你相信嗎，僅僅利用一張日落的照片，你就能得出地球的半徑大小！

你相信嗎，僅僅利用一張日落的照片，你就能得出地球的半徑大小！ Princeton 大學的 Robert Vanderbei 在他的一篇論文中對一張攝於密歇根湖的日落照片進行了分析，不但證實了地球是圓的，還依據照片上的內容對地球半徑進行了估算。我把計算的大致過程向大家描述一下，供大家膜拜。

事情的起因就是上面這張很平常的日落照片，以及這樣一個大家平時並沒有太在意的問題：太陽露出水面的部分應該是一個標準的弓形，但為什麼在日出日落時，我們所看到的太陽是一個橄欖球一樣的形狀？大家或許會很快想到，發光體的下半部分其實是日光反射在水面上造成的。隨之產生的是另一個問題：為什麼它的下半部分要比上半部分小一些呢？

這是因為——想到這個問題的答案並不容易——地球是圓的。上圖就是人站在地球上看日出的一個比例誇張版示意圖，其中 O 為地球的中心， A 為人眼的位置， AB 為視平線， B 點為水天交界處。由於太陽距離我們相當遙遠，因此我們把太陽光看作是一束理想的平行光線。我們把直接射入人眼的太陽光與 AB 的夾角記為 α ，把經過水麵上的一點 C 反射進入人眼的光線與 AB 的夾角記為 β 。從圖上可見，視角 β 比 α 小，也就是說太陽在水面上的鏡像比本身要小一些。

β 究竟比 α 小多少呢？對照片進行精確地測量，可知太陽的直徑相當於照片中的 317 個像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影則只有 29 像素。眾所周知太陽的視直徑（看太陽的視角）為 0.5 度，因此我們就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。

如果再已知人眼（或者說相機）離水面的垂直距離 h 為 2 米，那麼根據這些數據我們就足以估算出地球的半徑了。不妨把 ∠AOB 記為 φ ，把 ∠AOC 記為 θ ，把人眼到水天相接處的距離 AB 記為 D ，把人眼到反射點的距離 AC 記為 d ，入射角和反射角記為 γ ，最後用 r 來表示地球半徑，那麼此時我們一共有 6 個未知量。為了求解出這 6 個未知數，我們需要尋找 6 個不同的方程。這 6 個方程可以由以下 6 組等量關係得到：

四邊形 OBAC 的內角和為 360° ，即 (φ – θ) + 90° + β + (180° – γ + 90°) = 360° ， 化簡得方程(1) φ + β = θ + γ

兩條平行線的同旁內角相加為 180° ，即 (α + β) + (180° – 2γ) = 180° ，即方程(2) α + β = 2γ

由於 AO = h + r ，同時又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ

BD 既可以等於 D·cosφ ，又可以等於 r·sinφ ，於是有方程(4) D·cosφ = r·sinφ

由於 AO = h + r ，同時又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ

CE 既可以等於 d·cos(γ+θ) ，又可以等於 r·sinθ ，於是有 方程(6)d·cos(γ+θ) = r·sinθ

一系列複雜的代數運算（省略數百字）最終告訴我們：

其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半徑 r 大約為 7.29312 * 106米，也即 7293 千米。

這個估算的誤差有多大呢？事實上，地球的半徑大約為 6300 多千米，可見誤差不是一般的大。不過，考慮到我們估算的依據僅僅是一張照片，能把數量級估對就已經相當牛 B 了。除了測量的精度之外，還有很多潛在的因素會導致誤差。目前看來，誤差的最主要來源似乎是不完全平靜的水面——一點小小的波浪就會給 α 、 β 的值帶來巨大的影響。

*文章選載自Matrix67的博客: The Aha Moments。

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