一張通往數學世界的地圖

繼物理學地圖之後，今天要給大家帶來的是一張通往數學世界的地圖，概括了所有的數學分支。

故事還得從頭開始。一切都始於計數。

事實上，計數不僅僅只是人類的特性，其它的動物（比如鳥、猴子等）也有計數的能力。人類在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。在石器時代的文化中，他們會使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。

一切起源於計數。

最近的幾千年里，在不同的國度，數學都得到了發展。古埃及人寫下了第一個方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻，比如幾何和數秘術。中國數學家早就有了負數的概念。「0」這個數字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時期，數學家又跨越了一大步，書寫了第一部代數學的書籍。在文藝復興時期，數學與科學則共同欣榮發展。

當然，以上提到的僅僅是數學歷史中的冰山一角，我不打算在這裡提及更多。我的主要目標是要帶你們進入現代數學的分支。

現代數學可以大致被分為兩個領域：純粹數學（研究數學本身）和應用數學（用以解決更實際的問題）。但我們要記住的是，它們之間其實有著緊密的關聯。如果能的話，這張地圖更應該是一張網路，連接著每個相關的分支。但我們現在只能盡量把它呈現在二維的平面上。

左邊為純粹數學，右邊為應用數學。

事實上，從歷史中我們會發現，有許多數學家一開始只是出於好奇以及對美的追求去研究數學，然後發展了一系列美麗而又有趣的數學分支，但對於真實世界卻一點用處都沒有。令人驚喜的是，比如在100年後，當有些科學家正在試圖解決物理學或計算機科學最前沿的問題時發現，他們所需要的數學其實早就在純粹數學裡被發展出來了。這樣的例子不勝枚舉，比如廣義相對論的發展依賴於黎曼度規；弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應用在其它的科學領域中是非常令人欣喜的一件事。

先拋開純粹數學是否有一天能被應用在現實中去，其實研究純粹數學本身也是非常有價值的事。如果你問一位數學家為什麼要研究純粹數學，我想很多人的答案會簡潔到只有一個字，那就是：美！

現在我們首先進入純粹數學的領域。

純粹數學

純粹數學主要包括四個部分：

純粹數學包括數字系統、結構、空間和變化。

【數字系統】

數字系統的研究起源於數，一開始為熟悉的自然數（1、2、3...）及整數（…-2、-1、0、1、2...）與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算（＋－× ÷ ）。當數系進一步發展時，整數被視為有理數（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理數則包含於實數（-4π、e、√2...）中。實數則可以進一步被廣義化為複數（4+3i、-4i...）。除此外，還有其它一系列的數（比如四元數、八元數和基數等）。還有一些數深受數學家的喜愛，比如π、e和質數（1，3，11...）。

剛才提到的這些數字都有一些有意思的性質，例如，儘管實數和整數都有無限多，但實數要比整數多。所以有一些無限實際要比另一些大。

【結構】

對結構的研究起始於將數字以變數的形式代入方程（y=mx+c）。如何解這些方程的規則包含在代數之中。在這個分支中，還有矢量和矩陣，它們都是多維數，而它們之間的聯繫於線性代數中被研究。

在這個分支內，有一個被譽為「最純」的數學領域，那就是數論。數論專註於研究在「數字系統」中提到的所有數的特徵，比如質數的性質（質數產生了很多非專業人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等）。

另一方面，組合數學是一門研究可數或離散對象的數學分支，比如樹、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數結構，一個熟悉的例子就是魔方，是一個置換群。序理論是研究捕獲數學排序的直覺概念的各種二元關係的數學分支，比如哈斯圖，是用來表示有限偏序集的一種數學圖標。

【空間】

純粹數學的另一個部分是研究形狀和它們在空間中的行為。空間的研究源自於幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領域，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數學模式，意思是說你無論你怎麼放大它們看起來都是一樣的。

在其許多分支中，拓撲學可能是20世紀數學中有著最大進展的領域。拓撲學研究的是空間的不同性質，你可以連續不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合。例如，無論你對莫比烏斯帶做什麼，它永遠只有一個面和一個邊界。在拓撲學裡，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓撲學包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數學家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭議的四色定理（1976年由計算機證明）。

測度論是一種給空間或集分配數值的數學分支，它將數和空間聯繫起來。最後，微分幾何是非常重要的一個數學分支，它研究在彎曲表面上的形狀的性質，比如三角形在彎曲的表面中內角和跟在歐式空間中的不一樣。

【變化】

了解及描述變化在自然科學裡是一個普遍的議題，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數誕生於此，作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學（函數的梯度的行為）、積分學（函數下的面積）和無窮級數的一個分支。而向量分析關注的則是向量場的微分和積分。

除此外，還有一系列其它的研究方向。動力系統描述的是系統如何隨著時間流逝從一個狀態演化到另一個狀態，比如流體流動或任何有反饋環路的東西（如生態系統）。混沌理論則是對系統的既不可預測而又是決定的行為作明確的描述，它對於初始條件非常敏感，比如著名的蝴蝶效應。最後是複分析，對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析，而複分析則為複數的等價領域。數學中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以複分析來描述的。

以上這些便是純粹數學的各個分支。接下來我們進入應用數學的領域。應用數學的主旨在於將抽象的數學工具運用在解答科學、工程、商業及其他領域上的現實問題。

應用數學

數學被廣泛地應用在各個科學領域。

我們從物理學開始。基本上在純粹數學提到的所有分支都多多少少的被應用於物理學上。數學和理論物理跟純粹數學的關係是密不可分的。許多數學理論是在物理問題的基礎上發展起來的；也有很多數學方法和工具通常只在物理學中找到實際應用。例如，微分方程被應用在經典力學和量子力學；場論被應用在電磁場、引力場和規範場；群論和表示論別應用在粒子物理學中。

除了物理外，數學也被應用在其它的自然科學上，特別是在數學化學和生物數學上。在數學化學中，數學模型通常被用以模擬分子；拓撲化學也是一個熱門的研究領域（2016年的諾貝爾化學獎就跟拓撲有關）。數學也大量應用在生物學中，如由於基因學的發展，生物學家採集到的大量數據必須通過解析方法加以處理；演化生物學和生態學都大量使用數學理論等等。

數學也被大量應用在工程學上，自古埃及和巴比倫時期，數學就被大量應用在建築上。非常複雜的電路系統，比如在飛機或電網中，就利用了動力系統的方法，叫控制理論。

（這裡推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，對於那些本科選擇物理、化學和工程專業的學生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數學知識。）

當一些數學太過於複雜我們無法有效地解決時，我們就會用到數值分析，它也包含了對計算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如，如果你把一個圓圈放進一個正方形中，並向它扔許多的飛鏢，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數量，你就可以得到 π 的近似值。但在現實中，數值分析通常會使用大型計算機來實現。

博弈論專註于思考遊戲中的個體的預測行為和實際行為，並研究它們的優化策略。主要研究公式化了的激勵結構（遊戲）間的相互作用。其中一個代表性的應用例子是囚徒困境。博弈論在經濟學、心理學、生物學、國際關係、政治學等其它學科都有廣泛的應用。

概率論是集中研究概率及隨機現象的數學分支，最簡單的隨機事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應用數學中的一個重要領域為統計學，它利用概率論為其工具並允許對含有機會成分的現象進行描述、分析與預測。大部分的實驗、調查及觀察研究都依賴於統計分析。因此被廣泛地應用在各門學科，從自然科學、社會科學到人文學科。特別是在金融行業，通過統計分析以獲取最大的利益。

跟最大化利益相關的是最優化，你試圖計算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇，也就是找到一個函數的最高或最低點。最優化問題是人類的第二天性，我們一直在都在進行最優化選擇，比如試圖最優化我們的快樂程度，購買的時候想要物有所值等等。

另一個領域跟純數學有非常深的聯繫，那就是計算機科學。計算機科學的規則事實上是從純數學中推導出來的。機器學習是實現人工智慧的一個途徑，即以機器學習為手段解決人工智慧中的問題。機器學習是一門多領域的交叉學科，利用了數學的許多領域，比如線性代數、最優化、動力系統和概率論等等。

最後，密碼術也是非常重要且實用的一個數學分支，應用到了純粹數學研究，比如組合數學和數論等。

現在我們已經概括了純粹數學和應用數學的主要部分。但是，還沒有結束，我們不能夠忽略數學的基礎。

基礎

數學的基礎試圖理解數學本身的性質，並且追問所有數學規則的基礎是什麼。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規則？我們要如何證明它是否自洽？數理邏輯、集合論和範疇論就試圖回答這個問題。在數理邏輯中有一個非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理，對大多數人來說，數學並沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們人類創造的。這聽起來很奇怪，因為數學如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什麼我們會認為由人類創造的東西可以做到如此地步？這是一個非常深奧的謎題。

我們還有計算理論，它專註於研究不同的計算模型，基於這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了複雜性理論，其中P/NP問題是該領域中至今沒有解決的問題。

現在，我們有了一張通往數學世界的完整地圖：

數學地圖。（圖片來源：Dominic Walliman）

數學是一個非常抽象和美妙的世界，如果要用一句話形容它的重要性，那麼我會選擇伽利略曾經說過的：「如果一個人不懂得宇宙的語言，即數學的語言，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書。」

你們認為學習或研究數學最大的樂趣是什麼？