條件，矛盾。

一般而言初中因式分解的題都是可以分解的，注意式子中有 a 的六次方和三次方，和一個常數，先看=64-4×27＜0，故不可能用十字相乘，再看，發現三項都是三次方，由此想到三個立方和的最常用公式：

a3+b3+c3-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

但差一個3abc，它是 abc 三項相乘再乘以 3，所以不考慮最高次項六次項和常數項 27，所以其中兩項為 a2 和 3，試著變動 -8a3，剩餘一項肯定為 a 的一次項，係數還得是 9 的倍數，所以很容易得出把 -8a3 拆成 a3 項和－9a3 項：

n2+11=a6－8a3+27

=a6+a3+27-9a3

=(a2+a+3)(a?－a3-2a2-3a+9)

它可以分解成兩個因式的積，所以此時 n2+11 不為素數。

故 n+4=a3 與 n2+11 為素數不能同時成立，所以不可能。

（以上解答來自題友@miaow）

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好玩的數學

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