數學難題掛谷猜想的百年回眸及其川普解

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1917年，日本數學家掛谷宗一(かけやそういちSoichi Kakeya)提出了數學界著名的掛谷問題，其數學表述為：長度為1的線段在平面上做剛體移動，方式不限，轉動也罷，平移也行，總之不惜採用任何手段，只求轉過180度調頭，試問：掃過的最小面積是多少？

他在提出此問題的同時，也給出了自己的猜測，也即至今未解的Kakeya猜想：最小單連通域的面積可能趨於零！

掛谷先生為何會提出這麼一個燒腦的問題呢？原來他的祖國日本，人多地少，資源捉襟見肘，尤其體現在二戰時閃轉騰挪很憋屈，也難怪那時候提出了大東亞共榮圈的構想，不過在亞洲鄰國眼裡，這個共榮圈的本質就是侵略，遠比不上中國如今的一帶一路。

言歸正傳看一看問題的原型：一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉一周360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積儘可能小。面積可以小到多少？

如梭光陰已是2017年，算是該猜想等待證實或證偽的100周年大「慶」，儘管尚無成果可慶。

簡略回顧求解歷程：

正如1+1=2的哥德巴赫猜想一樣，看似簡單的數學證明，一定能吸引從文盲到大數學家的蜂擁而至。哎，想當年我也蠢蠢欲試。

為方便比較，所有給出值都規整為轉過360度，除以2便可得掃過180度時的值。

先看沒有技術含量的「文盲解」和「小學生的解」，前者以線段的任一端作為圓心旋轉，後者以線段中心為圓點旋轉，後者以節省75%的迴旋面積完勝前者，簡單得再添一句描述都顯得多餘。如下圖所示：

數學家們肯定不會考慮上述這些幾乎沒有技術含量的東西。在掛谷宗一提出這個問題後，有數學家發現，若這個線段在正三角形（高為1，邊長為2/√3）中每一頂點處都旋轉60°，可以算出這種情況下，線段掃過面積為1/√3= 0.58，比小學生的解0.78略有進步。如下圖：

當然，若線段夾在兩個圓之間，轉過180°的面積既小於整個圓環，又大於半個圓環，當內圓的半徑無限增大時，面積趨近於π/8，但始終不等於π/8= 0.39，比前者0.78又厲害了一倍多。如下圖：

能否讓掃過的面積剛好為π/8呢，掛谷宗一本人想到的是藉助三尖內擺線，計算表明，這種情況下線段掃過的面積是π/8。掛谷本人及其他許多數學家都認為這就是最小面積了。

1928年，前蘇聯數學家貝西科維奇（Besicovitch，AbramSamoilovitch，1891-1970）差那麼一點就解決了這個問題，答案是可以任意小。

精確描述並理解他的求解過程，得具有數學家的大腦，這顯然也超出了本文的科普定位。有興趣的朋友只好自行探究了。這裡僅給出其中涉及到的佩龍樹，如下圖：

顯然上述解答幾乎50%地證明了掛谷猜想，唯一沒能實現的是單連通域！也就是說調頭過程中，線條難免有時要舉高無限小高度再轉一下，從一個連通域切換到另一個連通域。顯然其意義大打折扣。

1971年坎寧安F.Cunningham終於在單位圓內作出面積可以非常小的單連通掛谷集，解決了單連通性和有界性兩方面的問題。同時，他證明了如果限於星形（即圖形內存在一點，連接它與圖形中任一點的線段整個在圖形中），則掛谷集的面積不小於π/108 = 0.029。

然而無限趨於零的單連通迴旋面積仍然遙遙無期。

與此同時，地球上智商最高,甩了著名物理學家霍金一條街，IQ可達230的華裔數學家陶哲軒Terry Tao，對這類世界難題豈能等閑視之。然而幾十年辛勤的投入，相對百年的求證，還是不夠用，我們只好衷心期待他能最終摘冠！

其實是同一個數學問題：看看這個要求是不是太過分了？不給任何迴旋餘地，還想要「三點調頭」？就像下圖中的汽車就在平台上原地調頭，恐怕只有世界上最牛B的老司機才能辦得到。或者容忍非連通域，那乾脆叫2個大力士抬起來掉頭得了。

這個數學問題的另一層含義是，如何運籌使得完成倒相行為消耗為零的空間資源。長期被這個問題困擾的肯定是那些蝸居的人們，這就是為何島國日本人，以及阿拉上海人等的物件收納水平，汽車駕駛水平世界最高，被逼的啊！

遙想10多年前在國內開車，我一個新司機，不到一年的工夫，硬是把嶄新的車刮蹭得遍體鱗傷慘不忍睹，每月還收到大把的違停罰款單，儘管自認為掛谷問題琢磨得很透也沒卵用；自從來到地廣人稀的加拿大，再也不為空間發愁，怎麼方便怎麼來，哪在乎浪費了多少沒必要的空間，車身幾年下來也沒啥刮蹭。

現在來閑扯美國總統川普如何求解掛谷問題在社會學領域的拓撲。

曾經的商場成功人士，如今的美國大統領川普，也即特朗普先生，也曾對Kakeya猜想著謎。從他與陶哲軒教授去年總統競選時的過招，隱約可見川普先生可能也是一位業餘數學家。

陶教授當時直言不韙，用複雜的數學公式，證明了川普不適合干總統這個職位。川普也毫不示弱，當天就義正言辭地在twitter帳號上駁斥陶教授，並揶揄折騰這麼久的陶教授，連掛谷猜想也搞不掂，真讓人失望！下圖複製於他的推特：

估計川普的數學演算，絕沒有陳景潤那樣用掉幾麻袋草稿紙，也許和我心血來潮那樣花了一百多頁A4紙，畢竟咱們都是業餘愛好而已。其實我真正感興趣的是他在開始總統生涯後，如何解決疑似掛谷猜想這類政治難題。

目前的朝核問題，對他來講其實就是個政治意義上的掛谷猜想的求解：已知朝鮮鐵定要發展成有核國家，且美國鐵定不能容忍朝鮮擁核，顯然這兩者之間絕對對立，無任何迴旋餘地，如果朝鮮最後服軟了棄核，或美國服軟了悉聽尊便，也即最終和平解決，這本質上就是求解迴旋餘地=0的掛谷猜想。

其實，他執政100天之內，發生很多政策180°大轉彎的事情，例如從上任前指責中國匯率操縱國，到今天笑容可掬地聲稱中國不是匯率操縱國，並拿出中國有很多天（月）沒有操縱匯率來證明其最新論斷正確無比。

在北約等其它問題上，他的政策反相位計算，也只要一天即可完成。

觀察他的政策倒相運算可以發現，他都是被逼得無路可走，即迴旋面積=0的情況下，實現政策轉向的。

深挖川普商場打拚的一生，竟然發現他真的是求解人生掛谷問題的老手。在選舉互揭傷疤期間，希拉里爆料川普一生有多達6次的破產經歷，而川普只承認4次而已。這破產可不是好玩的，對絕大多數人來說，那可是萬復不劫的。

可是偉大的特朗普，竟能至少4次鹹魚翻身，柳暗花明又一村，最終成就今日之輝煌，這不正是求解掛谷猜想的精髓：置之死地而後生嗎？呵呵，正能量滿滿又勵志的心靈雞湯！

再加上他一介政壇新手的身份，卻能大勝老牌政客希拉里，更是其人生幾何學造詣的點睛之筆。客觀地講，除了自身的實力外，我認為他還應該感謝美國的破產保護制度和選舉人團制度，否則，要在中國這樣的大環境，想想最近因破產導致的辱母於歡殺人案就後怕。

可見，特朗普的數學功底非常了得，日理萬機中運籌帷幄達至愈戰愈勇，贏多輸少的局面，體現了川普品牌絕非平庸的地攤貨，而是值得珍藏的高端品牌！

還有一個小小心愿：陶教授去年傷了您的心，如今您總統大位也登基了，千祈不要給陶教授小鞋穿，大度地化干戈為玉帛吧(bury the hatchet),他還眼巴巴指望今年的科研經費不要砍，以便早日攻克掛谷猜想，為美國爭光。

無意置喙於其國內成績單，那是美國人該關心的，世界人民只期待他能在當前美朝核危機的掛谷難題中求得真解，為地球70億人帶來永久的和平，特朗普，加油，為和平加油！

參考文獻

1．廁所里的武士刀，你揮得動嗎？http://www.guokr.com/article/68848/

2．「kakeya set」 https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

3．掛谷問題 http://baike.baidu.com/item/%E6%8C%82%E8%B0%B7%E9%97%AE%E9%A2%98

4．華盛頓郵報關於川普破產歷史的文章

5．陶哲軒的博客空間：terrytao.wordpress.com

6．科學網官方微博 陶哲軒：不只是「最強大腦」

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