5個看似巨簡單的數學問題至今無人能破

編者按：

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數學有時候會變得特別複雜，然而幸好不是所有的數學問題都晦澀難懂。這篇文章將會向大家介紹數學領域中五個有趣的問題，問題本身簡單易懂，但迄今仍未被數學家們解決。

圖片來源：Justin Lewis

1.Collatz猜想

圖片來源：Jon McLoone

Collatz猜想是一個簡單有趣而又沒有解決的數學問題。克拉茲問題（Collatz problem）也被叫做hailstone問題、3n+1問題、Hasse演算法問題、Kakutani演算法問題、Thwaites猜想或者Ulam問題。是指：隨意選一個整數，如果它是偶數，那麼將它除以2；如果它是奇數，那麼將它乘以3再加1。對於得到的新的數，重複操作上面的運算過程。如果你一直操作下去，你每次都終將得到1。

德國數學家Collatz於1937年首次提出這個問題，題意清晰、明了、簡單，連小學生都能看懂，得到許多大數學家的關注。日本角谷靜夫談到該猜想的歷史時講：「一個月里，耶魯大學的所有人都著力於解決這個問題，毫無結果。同樣的事情好象也在芝加哥大學發生了。有人猜想，這個問題是蘇聯克格勃的陰謀，目的是要阻礙美國數學的發展。」著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一問題的時，竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題。匈牙利著名的多產數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）曾評論說，「數學還沒有為這類問題做好準備」，認為這個猜想在現階段難以解決。

鄔家邦先生的《3N+1猜想》（湖南大學出版社，2001年）是國內較全面介紹、論述該問題的著作。該書說，「3N+1猜想之所以難以攻克，原因就在於對一般的n∈N,n的迭代軌跡序列這的元素排列雜亂無章，無規律可循」。

也有的數學家認為，這種形式如此簡單，解決起來卻又如此困難的問題，實在是可遇而不可求。該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開闢全新的領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於「負數的3x＋1」、「5x＋1」、「7x＋1」等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。

許多學者對大量的自然數做了檢驗，均未發現反例。荷蘭學者Eric Roosendaal在他的網站 (《 On the 3x + 1 problem》http://www.ericr.nl/wondrous/index.html) 上，介紹了世界上研究該問題的主要成果，並組織了世界範圍的分布式計算，不斷公布計算結果，2^60以內的數字均通過了驗證。

關於 3x+1 問題以及相關問題的會議1999 年 8 月在德國的 Eichst?tt 大學舉行。會議參與者有:K. M. Monks(美國), Ken G. Monks (美國), Paul Andaloro (美國), Günther Wirsching (德國), Manfred Kudlek (德國) Ranan Banerji (美國), Jeffrey Lagarias (美國), Dierk Schleicher (德國),Marc Chamberland (美國), Jean-Louis Rouet (法國), Eric Roosendaal (荷蘭), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法國),Edward Belaga (法國)等。

2011年5月，德國Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上發表了一篇論文(預印本PDF)，宣稱證明了考拉茲猜想。一個月後，該作者承認證明是不完整的， 「Collatz猜想是正確的」 的聲明被撤回。（Thus,the statement 「that the Collatz conjecture is true」 has to be withdrawn, at least temporarily.）

來源：平常心

數學家們試驗了數百萬個數，至今還沒發現哪怕一個不收斂到1的例子。然而問題在於，數學家們也沒辦法證明一定不存在一個特殊的數，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個特別巨大的數，在這一套操作下趨向於無窮，或者趨向於一個除了1以外的循環的數。但沒有人能證明這些特例的存在。

2. 移動沙發問題

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圖片來源：Claudio Rocchini

你要搬新家了，想把你的沙發搬過去。問題是，走廊有個轉角，你不得不在角落位置上給沙發轉方向。如果這個沙發很小，那沒什麼問題。如果是個挺大的沙發，估計得卡在角落上。如果你是個數學家，你會問自己：能夠在角落上轉過來的最大的沙發有多大呢？這個沙發不一定得是矩形，可以說任何形狀。

這便是「移動沙發問題」的核心，具體來說就是：二維空間，走廊寬為1，轉角90°，求能轉過轉角的最大二維面積是多少？

能轉過轉角的最大二維面積被稱為「沙發常數」（the sofa constant）——這是真的，我不是騙你讀書少。沒人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當大的沙發可以轉得過去，所以我們知道沙發常數一定比它們大；也有一些沙發無論如何都轉不過去，因此沙發常數一定比這些轉不過去的面積小。迄今位置，我們知道沙發常數落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問題

圖片來源：Gfis

還記得勾股定理，A2 + B2 = C2 嗎？A、B、C三個字母表示直角三角形的三邊長。畢達哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數的直角三角形，即滿足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整數。現在我們將這個概念擴展到三維，在三維空間，我們需要四個數A、B、C和G。前三個數是立方體的三維邊長，G是立方體的空間對角線長度。

正如有些三角形的三邊都是整數一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線（A、B、C和G）都是整數，但對於立方體來說還有三個面對角線（D、E和F），這就帶來一個有趣的問題：有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數的條件呢？

問題的目標在於找到一個立方體滿足A2 + B2 + C2 = G2，且全部的邊和對角線長度都是整數，這種立方體被稱為完美立方體（perfect cuboid）。數學家們測試了各種不同的可能構型，還沒找到任何一個滿足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在，因此搜尋完美立方體的工作還在繼續。

4. 內接正方形問題

圖片來源：Claudio Rocchini

隨手畫一個閉合曲線，這個曲線不一定要是圓，可以是任何你想要的形狀，但曲線的起終點必須重合且曲線不能穿越自身，在這個曲線上可能找到四個點連成一個正方形。內接正方形假設的內容就是，每條閉合曲線（確切來說是每個平面內的簡單閉合曲線）一定有一個內接正方形，這個正方形上四點都在這個閉合曲線上的某處。

許多閉合曲線上內接其他形狀的問題都已經得到了解決，例如矩形或者三角形等，但正方形卻有點複雜，至今數學家們還沒有搞明白這個問題的正式證明。

5. 美好結局問題

圖片來源：David Eppstein

這個問題之所以被命名為「美好結局問題」，是因為它促成了一對數學家的美好姻緣：數學家

喬治·塞凱賴什（George Szekeres）和愛絲特·克萊（Esther Klein）都曾致力於解決這一問題，他們最終結婚了（而這個問題仍未解決）。概括來說，這個問題是這樣的：

在一張紙面上隨機放置5個點，假設這5個點排布不特殊（比如排在一條直線上），你總能找到其中四個點構成凸四邊形，也即四個邊夾角小於180°的四邊形。這個定理的要點在於，不管這5個點的位置排布如何，你總能在5個點中構造一個凸四邊形。

這是四邊形的情況，而數學家發現，為了確保構造出一個凸五邊形，似乎需要9個點；對於六邊形則需要17個點，但此外更多邊形的情況我們不清楚。構造七邊形和更多變形需要多少點，依然是個謎。更重要的是，理應有一個公式告訴我們對於某一邊數，需要多少個點。科學家們認為這個公式可能是M=1+2N-2，其中M是點數而N是邊數。但至今為止數學家們能夠證明的也就是上述這些有限範圍內的結論了。

來源：演算法與數學之美

編輯：vingce

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