讀《一個定理的誕生》有感

作者： 進仰，互聯網工作者。

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寫在正文之前

我關注哆嗒數學網時間雖然不長，但是作為一名數學愛好者，我彷彿找到了一個理想的彼岸。我曾在數學吧、33IQ等多個平台裡面以提問和故事的形式分享我的「愚見」，一些零星的反響，帶給了我不斷探索的勇氣與激情。偶然的機緣，我結識了哆嗒數學網，裡面豐富多彩的數學故事、知識，以及經久不衰的書籍，讓我嘆為觀止！本次我所參與的寫作徵集活動，也讓我找到了一個能「暢所欲言」的舞台。祝願哆嗒數學網能夠充分利用互聯網的優勢，讓數學那道神聖的光芒，照耀到每個默默為數學探究努力付諸行動的人。

最後我對搭建哆嗒數學網，以及背後那些為這個平台的正常運作而默默付出的人表示由衷的感謝！

作者是一名能為自己的目標而不懈追求的人，在他年輕的時候就被那包羅萬象的波爾茲曼方程所吸引，與大多數數學家一樣，圍繞在他們周圍的始終是堆積數米高的草稿子，一台筆記本電腦，一支筆，以及在自己所熱衷的難題與生活面前數以萬計的選擇。他們是一群敢於在黑暗中前行的人，窮盡自己的智慧與膽識力求在黑暗中尋找出一條通向光明的道路，在這之前，或許他們也並不知道自己在哪兒，距離成功還有多遠，唯一支撐他們繼續前行的永遠是那個最單純的信念以及永不磨滅的好奇心，有人把定理和數學家的關係描述成：定理是在某個正確的歷史節點上選擇了一個正確的人來證實了自己的存在，而這個唯一接近真理的人在此之前卻又是終日與孤獨為伴，相逢的知己也就自然而然的成為了他生命中最難忘的人。對於隱藏在問題背後的本質，數學家們有著極其敏銳的嗅覺，即便已超越平凡的認知，可對於數學家來說，他們並不會停留於此，一顆追求完美的心，會時刻讓他們陷入更深層次的世界裡面。

本文的作者塞德里克·維拉尼，一個多才多藝且充滿傳奇色彩的數學家，與其他數學家一樣，為了自己心中擬定的那個奮鬥目標能夠變成現實，他奔走於各所大學開展不同程度的學術講座，從普林斯頓研究所再到龐加萊研究所，其間也不斷的進行著各種深度的學術交流活動，結識了一些志同道合的朋友並且暢談一番；與此同時，他也與普通人一樣，有一個幸福美滿的家庭，為了扮演好一個父親的角色，他不忘準時去接送孩子上學，逗他們開心，陪伴他們健康成長。與常人不同的是，他目標非常明確，並且能為自己的目標而付出十倍於常人的努力。

朗道阻尼——粒子和波相互作用使波的振幅減小的現象。也許正如達爾文所述：「數學家就像是在黑暗中努力尋找黑貓的那一類人。」朗道阻尼就如同那隻黑暗中的黑貓，因為從一開始，它就單單只是個猜想（尚未有被公認的數學表達式）。但是由於這個猜想所描述的等離子體的自發穩定性規律，讓深處波爾茲曼方程正則性問題困惑的作者在冥冥之中嗅到了其中的關係。萬物歸宗，大到恆星自發組成具有穩定外形星系的神奇能力，小到等離子體的自發穩定性規律。二者雖然來自不同的研究領域，可在表述上卻又不乏相似之處，或許能從相似的現象中可以提煉出相似的研究方法呢？通過把離散的恆星群體的運動近似的看作為連續的流體來進行研究，再對誤差進行控制分析，從中導出與「最優運輸」的關係，這一切的關聯給作者帶來了啟發。在對以上部分的閱讀中讓我深刻的感受到了數學的神秘性，方向不同但思維方式卻可以引起共鳴，再通過彼此之間的相互交融最後產生靈感。另外讓我為之一顫的是文中所提到的 KAM 理論，它所描述的某些局部擾動並不能改變全局結構的特性，引起了我的共鳴，僅依靠自身的系統規律來實現局部無序到全局有序的轉化，這種局部與整體不相一致的模式讓我聯想到了 IMO 中的一些情形：局部最優並不意味著全局最優。

文中不乏有晦澀的專業術語，細細品味之後，拋開不明覺厲的感覺，呈現在我眼前的那一道又一道思維亮點，讓我嘆為觀止。在高層次的數學領域中，更趨向與把研究對象分解，從系統性的角度來研究其具有的性質，通過精確的定義、嚴密的推導、巧妙的構造，實現思維模式到解法的轉化。天書般的數學符號像一個個彼此相連的音符，他們緊密而又美妙的組合，成為了響徹整個宇宙的天籟之音，高度概括性、抽象性、層次性的特點讓它失去了初等數學那樣的親和力，裡面所涉及的符號就像一個個機構一樣龐大而又複雜，對深層次規律的探索時刻讓我感受到一種「道可道，非常道」的壓力。不過，萬變不離其中，只要我們目標明確，問題表述清晰形象，就不至於感到迷茫，數學背負著解釋萬物的使命，作為一門語言，我們用它來描述其他語言因為其自身的局限性而不能很好描述的現象，其操作過程往往是先把對象抽象出來在賦予其形象化的特徵，這時問題很可能就轉化為了一個能被解決的問題。

靈感引領我們取得突破的第一推動力，在研究過程中作者也曾多次陷入不同程度的困惑之中，忘我工作的狀態之後，迎來的並不全是疲憊與絕望，上帝最喜歡在這個時候拋灑靈感的火花，指引著他走出困惑，愛迪生曾說過：「成功是 99%的努力加上 1%的靈感」。而我更情願不這句話改為「成功是用 99%的努力去換取那 1%的靈感，再用那 1%的靈感去指引隨後 99%努力的方向，直到最後取得成功」。誠然，努力也不一定會成功，必要的時候需要跳出死胡同，當正向進展受阻，不妨考慮從逆向進展，如本文所做：把某個部分可能出現的解所具有的特徵提取出來進行分析，對特徵解的分析能加深對整個系統的認識，有助於走出困境。當然以上方法極具特殊性，普遍來講，解決一個數學難題最常見的兩種情況是：1.突破性發現。這種情況又可細分為兩種：1.1 已有的數學工具相互組合形成一個能帶來突破性發現的數學工具，例如：微分幾何就是微積分學與幾何學交融後所形成的一個新領域，複變函數就是複數與函數交融後所形成的一個新領域。依靠這種突破性發現來攻克數學難題的數學家是極具眼光的一類，這讓我聯想到了解決龐加萊猜想的俄羅斯數學家佩雷爾曼，其核心工具「里奇流方程」，一個描述空間圖形形狀，即使在連續變化過程中出現干擾，但也最終偏向均勻分布變化而不改變拓撲結構的規律的方程。雖然佩雷爾曼不是發現里奇流方程的第一人，但他卻將非線性幾何偏微分方程用於拓撲學研究，並取得成功的人，這歸功於他獨特的眼光。1.2 敢於打破已有的數學工具，開創出一套嶄新的數學工具用於問題的研究，例如：日本數學家望月新一，據說他就開創了一套前所未有的數學工具——宇宙際 TR 理論，用於解決困擾數學界已久的數論難題——ABC 猜想，可是由於目前還沒有建立起一個好的標準來對此進行審核，所以研究的結果也就被擱置一旁，無人問津。這種情況很少，畢竟當前數學研究模式依然是把研究成果建立在彼此合作之上的。本文作者力圖構造一個能便於自己研究的範數，構造是一項極具挑戰性的工作，在各種條件所限制的前提下，為自己爭取儘可能大的可突破空間，可事情往往不是單向發展的，構造出的模型在用於研究的過程中隨時都會遇到新的問題，這是我們會在局部與全局之間做出選擇，運氣好的話，通過相關的技術能夠完成在局部範圍內的修復，研究的以繼續，誠然，無法得到修復的局部錯誤波及到全局，對其產生顯著影響的時候，那麼就只能打道回府，另闢蹊徑，「說到底，你所做的這些事，隨便一個笨蛋都能做到，你應該去尋找一個更重大的問題，讓人生更有意義」。

數學是一門極具藝術性的學科，一串看似簡單靜止的字元表達，卻是一個複雜系統的縮影。是真理的傳遞形式的體現，是大量信息的濃縮體，藝術性的表達式成就了包羅萬象的數學定理。數學是一門極具神秘性的學科，文中談到格羅莫夫對納什所提出的「非光滑嵌入定理」的評價是「這不應該存在，但確實存在」。數學是理論性很強的學科之一，它具有前瞻性，它推動世界的發展，但又超越現實的腳步，如今的數學已發展到及其抽象的階段，即使是跨分支的交流也變得吃力，也許某些研究對象並不能在現實中找到實際意義，但是卻能推動數學理論的發展，例如虛數單位 i，找不到實際意義，但卻成為了複變函數的基礎，而複變函數的發展卻有著實際的意義。這種虛實之間的轉換更是給數學披上了神秘的面紗，殊不知還有多少這樣「默默無聞」的東西等待去發掘。數學是一門極具吸引性的學科，一個都能看懂，都有話可說的命題，卻是一聲跨世紀的問候，費馬大定理、哥德巴赫猜想，敘拉古猜想......它們是時代的句號；先輩們的省略號；智者的問號；勝利者的感嘆號。數學是一門極爭議的學科，1976 年，哈肯通過計算機對一千種構形加以檢驗，以此證明了四色猜想。關於這種依靠計算機來完成理論性的證明的行為，是否有悖於數學證明的初衷，成為一個備受爭議的話題，計算機作為時代發展的產物，理應肩負起時代的使命，與人類合作發展，它是人類智慧的體現形式，用它來輔助進行證明證明過程中所遇到的極其複雜的運算，是不影響人類在研究數學過程中所形成的思維模式，相反，計算機的合理使用會有助於提高我們對於運算本質的認識。數學是一門及其嚴謹的學科，儘管作者已經證明了在大尺度時間前提下的朗道阻尼，但是依然遭到不少人的質疑，於是他又帶著「能否在無限時間條件下成立？」這個疑問，直到成功。一丁點的瑕疵，卻使價值含量大打折扣，完美的定理周圍總是圍繞著一群苛刻的人。

「人應該把自己放在逆境中，才能成長」，致力於現實之中，卻置身於希望之上。

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