「球形雞」與普適類

物理的精髓就在於尋找到那些可以被球形化的雞作為研究對象。可以說，每當物理學家發現了一個能夠被球形化的雞，都是一個巨大的進步，意味著我們抓住了一大類現象的本質。一個不能被球形化的雞，在物理學家眼裡往往不是一隻「好雞」。

撰文

許岑珂（美國加州大學聖塔芭芭拉分校物理系副教授）

在熱播美劇《生活大爆炸》中，Leonard 為了博美人 Penny 一笑，講了一個非常經典的物理笑話：

「There s this farmer, and he has these chickens, but they won t lay any eggs. So, he calls a physicist to help. The physicist then does some calculations, and he says, um, I have a solution, but it only works with spherical chickens in a vacuum.」

「有一個農民養雞，但他的雞都不育。所以他找了一個物理學家來幫忙。這個物理學家做了一些計算，然後說：我已經有解決辦法了，但是這個辦法只適用於真空中的球形雞。」

球形雞

Penny 對這個笑話不明就裡，但是在場的其他人都心領神會。物理學家這種喜歡把具體事情極度簡化的習慣，往往被大家傳為笑談，也被人們看作物理學家其實無力解決實際問題的標誌。「球形雞」的近似為人詬病，是因為它只關注了雞的極其粗略的宏觀特徵，而忽略了大量的微觀特徵。但實際上，物理系統中的很多性質，是完全可以用類似「球形雞」這種看似荒謬的簡化來精確描述的。這是因為這些特定的性質屬於某一個「普適類」（universality class）。所以「球形雞」精神並沒有錯，物理的精髓就在於尋找到那些可以被球形化的雞作為研究對象。一個不能被球形化的雞，在物理學家眼裡往往不是一隻「好雞」。（編者註：「球形雞」的故事其實真的發生過。普林斯頓博士資格考試中曾有這麼一道物理題：請估算一下你旁邊這個人的身體由於熱漲落所帶的電荷。你可以假設，他是一個直徑為一米的懸浮於空中的導電球。）

我們舉一個嚴肅一點的例子。我們如果要完整地描述一個具體的系統，比如一塊磁鐵，這將是一個幾乎不可能完成的任務。因為這個系統裡面有電子、原子核，電子還有那麼多不同的能級，有複雜的電子云結構，原子核裡面還有質子中子等等。如果要寫一個包含這所有物理的理論，會是一個極其浩繁而且無趣的工作。但是，如果我們選擇研究這個系統在某個特定的溫度附近的行為，那我們擅長的「球形雞」精神則完全適用，而且極其精確。

那麼在什麼樣的特定溫度可以用「球形雞」精神來研究呢？這個溫度是磁鐵的臨界溫度，也就是當我們逐漸加熱磁鐵的時候，永磁性恰好消失的那個溫度 Tc。我們想要問，當溫度 T 接近 Tc 時，永久鐵磁矩是如何消失的？實際上，鐵磁矩是按照冪指數方式消失的 M = (Tc - T)a。這個臨界指數 a 到底等於多少？這個看來不可能完成的艱巨的計算任務，其實可以用球形雞的精神來完成。因為在這個溫度附近，大量的微觀信息變成了無關（irrelevant）信息，我們只需要保留最重要的兩條信息就足夠了。這兩條信息是：磁鐵的微觀對稱性，還有磁鐵的空間維度。

為什麼在這個特定的臨界溫度上我們可以忽略微觀信息呢？這是因為在這個臨界溫度附近，這塊磁鐵的「特徵長度」非常長。幾乎所有在這個特徵長度之下的微觀信息都無關緊要了，微觀留給宏觀唯一重要的信息就是對稱性。比如，一個磁鐵最簡單的對稱性，就是所有原子的磁矩同時改變方向這樣一個所謂「Ising」或者「Z2」對稱性。基於這個簡單的信息，我們可以寫下一個類似「球形雞」的模型，叫做「Ising模型」。

這個「Ising模型」是一個統計物理的模型，其形式非常簡單：假設這個系統是定義在一個晶格上的（固體系統往往有一個晶格，木頭、塑料、橡膠之類的固體除外），這個晶格的每個格點上有一個磁矩。這個磁矩可以取值 +1，或者取值 -1，而他們之間通過一個只在最近鄰磁矩之間才存在的相互作用連接起來。這個系統的整體能量是：

E= Σ–J σiσj

代表格子的一對最近鄰格點。這個模型對真實物理系統的簡化，甚至比球形雞還要嚴重：這個模型中完全沒有電子，也沒有原子，電子、原子以及所有的微觀結構全都被一個取值{+1，-1}的符號σi所代替了。但是這個模型對於某些現象的描述驚人地準確，這些性質叫做「臨界現象」（critical phenomena），臨界現象發生在永磁性剛好消失的「臨界點」（critical point）。而且我們可以幾乎任意地修改這個模型，比如加上更多的磁矩之間的相互作用，或者乾脆改變晶格的形狀，只要我們保證這個晶格的維度不變、磁矩的對稱性不變，這些臨界行為也就完全不會改變（改變晶格的形狀只對鐵磁成立。而對於反鐵磁系統，三角晶格和正方晶格的行為完全不一樣）。

由此我們可見，雖然 Ising 模型已經對物理系統做了巨大的簡化，但是因為不同的Ising模型還是可以給出完全一樣的結果，這說明Ising模型仍然沒有抓住問題的本質，不是一個足夠普適的描述，或者說不是一個足夠「球形化」的雞。隨後物理學家們給出了一個更加球形化的系統解決辦法，這個辦法綜合了幾代理論物理學家的努力，被統稱為 Landau-Ginzburg-Wilson-Fisher（LGWF）框架。使用這個框架的時候，真的只需要輸入對稱性和維度這兩個信息，就能準確給出實驗和數值模擬所觀測到的數據，可謂是「球形雞」精神的巨大成功。

LGWF 的基本工具是場論（field theory）。在最初的 LGWF 框架里，場論指的是經典場論，而 LGWF 適用的也是經典物理中的臨界現象。經典物理中的臨界現象，是由「熵」與「能」競爭導致的結果。而熵可以理解為熱漲落（thermal fluctuation）的標誌。這個競爭可以在自由能中體現：

F = E – TS

在熱力學中，我們往往需要最小化這個自由能 F。在一個特定溫度 T 下，為了最小化自由能 F，我們最好是能同時最小化能量E，或者最大化熵 S。但是這兩者往往不能同時滿足，於是就產生了一個競爭：低溫現象由能量決定，高溫現象由熵決定，而臨界點就發生在熵與能正好勢均力敵的時候。最小化能量往往導致系統產生某種「序」（order），比如鐵磁序；而最大化熵要求系統無序（disorder），所以一個系統的高溫行為往往會比低溫行為更加無序。

在絕對零溫的時候，熵的貢獻已經沒有了（自由能第二項為零），於是我們只需要最小化能量，這似乎意味著零溫的系統沒有任何競爭。其實不然，零溫系統中雖然沒有了熱漲落，但是還有量子漲落。量子漲落同樣會導致競爭。最簡單的量子漲落在量子諧振子中就可以看到。量子諧振子的哈密頓量是

H = p2+ x2

為了最小化能量（尋找基態），最好的辦法是把動量p和位置x都取成零。這在經典物理中當然沒有問題，但是在量子物理中，動量和位置同時為零違反了海森堡原理。在數學上這是因為動量和位置的算符不對易。在哈密頓量中，不對易的兩項發生了激烈競爭，競爭最終的結果是動量和位置相互妥協，粒子在動量和位置空間中都形成了一個高斯波包。既然熵與能的競爭可以導致臨界現象，那麼一個量子多體物理中的量子漲落，或者說哈密頓量裡面不對易的部分的競爭，也可以導致臨界現象，這被稱為量子臨界現象。

最簡單的量子臨界現象也可以用 LGWF 框架來描述，其場論形式和經典場論非常類似，只是增加了一維時間維度。也就是說，一個三維空間的最簡單的量子臨界現象，可以用四維時空中 LGWF 框架中的場論來描述。如果事情僅此而已，那麼我們可以說既幸運又不幸。幸運的是，我們徹底理解了量子臨界現象；不幸的是，量子臨界現象並沒有那麼精彩，只是比經典臨界現象高一個維度而已。但是，量子世界的精彩超出了我們的想像。我們現在認識到，量子臨界現象比經典臨界現象豐富得多，有趣得多。我們描述量子臨界現象的工具雖然往往還是場論，但是已經遠遠不再是 LGWF 的那種簡單的場論，而是需要引入大量新的工具，比如規範場，以及各種拓撲項等等。但是和經典臨界現象類似的是，量子臨界現象也是由普適類來劃分的，只是普適類的種類比經典臨界現象豐富得多。而這些完全不同於經典臨界現象的量子臨界現象，通常叫做奇異（exotic）量子臨界現象。

關於量子臨界現象的研究，一直是凝聚態理論中的一個熱門方向。近年來對各類量子多體模型的數值模擬，與理論計算和估計取得了很多非常一致的結果。這證明我們對於量子臨界現象的很多「奇異」理解是正確的。還有一派學者認為，量子臨界點在高溫超導體中（不管是銅基還是鐵基超導體）發揮了重要作用，當然這一點尚未取得共識。

可以說，每當物理學家發現了一個能夠被球形化的雞，都是一個巨大的進步，意味著我們抓住了一大類現象的本質。一個新的球形雞，可以帶來新的價值觀和思維方式。自從上世紀90年代以來，凝聚態物理學家們發現了另一大類可以球形化的雞，這就是拓撲態。其實「拓撲」一詞的含義就包括了忽略微觀信息，只把握宏觀特徵的「球形雞」精神。拓撲態是一個純粹的量子效應，經典物理中沒有相應的現象。拓撲態擁有和臨界點截然不同的現象，但是卻有著同樣深刻的普適性。這樣的普適性讓拓撲態成為一個非常便於「跨界」的領域，大量的數學家和弦理論專家可以在不需要掌握凝聚態系統的具體細節的情況下參與到這個領域中來。這也讓很多年輕一代的物理學家研究拓撲態的時候，可以跳過過去傳統凝聚態物理的很多課程，就能直接在這個領域做出傑出貢獻。

這樣看來，物理學家應該以「球形雞」為榮，把雞球形化，意味著我們抓住了雞的本質。那麼放眼未來，有哪些雞等著我們去球形化，或者說有哪些普適類等著我們去發現呢？筆者和一部分同行認為，至少有兩個潛在的方向：一是零溫無能隙的量子多體系統。之前提到的量子臨界現象屬於無能隙量子系統。但是量子臨界現象，顧名思義，不是一個穩定的物態，「臨界」意味著它很容易被微擾破壞。而有些無能隙量子系統是穩定的，不被任何微擾破壞。這類系統我們目前知道幾個例子，但是對於徹底的分類研究還有很大距離。第二個方向是量子多體系統的激發態。我們目前知道一個量子多體系統的遠離基態的那些激發態，絕大多數和基態（不管是拓撲態還是量子臨界點）有著完全不同的量子糾纏特徵。這使得我們目前缺乏對於這類問題的系統研究工具。未來對以上兩個方向的研究將會是非常有意義的。