德國張益唐：刷牙時破解50年謎題

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2014年7月17日早上，托馬斯·羅恩 (Thomas Royen) 在刷牙的時候靈光一閃，找到了解決著名數學猜想的思路。這個猜想涉及到幾何、概率論和統計學，困擾了頂尖專家幾十年。而羅恩不過是一位默默無聞的退休統計學者。

這一猜想源於上世紀50年代，被稱作Gaussian correlation inequality (GCI)。1972年有人給出其最優雅的形式後，它便一直困擾著數學家們。賓州大學統計學家唐納德·理查德 (Donald Richards) 說：「我知道有人在這一工作上花了40年，我自己也研究了30年。」

在洗手池旁找到證明猜想的「原始思路」以前，羅恩沒有太多關注這一問題。1985年，身為製藥公司員工的羅恩轉入了德國賓根的一所小型技術大學，以便有更多時間改進統計學公式——這是他以及業界同僚曾用於分析藥物試驗數據的工具。

2014年7月，67歲的羅恩雖然已經是一位退休老人，但始終沒有放開這項工作。他發現GCI可以被擴展到一個他所擅長的關於統計學分布的描述中。17日早上，他找到了計算擴展GCI關鍵導數的方法，實現了證明。「那天晚上，我就把證明初稿寫好了。」

由於不懂LaTex，他只能在Word文檔中書寫他的計算。次月，論文完成，並出現在預印本網站arxiv.org上。他還把文章發給了理查德，後者在一年半前曾介紹過其對GCI的一次失敗證明。理查德回憶：「我是從郵件收到了他的文章。看到的時候，我立刻就知道，這事解決了。」

一看到那份證明，「我恨不得捶自己。」理查德說。幾十年來，他和其他學者一直在想方設法地努力破解GCI猜想，甚至有些大膽的新想法認為，這需要凸幾何、概率理論或分析才能證明。有些數學家在多年的徒勞無功之後，開始懷疑這個猜想是錯誤的。然而，羅恩給出的證明非常簡潔，只用了些經典技巧，篇幅不過幾頁紙。理查德感到頗為震撼，自己和其他人居然都錯過了。「但是從另一方面講，我不得不說當自己看到證明的時候，那是一種解脫。記得我曾這樣想過，能在有生之年看到證明是再好不過了。我真的很高興能夠看到它。」

在理查德的幫助下，幾位同事幫助羅恩用LaTex重新寫好論文，使其更符合現在的專業習慣。不過意想不到的是，理查德和羅恩聯絡過的其他專家對於這突如其來的成果表示不屑。多少年來，關於GCI的虛假證明可謂滿天飛，有兩篇還掛在了arxiv.org上。來自魏茨曼科學研究所和特拉維夫大學的Bo』az Klartag曾收到過大量所謂的證明，2015年也從同事那裡收到過羅恩的證明。由於時間有限，他只查閱了一個，還發現了其中的錯誤。因此，羅恩的成績當時被忽略了。

這樣鮮為人知的證明可能起初無法得到重視，但這不會太久：像羅恩這樣的重要論文可以發表在Annals of Statistics這樣的期刊上，然後自然就眾人皆知了。然而，羅恩並不需要再去經營事業，他選擇跳過周期較長且往往需要同行評議的典型期刊，轉投到能夠快速出版的Far East Journal of Theoretical Statistics，這是印度Allahabad的一本期刊，並不為業界所了解。在期刊網站上可以看到，羅恩正是一名編輯。(他在論文發表前一年加入了編委會。)

儘管以此方式推出，但證明依然未得到重視。最終，在2015年12月，波蘭數學家Rafal Latala和他的學生Dariusz Matlak發出一篇論文，其中展現了羅恩的證明，並重新組織內容，使人們更易看懂。消息就這樣傳開了。在距離賓根僅65英里的Heidelberg Institute for Theoretical Studies，統計學家Tilmann Gneiting在2016年7月看到這個證明，十分震驚。這已經是GCI被證明的兩年後了。當本文作者在上個月邀請費城天普大學的統計學家Alan Izenman對此進行評論時，他居然還沒有聽說過此事。

人們很奇怪為什麼在21世紀的今天，羅恩證明的消息傳播得如此之慢。「顯然，在這個非常容易進行交流的時代，我們很缺乏交流。」Klartag這樣說，「不過無論如何，至少我們還是看到它了。它真的美極了。」

GCI猜想最知名的形式出現在1972年，它涉及到概率與幾何：這為飛鏢比賽選手擊中靶子的幾率設置了更低的邊界，包括假想的多邊形飛鏢比賽。

設想兩個凸多邊形，比如一個矩形和一個圓形，它們的中心是需要選手瞄準的目標。擲出的飛鏢將落在一個正態分布中，或者說圍繞中心點的「高斯分布」。GCI所講的是，飛鏢既落在矩形中又落在圓形中的概率總是等於或高於單獨落在矩形中的概率和單獨落在圓形中的概率的乘積。也就是說，由於兩個圖形重疊，擊中其中一個圖形可以提高你擊中另一個圖形的幾率。這樣的不等式被認為適用於任何兩個對稱的凸多邊形，只要中心維持在一點上。

某些特殊條件下的GCI此前已經被證明過。比如1977年，弗吉尼亞大學的Loren Pitt論證了二維凸多邊形。不過，一般條件下的證明還是令所有數學家都感到困惑。Pitt在1973年Albuquerque的一次會議上首次從同事那聽到這個不等式。他回憶說：「作為一個傲慢的青年數學家，看到那些自視為數學家和科學人的前輩們都不知道這個答案，我很震驚。」Pitt曾把自己鎖在汽車旅館裡，聲稱如果不能證明或證偽這一猜想，就不出來。「近五十年了，我依然不知道答案。」

儘管數百頁的計算漫無目的，Pitt和其他數學家卻堅信——憑藉二維的論證——GCI的凸多邊形框架將能夠引向普遍條件的證明。「我已經發展出一種概念性的思路，以致於可能太過執著了，」Pitt說道，「而羅恩所做的和我腦袋裡的東西截然不同。」

羅恩的想法要從他在製藥行業中的經歷說起，當然還有那令人費解的不等式本身。在提出對稱凸多邊形的說法以前，GCI已由美國統計學家Olive Dunn在1959年提出，作為計算「同步置信區間」的方程，或者說估算多變數的取值範圍。

假設你想估算出一個體重和身高的範圍，使得樣本中95%的人口都在其中。如果把人們的體重和身高映射到x-y坐標圖中，那麼體重將沿著x軸構成一個高斯正態分布。身高也將沿著y軸構成正態分布。合在一起，體重與身高就形成了一個二維正態分布。你可以這樣提問，體重和身高的範圍是什麼——–w < x < w且 –h < y < h——使95%的人口集中在這些範圍構成的矩形區域中？

如果體重和身高是獨立的，那麼你可以計算出體重滿足-w < x < w的獨立幾率，以及身高滿足-h < y < h的獨立幾率，然後將兩者相乘，得到同時滿足兩種條件的幾率。但是，體重和身高是相關的，就像飛鏢和重疊形狀，如果某人的體重處在正常範圍內，那麼他應該更傾向於有正常的身高。Dunn三年前概括出一個不等式，作出以下猜想：高斯隨機變數同時落在矩形區域內的幾率總是要大於或等於每個變數落在自身特定範圍內的獨立幾率的乘積。（變數個數可以是任意多個）如果變數是獨立的，那麼聯合概率等於獨立概率的乘積。但是變數間的任何關聯都會導致聯合概率升高。

羅恩發現，他可以歸納GCI，使其不僅適用於隨機變數的高斯分布，還能適用同高斯分布的平方相關聯的統計分布，即伽馬分布。這在一些統計測試中有所應用。羅恩說，「在數學裡，常常有這樣的情況發生：一個看起來困難的特殊問題能夠通過回答一個更為普遍的問題而得到決解。」

羅恩在其歸納的GCI中通過因子C表示參數間關聯的數量。當C=0時（對應於像體重或眼睛顏色這樣的獨立變數），函數等於獨立概率的乘積。當你將關聯調至最大，C=1，此時函數等於聯合概率。為了證明後者大於前者，且GCI真實存在，羅恩需要證實其函數總是隨著C的增大而增大。如果其導數或者變化率相對於C一直是正的，那麼結果確實如此。

羅恩對於伽瑪分布比較熟悉，這促成了他在洗手池旁的靈光一現。他明白，可以通過一個經典的技巧將他的函數轉化得更為簡單。突然，羅恩認識到這一函數變形後的導數與原始函數的導數是等價的。他可以很容易展示出後者一直是正的，從而證明了GCI。Pitt對此表示：「他掌握的方程使其能夠施展他的魔法，我並不了解那些公式。」

任何一個統計學研究生都能理解這樣的論證。羅恩說，他希望「這令人驚訝的簡單證法可以鼓勵年輕學生髮揮創新思維，去發現新的數學定理，」因為「很高的理論水平並不總是必須具備的。」

不過，有些學者仍然希望看到GCI的幾何學證明，這將有助於解釋凸幾何中奇妙的新問題。Pitt也特別指出，GCI定義了重疊的凸多邊形表面向量的有趣關係，這將引出凸幾何學一個新的分支領域。「至少我們知道了這是真的，」他在講到向量關係時說，但「如果有人能夠看透這種幾何，那麼我們將能夠以新的方式理解一個類型的問題。」

GCI除了具有幾何學意義，其不等式的變體還能幫助統計學者預測諸如股票價格隨著時間波動這樣的參數範圍。在概率論中，對GCI的證明將能夠幫助進行更精確的比率計算，就像「小球」概率那樣，涉及到流體中粒子移動的隨機路徑。理查德說，他已經提出了幾個對GCI擴展的不等式猜想，現在他想用羅恩的方法來嘗試證明。

羅恩的主要興趣在於改進在很多統計測試中用到的方程的實用計算。比如，基於對多種變數的測量 (病人的反應時間和身體擺動等)，確定一種藥物是否會讓人產生疲勞感。他說，他擴展的GCI確實能夠改進這些工具。近期和GCI有關的其他一些工作也帶來了進一步幫助。至於證明沒有得到太多反響，羅恩並不感到失望。「我習慣於常被德國頂尖高校的科學家所忽視，」他在一封郵件中這樣寫道，「我並不擅於維護人際關係，我生活的質量也不依靠這些。」

找到一個重要證明帶來了「深深的喜悅與感激之情」，這已經是足夠的褒獎。「這就像是一種恩賜，」羅恩說，「我們可以長時間從事一項研究，然後天使突然降臨——為了我們心中的秘密，詩一般地站在這裡——帶給你一個主意。」

https://www.quantamagazine.org/20170328-statistician-proves-gaussian-correlation-inequality/

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