專訪數學家張壽武：數學蒼穹閃爍中國新星

編者按

本文是《知識分子》專欄作者王丹紅數年前與《科學時報》同事易蓉蓉合作撰寫的一篇專訪，發表於2010年12月。當年10月，29歲的哈佛大學講師張偉獲得SASTRA拉馬努金獎。2008年7月，張偉在北京大學的同班同學、26歲的袁新意在博士畢業時獲美國克萊數學研究所克萊研究獎。此前任職哥倫比亞大學數學系教授、現任普林斯頓大學講席教授的著名數學家張壽武在訪談中介紹了一代數學新星的工作。如今來看，他當年的評價已經變成現實——「他們可以對數學作出劃時代的貢獻。他們合在一起，應該是中國數學的未來，他們肯定會做得很好。」

撰文｜王丹紅 易蓉蓉

知識分子為更好的智趣生活ID：The-Intellectual

「在非常年輕的29歲，張偉博士已經在數學的廣泛領域產生了意義深遠的影響。」

——2010年SASTRA拉馬努金獎委員會主席

K·阿拉底

今年10月，SASTRA拉馬努金獎委員會宣布，將2010年度SASTRA拉馬努金獎授予29歲的中國數學家、哈佛大學數學系講師張偉。評獎委員會主席、美國佛羅里達大學數學教授K·阿拉底（Krishnaswami Alladi）在頒獎詞中說：「通過自己的努力和與他人的合作，張偉博士在數論、自守形式、L函數、跡公式、表示論和代數幾何等數學的廣泛領域，作出了影響深遠的貢獻……因為他早期的奠基性工作和最近的兩項工作，張偉博士已經成為他所在領域的國際領袖。」

張偉

為紀念印度的天才數學家斯力瓦薩·拉馬努金（Srinivasa Aiyangar Ramanujan），2005年，位於拉馬努金故鄉貢伯戈訥姆市的Shanmugha文理工研究院（SASTRA）創立了SASTRA拉馬努金獎。該獎每年頒發一次，授予在拉馬努金研究領域作出傑出貢獻的年輕數學家。獲獎者的年齡限制在32歲以下，因為拉馬努金是在他32歲的短暫生命中作出了輝煌的數學成就。頒獎禮將於12月22日——拉馬努金的生日當天，在SASTRA大學舉行的數論和自守形式國際會議上舉行，張偉將獲得1萬美元的獎金。

美國紐約哥倫比亞大學數學系教授張壽武是張偉的博士生導師，他說：「其實，張偉是目前在國際數學界非常有影響的一批年輕的中國數學家之一，這批人我知道的就有10人左右，他們非常聰明，而且是同一代人，其中五六個是北京大學數學系2000屆的學生，張偉的同班同學，包括袁新意、惲之瑋、朱歆文等，另外幾位同一屆清華大學的學生，他們每個人的水平都與我們相差無幾！他們是中國數學的未來，到他們的時代，應該是中國數學最輝煌的時候。」

張壽武，現任普林斯頓大學講席教授

通過多次電話採訪和電子郵件採訪，張壽武向我們講述了張偉和袁新意等年輕數學家的故事，他說：「我只是想告訴大家，我們有這麼好的年輕數學家，他們做出這麼好的工作，他們是中國的希望。」

第二年 完成博士論文

「我們重點介紹部分他所做的開山辟路的工作……2005年，在參加馬里蘭大學舉辦的一個美國國家基金會的研討會上，張偉第一次聽說庫達拉猜想，他開始做這個問題的研究。在僅僅1年的時間裡，他不僅明白了這個猜想的意義，而且還找到了獨創性的證明方法。之後，他在這個領域迅速嶄露頭角。」

——2010年SASTRA拉馬努金獎委員會主席

K·阿拉底

張偉1981年7月出生於四川省達縣的一個農村家庭，在成都市第七中學畢業後，被保送進入北京大學數學科學學院。他這一屆的同學群星燦爛：包括2000年度的國際奧林匹克數學冠軍惲之瑋、袁新意、吳忠濤和劉志鵬，以及2000年中國奧林匹克數學競賽冠軍朱歆文等。

2004年，經北京大學數學科學學院兩位教授推薦，張壽武錄取張偉作為他的博士研究生，「他的同班同學袁新意提前一年畢業，在2003年就來我這裡了，袁新意做得很好，這也是我錄取張偉的原因之一」。

張偉給張壽武的第一印象很有趣：「他和袁新意的性格正好相反。袁新意是一個很沉穩的人，一般說來不會輕易對新問題下結論，他要先找很多反例，當找不到反例時，他就把它做出來了；張偉的性格剛好相反，你跟他說什麼他都很有興趣，而且想法很多，給人天馬行空的感覺，不僅對數學的想法多，而且對文學、歷史、書法都很有見解。」

剛開始帶張偉時，張壽武擔心他思想太活躍、不能專心做學問，時常提醒他說：「不能到我辦公室胡說八道，要好好做學問，這是第1年。」

到哥倫比亞大學幾個月後，張偉順利通過博士資格考試，他找張壽武要題目做。張壽武的觀點是：最好的學生自己找題目自己做；一般的學生做老師給的題目;最差的學生可能都看不懂老師給的題目。於是，他對張偉說：「你自個兒先找題目，找不到題目我再給你。」

張偉找了半天也沒找到像樣的題目。不久後，2005年秋天，張壽武開車帶著袁新意和張偉從紐約到馬里蘭州，參加以馬里蘭大學舉辦的美國國家基金會一個研討會。在這次會上，張壽武講解了庫達拉猜想（Kudla Conjecture），回到哥倫比亞之後，他突然想到，能不能嘗試庫達拉猜想中模性（Modularity）的問題，因此就對張偉說：「你就做做這個問題吧！」

「我也沒指望他能將模性做出來，因為這個學生找你麻煩，你給個題目讓他忙著，當時的想法就是讓他忙著。所以，一開始，我就讓他做最簡單的例子，然後再往複雜去做。」

張偉忙了兩三個月，大約在2005年底，已經回到中國的他突然給張壽武來信說：他知道怎麼做這個東西了。張壽武說：「好，你趕快回來吧。然而，回來之後，我才發現他不是按我的思路去做的，也就是說不是先做簡單的再做複雜的，他一下子就全部做了，這讓我很驚訝！」

在博士研究生的第二年，張偉就庫達拉猜想問題寫出了論文。

K·阿拉底這樣講述張偉：「我們重點介紹一些他所做的開山辟路的工作……1997年，史蒂文·庫達拉在志村簇（Shimura varieties）的基礎上定義了一系列的子簇，並推測它們的母函數是模性，博切爾茲（Richard Borcherds）獲得（1998年）菲爾茨獎的一個重要工作是證明了余維數1情形下的庫達拉猜想，在導師、哥倫比亞大學教授張壽武的指導下，張偉在他的博士論文中有條件地推廣了博切爾茲的結果，並因為這個過程，基本上證明了庫達拉猜想。」

不僅如此，張偉博士論文也促成了他與袁新意、張壽武的一系列合作。

合作非常愉快

「張偉在博士研究生的第二年完成了他的博士論文，論文中，他同時也推廣了希策布魯赫—乍基亞（Hirzebruch-Zagier）和格羅斯—科恩—乍基亞（Gross-Kohnen-Zagier）早期的主要工作。」

——2010年SASTRA拉馬努金獎委員會主席

K·阿拉底

張偉做完庫達拉猜想的論文後，張壽武對他說：「這可以當你的博士論文了，如果你現在想畢業，現在就可以畢業；不想畢業嘛，咱們再在一起做東西。」張偉決定要跟張壽武在一起再做一段時間。

在張偉寫這篇論文之前，正在博士三年級的袁新意已寫好了他的博士論文，但他也不想走。張壽武就對兩人說：「做完博士論文，我與你們的師生關係就結束了，你們不走，咱們就做個朋友，一起做做學問。」他將自己的兩個題目，格羅斯—乍基亞公式（Gross- Zagier）和三乘法L—函數（Trip product L-function）公式拿出來。

袁新意

張壽武從1997年開始做格羅斯-乍基亞公式，2001年，他完成了這個公式一個重要的工作，他一直在琢磨這個神秘的公式：「我能證明它是對的，但我並不明白在更深層次上，它為什麼是對的。我一直在想，怎樣把深藏在這個公式的背後的秘密挖出來。」2005年，他帶著張偉和袁新意重新探索這個公式。

「正因為張偉的畢業論文對了，我們合作的這些工作才成為可能；假如他的東西不對，我們繼續做下去是沒有意思的。我從1997年開始做這個公式，但有些最關鍵的東西我沒有做下來，所以，我為什麼要重視模性，這也是我為什麼讓張偉來做這個東西的原因，這對我們以後的工作是至關重要的一步。」

模性是數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件的解析函數。張壽武說：「模性非常重要。安德魯·懷爾斯在證明費馬大定理時，他最重要的工作就是模性，他證明了一個級數滿足一系列對稱性，這一對稱性證完後，他就證明了費馬大定理。在我們的工作里，也是一個級數，如果這個級數對稱了，就能做一般的格羅斯-乍基亞公式，我前面的一些工作都是假設了一些條件，我要是把這些條去掉，就必須要有新的辦法，新辦法最重要的一步就是母函數的模性。」

三人的合作的第一項，是將張偉在博士論文中的工作推廣到全實域，張壽武說：「推廣到全實域後，下面才能用，基本出發點是張偉的論文。」他們的文章發表在2009年出版的荷蘭期刊《數學文獻》（Compositio）上。

三人合作最重要的成果是關於志村簇上復乘點的高度。他們建立了瓦爾斯普爾熱（Waldspurger）公式在算術代數幾何下的一個模擬，瓦爾斯普爾熱公式是給出積分周期和L函數特殊值之間的關係的一個重要公式。這篇論文遠遠走出了現有的格羅斯—乍基亞公式，論文太厚了，最後決定變成一本書，因此，這篇論文將以書的形式出版在《普林斯頓數學研究年刊》上。

他們的合作非常愉快。張壽武說：「袁新意與張偉各有長處，袁新意是奧數冠軍隊成員，他的基本功沒人可比，如果他說一個結論是對的，就肯定是對的；張偉思想太活躍，有很多想法。有些是對的，有些不完全對，但很有發展的價值。兩個人的性格完全不一樣，與他們在一起真是非常愉快。這對我來說恐怕也是千載難逢的機會：哪有這麼好的年輕的學生做好論文後還不想走，在這裡待下來？！」

師承相傳 因緣際會

「因為這兩篇預印本論文和他早期的種子性工作，張偉博士已經成為他所在領域的世界領袖。」

——2010年SASTRA拉馬努金獎委員會主席

K·阿拉底

如果說早期的幾篇論文中都有張壽武的指導和合作，張偉在其中顯示了極高超的技術能力的話，那麼，他最近在算術相對跡公式方面的工作則證明他有獨立處理重要大問題的能力。這些工作包含在他兩篇尚未正式發表的預印本中，一個是相對跡公式和格羅斯—普拉薩德猜想（Gross Prasad conjecture），一個是算術基本引理。

談到基本引理的重要性，張壽武解釋說，因為證明了朗蘭茲綱領自守形式中的「基本引理」，38歲的越南數學家吳寶珠獲得了2010年的菲爾茨獎。吳寶珠證明的是自守形式中的經典跡公式的基本引理；自守形式中的相對跡公式的基本引理，則是由張偉在北京大學的同班同學、美國麻省理工學院的惲之瑋證明的。

經典跡公式下的基本引理，很多大數學家都作出了很大的貢獻，到吳寶珠的時候，他集大成，把這些方法合在一起，第一個證明了基本引理。「張偉、袁新意和惲之瑋是好朋友，他讓惲之瑋去證明相對跡公式下的基本引理，惲之瑋是專門做基本引理的，他是用吳寶珠的方法來做的」。

張偉是怎麼知道要做相對跡公式的基本引理呢？是張壽武建議的，因為自守形式中相對跡公式下的基本引理是哥倫比亞大學教授賈戈爾（Jacquet）和俄亥俄大學的教授阮麗斯（Rallis）提出來的。

賈戈爾是現代自守形式專家。1986年，當張壽武還是哥倫比亞大學數學系的博士生時，賈戈爾讓他做一些相對跡公式，但他一點興趣都沒有，「因為它關注的是自守形式，我對自守形式沒有什麼興趣，當時我也不知道它可以用來推廣格羅斯-乍基亞公式。我跟賈戈爾學了相當長的時間，對他的東西還是很清楚的」。

因緣際會，20多年後，張壽武又讓他的學生來做自守形式下相對跡公式的基本引理。在2008年晨興的一個暑期討論班上，田野作了第一個關於相對跡公式的報告。「所以說，張偉的工作是繼承和發揚了哥大在自守形式方面的一個傳統。我的貢獻是告訴他們往哪個地方走」。

張偉非常聰明，他以光一樣的速度閱讀了所有的相關論文，以光一樣的速度將問題弄清楚了，並證明了其中兩個基本引理。然而，與張壽武一樣，他真正想做的也不是自守形式下的相對跡公式下的基本引理，他的興趣在算術相對跡公式下的基本引理，他和袁新意將自守形式下相對跡公式的基本引理問題告訴了同學惲之瑋。與此同時，他成功地將賈戈爾—阮麗斯的一些技術移植到算術相交理論中，並在志村簇上算術相交理論的知名猜想中取得決定性進展。

在他的一篇預印本中，張偉成功地描述了算術基本引理。

張壽武說：「這個引理比吳寶珠和惲之瑋的引理更難，在他之前，人們並不知道什麼是算術基本引理。所以說，張偉的貢獻是把這個問題提出來了，他在基本引理前加了『算術』兩個字，這就是他不一樣的地方。換句話說，將來幾十年大家都要做張偉的問題。提問題的人的水平比做問題的人更有遠見。如果說以前是我提的問題，那麼後面的問題則是他自己提出來的。」

K·阿拉底在2010年SASTRA拉馬努金獎的文章中評價：「因為這兩篇預印本論文和他早期的基礎性工作，張偉博士已經成為他所在領域的世界領袖。」

張壽武認為，自守形式和算術相交理論，屬於數學裡的兩個領域，一直到張偉把它做完，才將這兩個領域聯繫在一起，其實，他沒有做那麼多東西，他只做好了一個東西，但這個東西處於所有這些領域的交叉中心，這就是為什麼他的貢獻被認為不僅在於數論，而且在於代數幾何和表示論等多個領域。

他們可以為中國數學作出劃時代的貢獻

「厲害就厲害在他們不是一個人，而是一批人，他們有什麼東西不懂，就馬上打電話給同學，同學也是另一行的高手，馬上就知道是怎麼回事了，他們之間不是相互競爭者，而是合作者。」

——哥倫比亞大學數學系教授

張壽武

「袁新意畢業時也做得很出色，他在畢業那年就獲得了克萊數學研究所的克萊研究獎，也就是說，克萊研究所為他提供博士後薪水和各種津貼，他自己找喜歡的地方去做數學。他第一年在哈佛大學，第二年在普林斯頓大學做，現在在密歇根大學做，過幾天就要回到哥倫比亞大學了。他是第一個獲得克萊研究獎的中國人。張偉獲拉馬努金獎可能是因為他的領域與拉馬努金的領域更接近一些，這也是拉馬努金獎的要求。」

「但他們這一批人絕對不止他們兩個人，他們是一群人，他們的同班同學在數學上做得非常好的至少還有惲之瑋和朱歆文，加上那一屆清華大學數學系的幾個，我知道的這批人已有10個左右，他們都才二十八九歲，非常年輕，可是已經做出很了不起的工作。張偉和袁新意獲獎，代表他們這一代人確實比我們做得好。」

面對這一批橫空出世的數學新星，張壽武說，他們這批人的成功真是非常奇怪，一屆里突然出現了這麼多人，以前沒有出現過這種現象，之後也沒有出現過，「他們說，北大數學科學學院楊磊和高峽兩位教授，對他們這批學生的影響很大。他們的激情都是受他們的鼓動的，由此，這批學生才做得非常好。」

「他們還年輕，人生的路才剛剛開始，還沒有到大數學家的份上，但他們有可能成為大數學家。」張壽武對這一批學生寄予厚望，「我想，他們的實力和潛力已經顯示出來了，他們有資本在美國的長春藤大學獲得教授職位，但拿菲爾茨獎就難說了。我對他們的期望超過了對陶哲軒的期望，陶哲軒拿了菲爾茨獎，現在是加州大學洛杉磯分校正教授。毫無疑問，陶哲軒非常聰明，他做了很多問題。我個人認為，張偉他們做的問題對未來的影響會更深刻一些。何況他們有一群人在共同努力。張偉、袁新意、惲之瑋、朱歆文等，他們可能不像陶哲軒那麼聰明，不是天才，但他們可以對數學作出劃時代的貢獻。他們合在一起，應該是中國數學的未來，他們肯定會做得很好。」

張壽武目前帶有7個博士生，其中5位學生來自中國。

在哥倫比亞大學，張壽武每年給研究生們上同一門課——「算術代數幾何」，講一些他正在思考或他認為重要的問題，「現在，我在給研究生們開的一門課程是研究張偉他們的工作」。

張壽武希望大家能保護這些學生：「他們這代人都很有希望，本來就絕頂聰明，如果他們到工業界、金融界，放到哪裡都是閃光的金子，但他們都很安心地做。這批學生在思想方面非常活躍、非常成熟，他們沒有經過『文革』，沒有負擔，政治上非常單純，我覺得大家盡一切可能保護，幫助他們，不要干擾他們。」

張壽武簡介

1983年畢業於中由大學數學系後，師從中國科學院數學研究所王元院士，1986年獲碩士學位後，赴美國哥倫比亞大學攻讀博士學位，1991年獲博士學位，1996年任哥倫比亞大學數學系教授，同年證明世界性難題波同年證明世界性難題波戈莫洛夫猜想；1997年在世界上率先於全實域上推廣了格羅斯--乍基亞公式。1998年應邀在德國柏林舉行的世界數學家大會上作45分鐘報告，同年獲旨在獎勵全球傑出華人數學家的首屆晨興數學金獎。現任普林斯頓大學講席教授。

拉馬努金簡介

斯力瓦薩*拉馬努金（Srinivasa Aiyangar Ramanujan），印度天才數學家，1887年12月22日出生於印度南部一個小村莊，家境貧寒，信奉婆羅門教，1920年4月26日因病在印度貢伯戈訥姆去世，終年32歲。

拉馬努金沒有受過正規高等教育，沉迷於數論，常以直覺（或跳步）導出公式，不喜歡作證明，但事後往往證明他是對的。1900年，13歲的他獨立發現了三個函數可以表示成無窮級數，而這是大數學家歐拉在1750年左右發現的；他身後留下的那些沒有證明的公式，後來引發了大量的研究，1997年，《拉馬努金期刊》(Ramanujan Journal)創刊，用以發表有關"受到拉馬努金影響的數學領域"的研究論文。

1913年，26歲的拉馬努金致信三位給劍橋學術界人士：貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy)，信中包含一長串複雜的定理。只有三一學院院的哈代注意到他的天才。哈代說："很多定理完全打敗了我，我從沒見過任何象這樣的東西。"哈代和同事利特爾伍德評論道："沒有一個定理可以放到世界上最高等的數學測試中。"

在哈代的反覆邀請下，1914年，27歲的拉馬努金打破宗教束縛，去劍橋三一學院從事研究工作。這是富有成果的合作，哈代之將描述了為"我一生中最浪漫的事。"

哈代評論拉馬努金的公式，有些他最初不能理解，他說"只要看它們一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們。"哈代在一次採訪中說，他自己對數學最偉大的貢獻是發現了拉馬努金，並把拉馬努金的天才比作至少和數學巨人歐拉和雅可比(Carl Jacobi)的相當。

在哈代的指導下，拉馬努金先後發表了國際一流的論文19篇。1917年拉馬努金與哈代合作開創"圓法"推進了哥德巴赫猜想研究，同年被選入倫敦數學會，次年當選為英國皇家學會外籍會員.

拉馬努金後來患病，1919年返回印度，1920年4月26日在貢伯戈訥姆逝世，他對這個世界最後的禮物是拉馬努金θ函數的發現。

在數學上，有洞察力和有一個證明是很不相同的。拉馬努金的發現異常豐富，他天才地給出了大量的公式，可以再深入研究，開啟了新的研究方向。哈代這樣評論拉馬努金："

他的知識的缺陷和它的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模方程和定理的人......直到前所未聞的地步，他對連分數的掌握......超出了世界上任何一個數學家，他自己發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項；但他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理，對複變函數只有最模糊的概念......

當他還在印度時，拉馬努金在三本活頁紙筆記上記錄了很多結果。結果被寫下來，但沒有推導。第一本筆記有351頁，大約16個有某種組織的章和一些無組織的材料。第二本筆記有256頁，散布在21章和100個無組織頁面中。第三本有33個未組織的頁面。他筆記本中的結果激發了大量論文，由後世企圖證明他的發現的數學家所寫。哈代自己也寫了挖掘拉馬努金工作中的材料的論文，

美國作家羅伯特 卡尼蓋爾所著傳記《知無涯者：拉馬努金傳》中說："拉馬努金是個如此偉大的數學家以至於他的名字超越了嫉妒，他是印度在過去一千年中所出的超級偉大的數學家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數學家感到迷惑，在他死後70多年。他的論文中埋藏的秘密依然在被挖掘出來。他的定理被應用到他活著的時候很難想像到的領域。"

中國數學家，武漢大學前校長齊民友先生等，已將《知無涯者：拉馬努金傳》翻譯成中文。（本資料根據維基百科拉馬努金介紹編寫）

本文獲作者授權刊發。

製版編輯： 許逸｜

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