《廣義相對論》專題3

科技 03-15

《廣義相對論》專題3

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Raychaudhuri 方程

在上一節中我們對廣義相對論中的奇點作了定義。這樣定義的奇點究竟會在什麼條件下出現？它是否如某些物理學家猜測的那樣來源於對稱性？這些都是奇點定理所要回答的問題。

《廣義相對論》專題3

圖片來自百度圖片

由於我們對奇點的定義是建立在測地不完備性之上的，因此為了研究奇點產生的條件，很自然的做法就是對測地線的性質進行研究。我們用 V 表示測地線的切矢量，對於類時測地線來說， V 滿足兩個條件： VaVa=1 (歸一化條件) 及 VaVb;a=0 (自平移條件，其中「;」為協變導數)。我們效仿線性代數中引進投影算符的做法，引進一個輔助張量 hab=gab—VaVb。不難證明 (請讀者自行驗證)， hab是與 V 相垂直的子空間上的投影算符，因此 hab有時被稱為時空度規 gab的「空間部分」 (請讀者想一想，這裡所說的「空間」是什麼含義？)。

我們知道，時空曲率的存在會導致沿相鄰測地線運動的試驗粒子之間的距離發生變化，這是所謂的測地偏離 (geodesic deviation) 效應，它是引力相互作用的一種體現。我們對測地線性質的研究也從這個角度入手，考察一個測地線束中的測地偏離效應。對一個測地線束來說，如果我們用與切矢量 V 相垂直的基矢 S 表示測地偏離矢量，則兩者——作為矢量場——的對易子 [S, V]=0，即 (請讀者自行證明)： dSa/dτ ≡ VbSa;b= Va;bSb(其中 τ 為固有時間)。這表明， Va;b描述了測地偏離矢量沿測地線的變化。如果我們把沿測地線束運動的一群粒子看成一種類似於連續介質的東西，那麼 Va;b描述的就是這一連續介質的形變。由於這種形變是純「空間」的 (請讀者想一想這是什麼含義？並且予以證明)，因此我們可以仿照連續介質力學的做法，用前面定義的時空度規的「空間部分」 hab將這種形變分解為 (請讀者加以驗證)：

Va;b= (1/3)θhab+ σab+ ωab

其中 θ， σab及 ωab分別定義為：

θ = Va;bhab= Va;a

σab= V(a;b)— (1/3)θhab

ωab= V[a;b]

這裡 V(a;b)與 V[a;b]分別為 Va;b的對稱與反對稱部分。上面這三項均有明確的物理意義： θ 被稱為膨脹標量(expansion scalar)，是 Va;b的跡，描述的是測地線束會聚或發散的趨勢； σab被稱為切變張量(shear tensor)，是 Va;b的無跡對稱部分，描述的是測地線束的空間截面在體積不變 (由無跡條件所保證) 的情況下產生形變的趨勢； ωab被稱為渦旋張量(vorticity tensor)，是 Va;b的反對稱部分，描述的是測地線束在空間截面形狀不變的情況下相互纏繞的趨勢[注一]。這其中描述測地線束會聚或發散的膨脹標量 θ 對於奇點定理的討論有著特別重要的意義，因此我們將著重對它進行研究。

為了研究 θ，我們注意到從物理上講，影響 θ 的因素是時空曲率 (或者說物質分布——兩者通過 Einstein 場方程彼此聯繫)。因此我們從曲率張量的定義式 Va;bc— Va;cb= RadbcVd出發[注二]。將這一表達式對指標 a 和 b 進行縮並，與 Vc取內積，並利用 Va;b的分解式及類時切向量 V 的性質，便可證明 θ 沿測地線的變化為：

dθ/dτ ≡ Vaθ;a= —RabVaVb— (1/3)θ2— σabσab+ ωabωab

其中τ 為固有時間。這個方程被稱為Raychaudhuri 方程(Raychaudhuri equation)[注三]，是印度物理學家 Amal Raychaudhuri (1923-2005) 與俄國物理學家 Lev Landau (1908-1968) 彼此獨立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)，它與能量條件的結合將成為證明奇點定理的重要環節。

註：

1、文獻中對這一張量的稱呼很多，除「渦旋」外，常見的叫法還有「扭變」 (twist) 與「旋轉」 (rotation)。/2

2、確切地講，這是將曲率張量的定義用於測地切矢量場所得到的關係式。

3、需要提醒讀者注意的是，這裡介紹的只是 Raychaudhuri 方程應用於測地切矢量場的特例，一般情況下 Raychaudhuri 方程的適用範圍並不限於測地切矢量場。另外，對抽象記號感興趣的讀者可以試著將我們所介紹的 Raychaudhuri 方程改寫成一個不變形式： V(trK)+tr(K2)+Ric(V,V)=0，其中 V 為測地線的切矢量場， K=grad(V)， Ric 表示 Ricci 張量場。

作者：盧昌海

編輯整理：博科園

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