賭徒謬誤：賭博與大數定律的秘密

圖片來自Pexels

撰文 | 張天蓉 （美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

責編 | 呂浩然

概率論專欄

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先講一個賭場撈金的故事。

很多人都聽說過概率或統計中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，是一種在統計的基礎上利用大量數據進行計算的方法。這其中的蒙特卡羅指的並不是人名，而是摩納哥一個著名賭場的名字。自蒙特卡羅賭場於1865年開張後，摩納哥從一個窮鄉僻壤的彈丸之地，一躍成為歐洲最富有的國度之一，至今已經150年過去，這個國家仍然是以賭場和相關的旅遊業為主。

約瑟夫?賈格爾（Jagger）[1]是約克郡一個棉花工廠的工程師，在工作之餘經常光顧蒙特卡羅賭場，尤其對前文提到的輪盤遊戲特別感興趣。他認為，輪盤機器在理想的情況下，每個數字出現的概率都是1/38。但是，機器怎麼可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎號碼的隨機性，導致轉盤停止的位置偏向某些數字，使這些數字更為頻繁地出現。那麼，賭徒應該可以利用這種偏向性來賺錢！

1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運：他帶上所有的積蓄來到蒙特卡羅賭場，並僱用了六個助手，每個助手把守一個輪盤機器。白天，他們記錄每個輪盤的所有數據；晚上，賈格爾便在旅館裡獨自分析這些數據中的規律。六天後，前五個輪盤的數據並沒有發現有意義的偏離，但第六個輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個數字中有9個數字出現的概率要比其餘的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認定了那台有偏向性的輪盤，大量投注這九個高概率的數字，當天就賺了7萬。雖然後來賭場改變了策略，卻讓賈格爾獲取了一筆不菲的收入。

賈格爾是幸運的，但更多的賭徒卻是十賭九輸。主要原因有兩個：一方面是因為所有賭場遊戲的概率設計本來就是以利於賭場為準，這樣賭場才能穩賺不賠；另一方面，利用賭徒的心態也是賭博遊戲設計者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規則的錯誤心態，經常被賭場利用。

賭徒謬誤（The Gambler"s Fallacy）

賭徒謬誤大意是指將前後相互獨立的隨機事件當成有關聯的事件，例如拋硬幣時，無論拋幾次，任意兩次之間都是相互獨立的，並不相互產生影響。

道理雖簡單易懂，但有時仍會糊塗。比如，當你連拋了5次正面時，到了第6次，你可能會認為這次正面出現的概率會更小了（ 1/2）。也有人會逆向思維，認為既然5次都是1，也可能繼續是1（也被稱為熱手謬誤）。實際上，這兩種想法都掉進了「賭徒謬誤」的坑。也就是說，將獨立事件當成了互相關聯事件。

圖1：賭徒謬誤

賭徒有了「賭徒謬誤」的心態，會輸得更慘。比如說，賭場中著名的輸後加倍下注系統（Martingale）便是利用此心態的實例：賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則變成4元，如此類推，直到贏出為止。賭徒誤以為在連續輸了多次之後，勝出的概率會變大，所以願意加倍又加倍地下注，殊不知其實概率是不變的，賭場的遊戲機沒有記憶，不會因為你輸了就給你更多勝出的機會。

賭徒謬誤不僅見於賭徒，也經常反映在一般人的思維方式中。中國人常說「風水輪流轉」，這句話在很多時候或許反映了現實，但如果將這種習慣性的思維方法隨意地應用到前後互相獨立的隨機事件上，便會跌入賭徒謬誤之中。

對「大數定律」的誤解

賭徒謬誤產生的另一個原因是對「大數定律」的誤解。

大數定律[2]指的是當隨機事件發生的次數足夠多時，發生的頻率趨近於預期的概率。

對一枚對稱硬幣而言，正面的預期概率是1/2。當我們進行n次實驗後，得到正面出現的次數n正，比值p正 = n正/n，叫做正面出現的頻率，此時p正不一定等於正面出現的概率（1/2）。但是，當n逐漸增大時，頻率將會逐漸趨近1/2。也就是說，頻率取決於多次實驗的結果，而概率則是一個極限值，實驗次數越大，頻率越趨近概率，這就是大數定律。

提出並證明了大數定律最早形式的是瑞士數學家雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli ,1654－1705），雅各布也是概率論的重要奠基人之一。直到他死後的第8年，即1713年，大數定律才在《猜度術》（Ars conjectandi）中得以呈現，這本巨著也使概率論真正成為數學的一個分支，其中的大數定律和以後將會提到的由狄莫弗（A.de Moivre）和拉普拉斯（P.S.Laplace）導出的「中心極限定理」，是概率論中極其重要的兩個極限定理。

賭徒們對大數定律的誤解主要體現在對「多次重複」的理解。多少次試驗才算「足夠多」，才能到達大數定律能夠實用的大樣本區間？此問題的答案：理論上是無窮大，實際中難以定論。大多數情形是：還沒到「足夠多」，該賭徒便已經財力耗盡、賭注輸光、兩手空空了！

有人喜歡買彩票，並且在每次填寫彩票時，要選擇以往中獎號碼中出現少的數字，還振振有詞地說這樣做的依據是大數定律：某個數字過去出現得少，以後就會多，為什麼呢？「要滿足大數定律啊！」，可見對大數定律誤解之深。

圖2：雅各布?伯努利和大數定律

而對賭徒思維誤區的專業解釋，便是將大數定律應用於試驗的小樣本區間，將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布，以為少數樣本與大樣本區間具有同樣的期望值，把短期頻率當成長期概率，或把無限的情況當成有限的情況來分析。實際上，這是在錯誤應用大數定律時的心理偏差，因此被心理學家卡尼曼和特維爾斯基戲稱為「小數法則」。事實上，任何一段有限次的試驗得到的頻率對於足夠多次的試驗的頻率幾乎沒有什麼影響，大數定律說的是總頻率趨近於概率值，如圖2b所示，小樣本區間試驗的結果並不影響最後趨近的概率。

聖彼得堡悖論

與雅各布?伯努利同屬伯努利家族的尼古拉?伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數學家，他提出了著名的「聖彼得堡悖論」。為了理解這個悖論，首先從賭博遊戲的期望值說起。

賭博的輸贏與期望值有關，期望值是以概率為權重的平均值。賭博的方式不一樣，「贏」的期望值也不一樣。以38個數字的輪盤為例，按照一般賭場的規矩，賭注押在其中一個數字上，如果押中，顧客得到$35，否則損失$1的賭注。顧客贏錢為正，損失為負，則顧客「贏錢」的期望值公式為：

E（顧客「贏」的期望值）= - 輸錢數*輸錢概率+贏錢數*贏錢概率

第一項是負值，表示是顧客「輸」掉的錢數。

由此而計算出上述假設條件下的期望值E= -1*37/38+35*1/38=-0.5。

可以看到，期望值是負數，對賭徒不利。但設想有個傻一點的賭場老闆，將上面規則中的「贏錢數」$35改成$38的話，算出的期望值就會成為正數，這種策略就對顧客有利了，賭徒們高興了，將蜂擁而至。如果將$35改成$37呢？這時候算出來的期望值為0，意味著長遠來說，賭徒和賭場打平了，雙方不輸不贏（不計開賭場的費用），稱之為「公平交易」。

因此，期望值也是那些「理性賭徒」們決定「賭或不賭」的數學依據。

然而，根據這個數學依據作出的決策有時候完全不符合人們從經驗和直覺所作的判斷。這是怎麼回事呢？尼古拉?伯努利便以「聖彼得堡悖論」為例對此提出質疑[4]。

圖3：聖彼得堡問題

尼古拉設想了一種簡單的遊戲方案：顧客不需要每次下賭金，但得買一張價錢固定（m元）的門票參加，遊戲規則如下：

顧客只是擲（公平）硬幣，擲出正面就停止，擲出反面就繼續擲，直到擲出正面為止，見圖3a。如果遊戲停止了，顧客就能得到獎金，獎金的數目與擲的次數有關。遊戲持續次數越高，獎金就越高。比如說，遊戲停止時擲了n次，那麼顧客可得獎金數為（2n）元。

敘述得更具體一點：如果第一次擲出正面，遊戲停止，顧客只能得2元（21），若擲出反面，就繼續擲。若第二次擲出正面，顧客得4元（22），若擲出反面，又繼續擲……依次類推，顧客若一直得到反面直到第n次才擲出正面，獎金數便是（2n）元，獎金數隨n增大而指數增加。

現在，計算這個遊戲中，顧客「贏錢」的期望值，即每次期望贏得的錢乘以概率後相加。然後，再將m元的門票作為負數放進去，得到期望值是：

從以上計算可見，無論門票m是多少（有限數），得到的期望值都是無窮大！這很詭異，因為「期望值無窮大」意味著無論收多高的門票，賭徒都會贏！這就出現了矛盾，因此，尼古拉認為這是一個悖論，人們在做決策的時候，並不僅僅考慮數學期望的大小，更多的是在考慮風險。數學期望值不能完全描述風險。

為什麼叫「聖彼得堡悖論」呢？因為這個悖論被尼古拉提出卻是被其堂弟丹尼爾?伯努利解決的，丹尼爾提出經濟學中的效用理論來解釋這個問題，論文發表在1738年聖彼得堡召開的一次學術會議上，所以得名為聖彼得堡悖論[5]。

賭博雖然是一種惡習，由它卻引發了不少有趣的數學問題，促進了概率論的發展，由於聖彼得堡悖論的解決而建立了「效用理論」，推動了經濟學的發展。概率論中除了大數定律之外，還有一個極其重要的「中心極限定理」，有關中心極限定理極其應用，是我們下一篇的內容。

參考資料：

[1] Wikipedia：Men who broke the bank at Monte Carlo

https://en.wikipedia.org/wiki/Men_who_broke_the_bank_at_Monte_Carlo

[2] 維基百科：大數定律

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B

[3] The Bernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company(1938) .

[4] "The St. Petersburg Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy

https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/

[5] Bernoulli, Daniel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica 22 (1954), 23-36.

製版編輯：李 赫丨

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