集合論的誕生

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初中畢業升入高一級學校的同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中佔據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那麼可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。其創始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深的學者之一。下面就讓我們一起去探究一下這門獨特而重要的數學理論的來龍去脈，追覓它所走過的曲折歷程吧。

一、集合論的誕生

集合論是德國著名數學家康托爾於19世紀末創立的。

十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之後的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展並結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決後，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出「集合」的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾於1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

二、康托爾的不朽功績

在中學數學中我們所學習的只是集合論的最基本知識。學習過程中，同學們或許覺得一切都是很自然與簡單的，根本無法想像它在誕生之日遭到激烈反對的情景，也體會不到康托爾的功績之所在。前蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：「康托爾的不朽功績在於他向無窮的冒險邁進」。因而只有當我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什麼結論後才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來。

數學與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數學發展的歷程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，並儘可能迴避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一辭彙引入數學，從而進入了一片未開墾的處女地，開闢出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了「無限」這一數學上的潘多拉盒子。下面就讓我們來看一下盒子打開後他釋放出的是什麼。

「我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示。」學過集合那一章後，同學們應該對這句話不會感到陌生。但同學們在接受這句話時根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作。在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋。無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關於無窮的觀念在數學上被稱為潛無限。十八世紀數學王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是「……我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式……」

而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數學上稱為實無限思想。由於潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾並未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續正面探討無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。

最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數。他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢。由於一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應，例如同學們很容易發現自然數集與正偶數集之間存在著一一對應關係，也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數。這與傳統觀念「全體大於部分」相矛盾。而康托爾認為這恰恰是無窮集的特徵。

在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集。又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集。後來當他又證明了代數數[注]集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大於自然數集。這不但意味著無理數遠遠多於有理數，而且顯然龐大的代數數與超越數相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：「點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。」而當他得出這一結論時，人們所能找到的超越數尚僅有一兩個而已。這是何等令人震驚的結果！然而，事情並未終結。魔盒一經打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限於可數集這一個無窮數的怪物。從上述結論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別，有著不同的數量級，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次。他取得了成功，並且根據無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為「超限數」。他用希伯萊字母表中第一個字母「阿列夫」來表示超限數的精靈，最終他建立了關於無限的所謂阿列夫譜系

它可以無限延長下去。就這樣他創造了一種新的超限數理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結論在當時會如何震動數學家們的心靈了。毫不誇張地講，康托爾的關於無窮的這些理論，引起了反對派的不絕於耳的喧囂。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種「疾病」，有人嘲諷超限數是「霧中之霧」，稱「康托爾走進了超限數的地獄」。作為對傳統觀念的一次大革新，由於他開創了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創性成果的一種褒揚吧。

三、公理化集合論的建立

集合論提出伊始，曾遭到許多數學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂症，幾次陷於精神崩潰。然而集合論前後經歷二十餘年，最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們為一切數學成果都可建立在集合論基礎上的前景而陶醉了。他們樂觀地認為從算術公理系統出發，藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布「……數學已被算術化了。今天，我們可以說絕對的嚴格已經達到了。」

然而這種自得的情緒並沒能持續多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數學界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R；另一方面，如果R不屬於R，則R不滿足R的定義，因此R應屬於自身，即R屬於R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。

這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。絕對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中。這就是數學史上的第三次數學危機。危機產生後，眾多數學家投入到解決危機的工作中去。1908年，策梅羅提出公理化集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理系統，簡稱ZF公理系統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。

與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數學危機。公理化集合論的建立，標誌著著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去。

從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間裡，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結。

它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。

超限算術是數學思想的最驚人的產物，在純粹理性的範疇中人類活動的最美的表現之一。

這個成就可能是這個時代所能誇耀的最偉大的工作。

康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻之一。

[注]整係數一元n次方程的根，叫代數數。如一切有理數是代數數。大量無理數也是代數數。如根號2.因為它是方程x2-2=0的根。實數中不是代數數的數稱為超越數。相比之下，超越數很難得到。第一個超越數是劉維爾於1844年給出的。關於π是超越數的證明在康托爾的研究後十年才問世。

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