用數學公式可以畫出這麼美的葉片

物體本身圖案的規律性為藝術家創作帶來了靈感，他們用數學公式描繪出一幅幅美麗的畫卷。

撰文 Hamid Naderi Yeganeh

翻譯 劉卓

審校 胡家僖

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

生活的確像數學老師說的那樣處處是數學，數學當然可以很漂亮。許多植物擁有非常有趣並且漂亮的葉子，甚至可以形成特定的數學結構。例如，多葉蘆薈是來自非洲賴索托的一個品種，其葉子呈螺旋狀排列，十分美麗。

圖片來源：Sam - Own work

數學可以幫助我們描繪身邊的真實物體。藝術家可以根據物體本身圖案的規律性，利用數學公式進行創作。利用數學公式可以描繪出不同形狀的葉子，其中非常著名的一個例子是巴恩斯利蕨。這種美麗的蕨類圖形由巴西數學家邁克爾·巴恩斯利（Michael Barnsley，1946年生）在《無處不在的分形》（Fractals Everywhere）一書中提出，該圖案可以通過迭代函數系統得到。

圖片來源： DSP-user - Own work

你或許認為下面所看到的葉子都是手繪的，但事實上，它們都是根據正、餘弦三角函數在電腦上製作而成的。接下來，我們來具體看看這些圖案是怎麼產生的。

當我們描繪一個實物時，我們需要找到其對應的數學公式。該公式並不是一下子找到的，需要我們一步步去搜尋。在每一步中，我們通過添加一個數學函數增加所畫圖形與原圖的相似性。其中，正、餘弦三角函數由於周期性、有界性、平滑性三個特徵被廣為運用（這其實是對閉合曲線的參數方程用傅里葉級數展開）。事實上，每一步我們都要儘可能找到一個合適的函數，雖然有些步驟會十分困難甚至不可能實現。例如，在下圖中，我們可以看到如何利用數學函數，將一個圓形最終轉化為日本楓葉圖形。

利用數學函數可以畫出一片日本楓葉。圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

下面的這些圖片進一步展示了如何利用數學公式描繪出多姿的葉片，每一幅圖片下方配有其對應的參數方程。

楓葉

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

日本楓葉

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

橡樹葉

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

此外，在接下來的兩幅圖中，你還將看到由成千上萬個小圓構成的葉片。其中，這些圓的圓心和半徑均根據三角函數來決定。

橄欖枝

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

棕櫚葉

圖片來源：Hamid Naderi Yeganeh

譯者自己也用Matlab畫了個分形蕨，如圖：

你也來試試吧！

https://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/how-to-draw-with-math/

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