困擾數學家的沙發問題

沙發移動問題是指求取通過L形走廊轉角的最大沙發，這看起來是個很簡單的問題，但實際上已經困擾數學家們多年。

最簡單的方形解決方案，但顯然並非最佳

搬運工會告訴你把沙發豎起來就行了。但是如果沙發無法被舉起、擠壓或者傾斜呢？儘管看起來仍然很容易解決，沙發移動問題已經困擾數學家超過50年了。對於數學家而言，不僅僅需要找到最大的沙發，而且需要證明這就是最大的沙發。缺乏後一步的證明，那麼總是有可能某天某人提出更好的解決方案。

加州大學戴維斯分校數學系教授Dan Romik說：「這是個超乎想像的難題。這個問題簡單到你可以用5分鐘向一個孩子解釋清楚，但沒人能提出最好的解決方案及其證明。」

適應轉角的最大沙發也被稱為「沙發常數」，其中一個單位對應於走廊寬度。

半圓形的沙發可以通過直角轉彎，沙發常數為1.57

Romik最近基於3D列印技術，提出了沙發問題的一種變形——雙面靈巧沙發問題的解決方法。雙面靈巧沙發問題是指沙發必須能通過連續順時針和逆時針的90度轉角。他的發現已被發表在實驗數學雜誌。

發現的時刻

Romik專門研究組合數學，喜歡思考形狀和結構的有關問題。但他對沙發移動問題的興趣來源於他的一個愛好——他想3D列印一個沙發和走廊。「我對應用3D列印技術於數學研究感到興奮。親手移動某個東西能增強直覺。」

傑弗沙發(Gerver Sofa)類似於老式電話聽筒，是目前單個走廊轉角沙發移動問題中尋找到的最優解。Romik利用3D列印技術將傑弗沙發列印出來，對此產生了濃厚的興趣，隨即埋首於傑弗解決方案背後的數學原理。Romik隨後7個月都在嘗試提出新的解決方案，並編寫計算機程序對傑弗的想法進行精鍊和擴展。「在此過程中我沒有想我正在進行研究，我只是在玩。然後在2016年1月，我因為某些事情必須暫時放下幾個月。當4月份我重新編程的時候突然靈機一動，我用在傑弗沙發上的方法也許可以用在其他上面。」

傑弗沙發是目前發現的單轉角沙發移動問題的最優解，沙發常數為2.22單位，其中一個單位為走廊寬度

Romik決定處理兩個轉角的問題。為了設計出能通過兩個轉角的沙發，Romik利用軟體設計出了類似於比基尼上裝的形狀，該形狀為中間纖細的兩條曲線對稱組合。「當我第一次看到這個新形狀的時候我正坐在咖啡廳里，那是個無比美妙的時刻。」

沙發移動問題指求通過順時針90度轉角的最大形狀。Dan Romik將此擴展為兩個轉角的問題，並提出「比基尼上裝」形狀的沙發是目前發現的最優解。

對稱的發現

類似於傑弗沙發，Romik的雙面靈巧沙發只是最好的猜想。但Romik的發現仍然能給人們帶來關於該問題的數學上的思考：「雖然沙發移動問題看起來很抽象，但其解決方案涉及新的數學技術，可作為更複雜想法的基礎。數學仍然有待發掘。」

[CliffBao via https://phys.org/news/2017-03-sofa-problem-stumped-mathematicians-furniture.html]

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