微分方程之二階線性方程的性質

對於微分方程這部分考試的要求就是通過是識別不同類型的方程，找到相應的方程解法。之前我們已經說過，一階微分方程的具體解法，下面我們來說一下二階微分方程。形如的方程稱之為二階線性微分方程，如果等式右端的函數，則稱該方程為二階齊次線性微分方程。對於二階線性微分方程我們需要掌握其性質，而且考試也經常會考查二階線性微分方程解得性質。下面我們就具體的說一下，二階線性微分方程的性質。

一是設是齊次方程的解，則是齊次方程的解。我們來說證明一下，因為是齊次方程的解，則有，那麼這樣就可以得到是齊次方程的解。

二是設、均為齊次方程的解，則是齊次方程的解。我們可以先證明一下，當，均為齊次方程的解，則有，並且，則將其相加可以得到，，可以知也是齊次方程的解。

通過這兩個定理我們可以得到假設，均為齊次方程的解，則對於任意常數,為的解。結合通解的概念，可以知道,為的通解。

三是設是非齊次方程的解，則是相應的齊次方程的解.我們來證明，，均為齊次方程的解，則有，並且

，我們將兩個等式相減，，可以得到是齊次方程的解。

四是設是齊次方程的兩個線性無關的解，是非齊次方程的任一特解，則是非齊次方程的通解，其中為兩個相互獨立的常數。這個性質在說明，對於非齊次二階線性微分方程的解等於其齊次方程的通解加非齊次方程的特解。

五是設是方程的特解，是方程的特解，則是方程的解。對於這個性質，我們稱之為疊加原理。

以上就二階性微分方程解的性質，希望對考生有幫助。

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