n維空間里的n個向量的最小夾角的最大值是什麼？

二維的話是180，三維是120（正三角形的中心到三個頂點），四維看上去是正四面體的中心到四個頂點，大概109？

一個平凡的下界是90，即兩兩垂直。利用一些小技巧，可以歸納證明對任意n，這個最大值都嚴格大於90.

可以猜測當n趨於無窮時，這個最大值趨於90.

另外，題目中的n維空間似乎可以改成n-1維。

這道題的背景是，n個隨機變數，兩兩間最大相關係數的最小值是什麼。

答案區里有個類似問題：n維空間里最多存在幾個向量，使兩兩夾角大於90°？

有興趣的答主不妨一起算了。

求最小夾角可以改成求單位向量內積的最大值，也就是

大膽放縮一下

等號成立條件是任意

都相等，且

，也就是所有向量夾角兩兩相等，且和為0，下面我們構造一個讓等號成立的向量組，可以將條件改寫成矩陣：

右邊這個矩陣的n-1重特徵值是

，剩下一個特徵值是0，0對應的特徵向量是

，剩下n-1個特徵向量比較簡單的一種構造方法是：

括弧內由k個1，1個-k，剩下為0的向量組成。很容易驗證它們是相互正交的。

令

則

直接簡單讓

這是一個簡單的行操作，將Q的前n-1行乘以

，最後一個坐標置0，注意到Q的每一行就是我們前面求出的

，所以結果就是

也可以求出具體的表達式，留作課後習題（？），不過這裡還有一個更簡單的方法：

我們改讓

這樣

是個對稱陣，而且特徵向量也是

。由於

對應的特徵值為0，也就是說有：

我們還可以注意到，

是冪等的，這說明它是個投影矩陣。又由於它的秩是n-1，又剛好滿足

，所以它就是往

的正交子空間上投影的矩陣。

這可就有意思了，那我們還需要用Q來計算X嗎？直接通過投影的內積關係，就可以寫出：

驗證一下內積：

不考慮歸一化的話，最簡單的向量表達式就是：

n個坐標中，有

個-1，最後一個為

。

比如4維的情況下，就是(3,-1,-1,-1), (-1,3,-1,-1), (-1,-1,3,-1), (-1,-1,-1,3)

夾角為

不難發現這個X和我們最開始得到的內積結果的矩陣只差一個係數，這也是跟投影導致的冪等性相關聯的。

從幾何意義上來解釋最終這個結論：

我們在n維空間中任取n個兩兩垂直的單位向量（一般也可以叫做單位正交基），求出它們的和的向量，作與這個向量垂直的超平面，然後將所有的單位向量投影到這個超平面上，得到的就是n維空間中n個向量兩兩成的角最大的情況。比如說，將一個直角投影到y = -x上，就得到了平面上成的角最大的情況；將一個立方體某個角上的三條邊，沿立方體對角線投影到垂直的平面上，就得到了一個互成120°角的三維空間中成角最大的情況。