邏輯原子論與物理學公理化運動

物理學筆記一則（3）：邏輯原子論與物理學公理化運動 精選

物理學在表述中呈現出的形式結構及其意義的重視與探討是自I. Newton創立經典力學體系以來的傳統。一般地，物理學的表述所依賴的載體主要分為兩種：第一種是自然辭彙組成的陳述性語句；第二種是數學符號組成的算術表達式。以前者為主要表述方式的物理學文獻集中出現在Aristotle到Newton時代。大約從P. Laplace開始，符號表達式逐漸取代了自然語句成為了物理學的主要表述方式。

無論是自然辭彙的陳述語句，還是數學符號表達式，在本質上都可歸類於形式邏輯的命題。這些命題依賴相互之間的邏輯關係組成的系統便是物理學在表述中呈現出的形式結構。我們通過這套形式結構邏輯地或數學地刻畫物理學的概念，而概念指向了物理世界中的客觀實在，如同A. Einstein、B. Podolsky、N. Rosen指出的那樣[1]：「這些概念對應於客觀實在，而我們通過它們向自己描繪了實在。」

歷史上，物理學家對形式及其意義的興趣可以從J. Maxwell的一段經典論述中得到驗證。在著名的電磁理論文獻《論Faraday的力線》（On Faraday』s Lines of Force）中，Maxwell明確指出了形式（數學表達式）的重要性，他說[2]：「為了獲得不依賴固有理論的物理學新概念，我們必須善用物理類比。所謂物理類比，是指利用科學規律之間的局部相似性，用它們中的一個去說明另一個。因此，所有的數理科學要建立在物理學規律與數學規律之間關係的基礎之上，所以精密科學的目的在於將自然界的難題以數的手段還原為量的判斷。通過最普遍的類比到極小的局部，我們發現正是兩種不同現象相同的數學表達形式催生了光的物理學理論。」

到了20世紀30年代，隨著分析哲學中邏輯原子論（logical atomism）的一度興盛與數學物理學中物理學公理化運動（motion of mathematical treatment of the axioms of physics）的推進，對物理學形式結構的探討已經取得了長足的進步。

一.邏輯原子論

對Russell而言，對自己路線更清晰的、更具有普遍意義的表達是Wittgenstein完成的。1918年，Wittgenstein完成了《邏輯哲學論》（Tractatus Logico-Philosophicus）的文本寫作，這部書已經被公認為是20世紀最重要的哲學文獻之一。雖然Wittgenstein堅持認為Russell對《邏輯哲學論》的闡釋歪曲了自己的思想，但在當時的歷史條件下或許正是這種「歪曲」促成了邏輯原子論的誕生，而《邏輯哲學論》在今天已被視為闡述邏輯原子論的經典文本之一。

《邏輯哲學論》文本由7個核心命題展開，其中第一個命題的第一個一級評註是[4]：「1世界是事實（fact）的集結，而不是事物（thing）的組合。」在邏輯原子論的框架下：

1.事實被看作是由一系列相互獨立的基本單位組成的，Wittgenstein稱之為「事態」（states of affairs），Russell稱之為「原子事實」（atomic fact）；對事態或原子事實存在的斷言即「原子命題」（atomic proposition）。這裡使用的「原子」是「邏輯原子」（logical atom），它來自Democritus的傳統，申明了在形式上而非物理上不可分割的性質。Russell或Wittgenstein在邏輯哲學論中預期：可以藉助對任何一個通常的複合命題的分析獲得組成它的原子命題（分析的終止），這些原子命題嚴格地對應於物理世界中的原子事實。這個路線可以作為我們獲得有關世界的不容置疑的確定知識的途經，甚至在Russell與Wittgenstein的早期思想階段，這是唯一的途經。

2.我們對事實的表述就是在「邏輯空間」（logical space）中構造「圖像」（picture），「圖像」也是一種「事實」；「圖像」的「要素」（element）以一定方式相關聯，對應於「事物」以同樣方式相關聯，這種相同的關聯稱為「圖像的結構」（structure of the picture）；如果這個「結構」存在，則稱「圖像」具有「圖示形式」（pictorial form）。Wittgenstein總結說[4]：「2.1511圖像就是這樣依附於實在；它直接觸及實在。」

採納邏輯原子論的視點，把物理學或經典物理學最基本的規律歸類於原子事實，把陳述這些最基本規律的原理或公理歸類於原子命題；而整個物理學理論體系就是Wittgenstein所定義的一種圖像，它的目的或價值在於具有圖示形式。這種圖示形式表述出來可以是自然語句也可以是數學表達式。

值得注意的是，Wittgenstein在《邏輯哲學論》中明確了物理學的形式通向客觀世界的邏輯途徑[4]：「6.3431 物理規律藉助其全部的邏輯機制間接地言說世界中的對象。」這既可以被視為是對Russell路線的回應，又可以看作是Einstein物理實在觀的先導。

二、物理學公理化運動

20世紀初才正式進入人們視野的物理學公理化，其實一直是經典物理學的一個潛在的歷史傳統，它可以追溯到Newton在《自然哲學之數學原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy, 簡稱《原理》）中對歐氏幾何學的「模仿」。比如K. G?del曾經評論道[5]：「物理學家對公理化方法缺乏興趣，就像一層偽裝：這個方法不是別的，就是清晰的思維。牛頓把物理學公理化，因而把它變成了一門科學。」

1909年，G. Hamel在分析力學的基礎上實現了力學的公理化。

同年，C. Caratheodory發表了公理化熱力學的基礎。

1932年，von Neumann出版了《量子力學的數學基礎》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）。該文獻被普遍視為遵循Hilbert路線的一個量子力學公理化範本。

1933年，A. Kolmogorov建立了嚴格的公理化概型，概率論實現了公理化。

前3項成果，在物理學中均起到了一定的積極作用，特別是von Neumann的量子力學公理化對現行量子力學Copenhagen詮釋的確立奠定了堅實的數學基礎。而Kolmogorov的工作則比較特殊，因為正是公理化概型的建立使概率論從物理學過渡到了數學。過渡的關鍵在於概率的定義。在公理化概型以前，概率定義依託於建立在隨機試驗基礎上的古典概型與建立在幾何測度基礎上的幾何概型。以Laplace建立的古典概率定義為例，它在邏輯上依賴一個可觀測（基本事件的有限性與等可能性）的試驗，由此給出的概率定義實際上是試驗中直接觀測到的頻率在足夠多試驗次數條件下的極限，這種對實際觀測量（頻率）的依賴正是物理學作為實驗科學的一個特徵。在這個層面上，Kolmogorov的公理化概型使概率脫離了實際試驗的限制，達到了「愈來愈高的抽象和邏輯的單純」。至於具體內容，已不在物理學討論範疇，不再贅述。

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