數，慧，美

「數學遇到音樂」

「音樂界的數學家」巴赫

古希臘哲學家畢達哥拉斯就認為，音樂的和諧來自某個距離比率的數字。他在腸弦末端綁上重物，發現重量比是2：1時，腸弦發出了八度音程；重量比是3：2時，得五度音程……

巴赫將這種音程的和諧關係運用到實踐中。他在一千多首作品，窮盡了對位法的組合，充滿了規則和秩序。規則不是教條，秩序來自熱忱。《哥德堡變奏曲》中，聲部間迴轉、分離、穿插、偶遇、對稱、併流，每一細節都靜穩妥帖，每一褶皺與鏤痕都纖毫畢現。他的作品中，一個音符都不能改。

巴赫因此被譽為音樂界的數學家。

「數學遇到建築」

巴洛克藝術講究數學的「絕對美」。在巴洛克建築中有很多對稱和數字上的精確要求，比如幾何曲線的弧度，廊柱上的渦卷飾的數目。愛奧尼克的羅馬柱，柱身要求鑿出24條凹槽，少一條都不可；柱子上精雕著棕櫚葉，蓮花辮、卵型花邊或串珠飾，若少一瓣葉子、少一顆珠子都不對。這種繁複綺麗的建築，若缺少結構中數學的「高階和諧」和「絕對美」，一定混亂得可怕。

「數學遇到愛情」

笛卡爾是近代數學的始祖，被譽為解析幾何之父。笛卡爾一生只愛過一個人，她就是瑞典公主克里斯汀，公主也被他的魅力折服。但他們地位不等，年齡相差甚遠，國王強迫他們分開。此後笛卡爾身患重病，但他仍每天給公主寫信。寫完第13封信，笛卡爾永遠離開了這個世界。

這封信上只有一個方程式：r=a(1-sinθ)。

畫出來的，就是著名的"心形線"。

而這封享譽世界的另類情書，至今還保存在歐洲的笛卡爾紀念館裡，紀念這段唯美的愛情。

「數學遇到詩詞」

怨郎詩

一朝別後，二地相懸。

只說是三四月，又誰知五六年?

七弦琴無心彈，八行書無可傳。

九連環從中折斷，十里長亭望眼欲穿。

百思想，千繫念，萬般無奈把郎怨。

萬語千言說不完，百無聊賴，十依欄杆。

九重九登高看孤雁，八月仲秋月圓人不圓。

七月半，秉燭燒香問蒼天，

六月三伏天，人人搖扇我心寒。

五月石榴紅似火，偏遇陣陣冷雨澆花端。

四月枇杷未黃，我欲對鏡心意亂。

忽匆匆，三月桃花隨水轉。

飄零零，二月風箏線兒斷。

噫，郎呀郎，

巴不得下一世，你為女來我做男。

賞析：相傳此詩為西漢才女卓文君所作。西漢年間，著名辭賦文人司馬相如和才女卓文君婚後不久，司馬相如赴長安做官。卓文君一等五年，終於盼來了丈夫的來信，信中只寫了幾個數字：「一二三四五六七八九十百千萬」。卓文君淚流滿面：一行數字中獨少了「億」，無憶，也就是再無思念的意思。卓文君提筆寫下回信《怨郎詩》。 司馬相如讀信後，悔恨不已，深為卓文君的才情和愛意所感動，遂親迎卓文君到長安。

山村詠懷

北宋·邵雍

一去二三里，煙村四五家。

亭台六七座，八九十枝花。

賞析：一眼看去有二三里遠，薄霧籠罩著四五戶人家。村莊旁有六七座涼亭，還有許多鮮花正在綻放。前兩句是線狀的視覺印象，「一去」做水平運動，」二三「虛指數量多，炊煙裊裊呈垂直狀態，「亭台六七座，八九十枝花」兩句變換為點狀視覺印象：亭台座座，鮮花朵朵。寥寥幾筆就構成一幅自然樸實而又朦朧的山村風景畫。

《數學之美》（有刪減）

演講者/丘成桐

數學與文學都源於自然之道。

數學

之為學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創作，故此數學可說是人文科學和自然科學的橋樑。

數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律。數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部分，我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。

劉勰在《文心雕龍?原道篇》說，文章之道在於「寫天地之輝光，曉生民之耳目。」 劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。他又說：「人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之秀氣，實天地之靈氣。靈心既生，於是語言以立。語言既立，於是文章著明，此亦原於自然之道也。」

歷代的大數學家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創性發明，也是由於探索自然界的現象而引起的。 廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂30年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經》、《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

數學以簡潔而富於變化為宗，文采絕不遜於文學創作。

數學

的文采，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則，甚至在自然界中發揮作用。我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文采斐然，令人讚歎。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變數，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明「採菊東蘺下，悠然見南山」的意境。

從歐氏幾何的公理化，到笛卡兒創立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富於變化為宗，其文采絕不遜色於任何一件文學創作。

文學家為了達到最佳意境的描述，需要追究「僧推月下門」與「僧敲月下門」的區別。數學家為了創造美好的理論，也不必依隨大自然的規律，只要邏輯推導沒有問題，就可以盡情地發揮想像力。

數學的研究中，也用「比興」的方法去尋找真理。

然而

文章終究有高下之分，大致來說，好的文章「比興」的手法總會比較豐富。

中國古詩十九首，作者年代不詳，但大家都認為是漢代的作品。劉勰說：「比采而推，兩漢之作乎。」這是從詩的結構和風格進行推敲而得出的結論。在數學的研究過程中，我們亦利用比的方法去尋找真理。我們創造新的方向時，不必憑實驗，而是憑數學的文化涵養去猜測去求證。

舉例而言，30年前我提出一個猜測，斷言三維球面里的光滑極小曲面，其第一特徵值等於二。當時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關情況模擬而得出的猜測。最近有數學家寫了一篇文章證明這個猜想。其實我的看法與文學上的比興很相似。

看《洛神賦》：「翩若驚鴻，婉若游龍。榮曜秋菊，華茂春松。髣髴兮若輕雲之蔽月，飄飄兮若流風之回雪。」由比喻來刻劃女神的體態。 我一方面想像三維球的極小曲面應當是如何的勻稱，一方面想像第一譜函數能夠同空間的線性函數比較該有多妙，通過原點的平面將曲面最多切成兩塊，於是猜想這兩個函數應當相等，同時第一特徵值等於二。

當時我與卡拉比教授討論這個問題，他也相信這個猜測是對的。旁邊我的一位研究生問為什麼會做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力了。

數學家和文學家的思維一樣敏銳而自由，同樣的事物在他們眼中會變成不同的風景。

由於

文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟詠。例如對楊柳的描述，溫庭筠寫「柳絲長，春雨細……」吳文英寫「一絲柳，一寸柔情，料峭春寒中酒……」李白寫「年年柳色，灞陵傷別。」周邦彥寫「柳陰直，煙里絲絲弄碧，隋堤上，曾見幾番，拂水飄綿送行色……長亭路，年去歲來，應折柔條過千尺。」晏幾道寫「舞低楊柳樓心月，歌盡桃花扇底風。」

數學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有10個以上，等周不等式亦有五六個證明，高斯則給出數論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們可以從不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數學上不同的發展。

不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源。

王國維

在《人間詞話》里說：「詞以境界為最上。有有我之境，有無我之境。『淚眼問花花不語，亂紅飛過鞦韆去。』有我之境也。『採菊東蘺下，悠然見南山。』無我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物……自然之物互相關係，互相限制。然其寫之於文學及美術中也，必有其關係限制之處。故雖寫實家亦理想家也。又雖如何虛構之境，其材料必求之於自然，而其構造亦必從自然之法律。故雖理想家亦寫實家也。」

數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當年尤拉開創變分法和推導流體方程，由自然現象引導，可謂無我之境，他又憑自己的想像力研究發散級數，而得到zeta函數的種種重要結果，開300年數論之先河，可謂有我之境矣。另外一個例子是法國數學家Grothen－dick，他著述極豐，以個人的哲學觀點和美感出發，竟然不用實例，建立了近代代數幾何的基礎，真可謂有我之境矣。

不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境。《文心雕龍?神思》：「文之思也，其神遠矣。故寂然凝慮，思接千載；悄然動容，視通萬里。吟詠之間，吐納珠玉之聲，眉睫之前，卷舒風雲之色，其思理之致乎。」

來源：好玩的數學

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