神的九十億個名字

波粒二象性、疊加態和量子糾纏，這些耳熟能詳的量子行為無不揭示了量子力學的怪異和反直覺。但它們卻精確的描述著我們這個世界的真實運作方式，被實驗反覆的驗證。

在許多科普文章中，作者通常會用許多的類比和概念試圖準確地描述量子行為，但如果你想真正的理解量子力學的運作方式，你就必須要了解它背後的數學細節。因為只有通過數學，才能告訴我們究竟發生了什麼。

數學上，一個量子物體是由薛定諤方程中的波函數（一個複函數）所描述的。波函數代表了系統的狀態，它告訴了我們一個特定實驗的各種結果的概率。為了找到這個概率，只要簡單的把波函數和它的復共軛相乘就可以了。（具體細節可閱讀《量子力學的核心——薛定諤方程》）這也是為什麼量子物體可以表現出波的行為（波函數）和粒子性質（可能結果）。

一個量子物體用波函數 Ψ(r, t)表示，在時間 t，位置r探測到它的概率密度為波函數的絕對平方。

但是，薛定諤方程中的波函數並不是量子力學的唯一數學表述。一個量子物體也可以用矩陣來描述。正如海森堡所指出的，你觀測的每種類型的量（比如位置、動量和能量）可以用矩陣來表示（即所謂的算符）。通過將算符和量子態矩陣以特殊的方式相乘，就會得到一個特定結果的概率。波的行為正是在矩陣中不同態之間的多種聯繫的結果。

當然，事情不會這麼輕易結束，費恩曼在後來發展了一種新的數學表述。他認為量子物體的行為是由所有可能歷史的總和所支配的，這種量子力學的表述被稱為路徑積分。一個量子粒子要從點A到達點B，它必須通過一個特定的路徑。但由於粒子可以有許多不同的路徑（這跟經典粒子很不一樣），你就必須計算每種可能的路徑，並通過特定的方式把他們加起來決定粒子到達點B的概率。

費曼發展出來的路徑積分。我們需要考慮從A到B的所有可能路徑，這裡只顯示了其中三條可能路徑。（圖片來源：Wikipedia）

其實，有許多不同的數學方法都可以用來描述量子行為。三面提到的三個只是最常見的，對於一個非相對性的量子理論來說，至少有九個數學模型可以用來描述量子行為。儘管在數學上採取了不同的方法，但它們做出的物理預言都是相同的。當我們將這些不同的數學模型應用在真實情況中時，它們每次給出的答案都是一致的。所以，哪個數學模型是正確的？從實驗角度來說，它們都是正確的。因此，針對特定的情況你可以選擇使用不同的版本。由此看來，量子理論的實在和量子理論本身一樣不確定。

也許你會認為之所以有不同的數學表述是否是因為量子理論的反直覺性質造成的，但並不是。因為，同樣的事情也發生在最直觀和明確的牛頓物理上。在牛頓的模型中，物體是固體和真實的，它們的運動是由矢量力所支配的。如果你用力推一個物體，它會在一個特定方向加速。這是大家所熟悉的。牛頓大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，這個途徑被稱為矢量力學，但並不是唯一的數學表述。

拉格朗日和哈密頓等人建立的一套等同的力學表述方式，稱為分析力學。在分析力學中，我們考慮的是約束量（比如物體的能量），而不是力。如果投擲一個棒球，它的運動是由動能和勢能所約束的。這些約束決定了棒球的運動方程。分析力學也分為拉格朗日力學和哈密頓力學。在經典力學中還有其它的數學表述方式，比如高斯的最小約束原理和阿佩爾方程。它們都使用了不同的數學方法，並從不同的指導原理出發，但仍然給出了相同的預言。因此哪個是正確的？是跟力有關的運動，或者是限制能量，又或者是其它的？

科學的一個基本原則是科學模型必須是可檢驗的。肯定有一個方法是可以區分正確的模型和不正確的模型，而最終的裁決者是實驗和觀測。但沒有任何規定說只能夠有一個有效的理論。由於不同的數學表述都與實驗相符，因此它們都是有效的理論。

這或許是最令人驚奇的地方。數學的確包含了物理宇宙的真理。它允許我們發展出從其它方式無法獲得的理解方式。但這個數學真理並不是一個單一的絕對觀點。數學是如此的強大，並且巧妙的連接在一起，使我們有了很多通往理解真理的道路。在數學世界中，兩個看起來毫無相關的領域往往會揭示出優雅的聯繫，而這些聯繫指引我們更深入的理解物理實在。這是非常美妙的。

因此，如果想要真正理解物理的美，就必須要理解數學。雖然並不總是很容易懂，但卻值得為之付出時間。

撰文：Brian Koberlein

翻譯：小雨

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