用量子力學中的方法探索音樂的奧秘？

楊璐威博士將原本用於量子物理的諧波（harmonics）分析的方法用於自動檢測音樂中的顫音。

撰文 紫蘇

可能平常人看來，音樂不過是將一堆樂譜中音符轉換為音頻信號。但是實際上，音樂有它自己的結構和形式。對於這些音樂的特徵，人們不僅可以通過定性分析（如音樂評論等），也可以利用數學方法來進行定量分析。

音樂數學建模是通向計算音樂和大規模自動化分析音樂的第一步：它不僅能讓我們理解樂曲中的不同模式，也讓我們理解音樂中的總體趨勢。

來自的倫敦瑪麗女王大學數字音樂中心的楊璐威博士將原本用於量子物理里的諧波（harmonics）分析的方法——過濾對角方法（FDM），來自動檢測音樂中的顫音。單論檢測準確度來說，在幀水平上，提高了30%以上；在音符水平上，提高了一倍以上。論文發表於（論文信息見文末）。

楊璐威在演奏二胡

《環球科學》的記者就這篇論文採訪了楊璐威博士：

您的這篇論文的主旨是克服音樂的顫音問題是么？那麼什麼是顫音呢？

璐威：顫音是指音高在一定頻率範圍內的周期變化。它是音樂演奏中常用的技法之一，常見於弦樂、聲樂、管樂中等（弦樂中的顫音也叫揉弦）。顫音一般不在樂譜中標記，因此，音樂家更能自由地讓顫音出現在樂曲中的任何位置和控制顫音的快慢和大小。它能反映不同音樂文化、音樂時期、甚至是不同演奏家的音樂風格。

我們先聽一段包含較多顫音的音樂片段

顫音的頻率一般是在4-8Hz之間。前人一般使用的方法是對基頻時序信號運用短時傅里葉變換（STFT），在頻譜中4-8Hz頻段里找尋是否有極值的方法來判斷顫音的存在。考慮到傅立葉變換的不確定性原理（uncertainty principle），如果要想在如此小的頻段上尋找極值，最完美的方法就是得到一個頻域解析度很高的頻譜圖。並且一般情況下，需要增加窗的長度。如果窗的長度增加了，時域上的解析度就會下降。

為什麼您在研究中選擇了二胡和小提琴，在二胡的顫音更為多見么?

璐威：在中國，二胡也被稱為「中國的小提琴」。這兩種來自不同文化的樂器有許多相似之處。比如，這兩種樂器都是拉弦樂器；它們在各自的音樂文化中都佔有重要的地位。但是這兩種樂器也有不同的地方：二胡沒有指板，小提琴沒有蟒皮（蛇皮）；二胡的把位多，小提琴的弦多 (見下圖）。這些種種相同和不同都使得對比這兩種樂器充滿了奇妙之處。而且雙方的樂器，都有演奏過對方的樂曲；比如小提琴版的《二泉映月》，二胡版的《流浪者之歌》。但是單從顫音上來說，是不能單純地說二胡的顫音數量比小提琴多的。

二胡的構造（圖片來自網路）

小提琴的構造（圖片來自網路）

在我的另一篇論文（Luwei Yang, ElaineChew and Khalid Z. Rajab. Vibrato Performance Style: A Case Study ComparingErhu and Violin. In Proc. of the 10th International Conference on ComputerMusic Multidisciplinary Research (CMMR), pp: 904-919, October 2013.）里，二胡的顫音幅度要比小提琴大很多。原因有可能是二胡沒有指板，演奏員有更多的自由去發揮。

您是怎麼想到這個方法的？聽說這個方法最早用於量子物理？似乎只是因為試用？

璐威：當時我們在試了前人的方法後，就想能不能找到一個在時域和頻域上都能獲得很好解析度的方法。在量子力學中，FDM（濾波器對角化）一般用於核磁共振來檢測化學分子的場景中。在核磁共振中，通過分析分子的諧波來確定分子。這種情況下分子的諧波一般都很短，一般的短時傅里葉變換很難運用到這些很短的信號中。由此，FDM的方法應運而生。我的二導師是研究天線的，他們那邊恰巧有把FDM用到天線陣列的優化中。就在我各種試用不同方法的時候，我的二導師就讓我試試FDM的效果如何。後來發現FDM的方法，特別適用於顫音檢測和分析中。其有兩點：1.只用建立一個頻帶很窄的矩陣，從而避免了很大的運算開銷。如，2-20Hz的頻帶；2.可以直接找到諧波的頻率和幅度，從而去掉了頻譜上找極值這一步。

顫音檢測

FDM 頻譜分析

你是怎麼決定做這個課題的，聽說您很喜歡演奏？

璐威：當時選擇做這個項目也是機緣巧合。因為我從小業餘學習二胡，對中國音樂略知一二。本科大四快畢業的時候得知我導師Elaine Chew（周瑜年）在做一個中西方音樂對比的課題，我對這種交叉學科比較感興趣，再加上自己擁有的工科和二胡背景，所以就決定試一試。在倫敦讀博階段，我也經常參加一些表演活動，如中國新年晚會和我們實驗中心（倫敦瑪麗女王大學數字音樂中心）的演奏會等。

研究團隊簡介

楊璐威 ：本科就讀於北京郵電大學，後在法國倫敦瑪麗女王大學獲得博士學位，現就職於華為技術有限公司，為高級研究工程師

Elaine Chew（周瑜年）：作者導師，倫敦瑪麗女王大學教授

Elaine Chew

Khalid Z. Rajab：作者合作導師，倫敦瑪麗女王大學講師

Khalid Z. Rajab

相關論文信息

標題The filter diagonalisation method for music signal analysis: frame-wise vibrato detection and estimation

作者Luwei Yang, Khalid Z. Rajab & Elaine Chew

期刊Journal of Mathematics and Music

發表日期Published online: 14 Mar

摘要We present a novel approach to frame-wise vibrato detection and estimation in music signals using the Filter Diagonalisation Method (FDM). In contrast to conventional fast Fourier transform-based methods, the FDM s output remains robust over short time frames, allowing frame sizes to be set at values small enough for accurately identifying local vibrato characteristics and pinpointing vibrato boundaries. FDM decomposes the local fundamental frequency into sinusoids and returns their frequencies and amplitudes, which the system uses to determine vibrato presence and vibrato parameter values. We test two decision mechanisms – the decision tree and Bayes Rule – for vibrato detection. The systems are tested against state-of-the-art techniques on monophonic datasets consisting of string, woodwind, brass, and voice excerpts. In addition to using existing datasets, we have created a new monophonic dataset consisting of performances of an entire music piece on erhu and violin, with annotations of vibrato presence and parameters. We show that FDM-based techniques consistently yield the best results in both frame-level and note-level evaluations. Furthermore, FDM with Bayes Rule leads to better F-measure results – 0.84 (frame-level), 0.41 (note-level) – than FDM with decision tree – 0.80 (frame-level), 0.31 (note-level). FDM s accuracy for determining vibrato rates is above 92.5%, and for vibrato extents is about 85%.

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